北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题综合练
1.(2023海淀一模,3)在等差数列{a }中,a =1,a =5,则a = ( )
n 2 4 8
A.9 B.11 C.13 D.15
答案 C
2.(2023全国甲文,5,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若a +a =10,a a =45,则S =(
n n 2 6 4 8 5
)
A.25 B.22 C.20 D.15
答案 C
3.(2023丰台一模,7)设无穷等差数列{a }的前n项和为S ,则“对任意n∈N*,都有a >0”是
n n n
“数列{S }为递增数列”的 ( )
n
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(2024海淀二模,8)设{a }是公比为q(q≠-1)的无穷等比数列,S 为其前n项和,a >0.则
n n 1
“q>0”是“S 存在最小值”的 ( )
n
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
5.(2025届北京交大附中月考,10)已知数列{a }的前n项和为S ,且S +S =n2,则下列四个
n n n n+1
结论中正确的个数是 ( )
①a -a =2;
n+2 n
②若a =0,则S =1 225;
1 50
③若a =1,则S =1 224;
1 50
( 1 1)
④若数列{a }是单调递增数列,则a 的取值范围是 - , .
n 1 4 4
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 C
6.(2025届北师大二附中期中,12)已知等差数列{a }的前n项和为S ,a =1,S =18,则S =
n n 1 3 6
.
第1页共4页第1页共4页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 81
7.(2025届北京市鲁迅中学期中,13)设等比数列{a }的公比为q(q>0),其前n和为S ,且
n n
1
a = ,a =2,则a = ;S = .
1 2 3 5 5
31
答案 8;
2
8.(2025届北京丰台二中月考,12)数列{a }是公差为-2的等差数列,记{a }的前n项和为
n n
S ,且a ,a ,a 成等比数列,则a = ;S = .
n 1 3 4 1 n
答案 8;-n2+9n
9.(2025届通州期中,12)已知等差数列{a }的首项为4,设其前n项和为S ,且S =10,则过
n n 2
点P(n,a )和Q(n+2,a ),且满足n∈N*的直线的斜率是 .
n n+2
答案 2
10.(2022全国乙文,13,5分,易)记S 为等差数列{a }的前n项和.若2S =3S +6,则公差d=
n n 3 2
.
答案 2
11.(2023朝阳二模,12)已知等差数列{a }的公差为2,S 为其前n项和,且a ,a ,a 成等比
n n 2 4 8
数列,则a = ,S = .
4 n
答案 8;n2+n
12.(2020新高考Ⅰ,14,5分,易)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列
{a },则{a }的前n项和为 .
n n
答案 3n2-2n
13.(2025届朝阳期中,15)对于无穷数列{a },若存在常数M>0,使得对任意的n∈N*,都有
n
不等式|a -a |+|a -a |+…+|a -a |≤M成立,则称数列{a }具有性质P.给出下列四个结论:
2 1 3 2 n+1 n n
①存在公差不为0的等差数列{a }具有性质P;
n
②以1为首项,q(|q|<1)为公比的等比数列{a }具有性质P;
n
③若由数列{a }的前n项和构成的数列{S }具有性质P,则数列{a }也具有性质P;
n n n
④若数列{a }和{b }均具有性质P,则数列{a b }也具有性质P.
n n n n
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ②③④
14.(2025届北京丰台二中月考,17)已知等比数列{a }满足a +a =3,a +a =24.
n 1 2 4 5
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求数列{b }的前n项和S .
n n
条件①:设b =log a ;
n 2 2n-1
条件②:设b =a +2n.
n n
解析 (1)设等比数列{a }的公比为q,
n
第2页共4页第2页共4页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
{ a +a =a (1+q)=3, {a =1,
则 1 2 1 解得 1
a +a =a (q3+q4 )=24, q=2,
4 5 1
所以a =2n-1.
n
(2)选择条件①:
b =log a =log 22n-2=2n-2,
n 2 2n-1 2
0+2n-2
所以S = ×n=n2-n.
n 2
选择条件②:
b =a +2n=2n-1+2n,
n n
1×(1-2n ) 2+2n
所以S = + ×n=2n+n2+n-1.
n 1-2 2
15.(2024北京二十中月考,16)在等差数列{a }和等比数列{b }中,a =b =1,a =b ,2+a =b .
n n 1 1 2 2 4 3
(1)求{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)求数列{a +b }的前n项和S .
n n n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,等比数列{b }的公比为q(q≠0).
n n
{ 1+d=q,
依题意,得
2+(1+3d)=q2,
{d=2, {d=-1,
解得 或 (舍去).
q=3 q=0
所以a =2n-1,b =3n-1.
n n
(2)因为a +b =2n-1+3n-1,
n n
所以S =[1+3+5+…+(2n-1)]+(1+3+32+…+3n-1)
n
n[1+(2n-1)] 1-3n 3n-1
= + =n2+ .
2 1-3 2
n2+n
16.(2023新课标Ⅰ,20,12分,中)设等差数列{a }的公差为d,且d>1,令b = ,记S ,T
n n a n n
n
分别为数列{a },{b }的前n项和.
n n
(1)若3a =3a +a ,S +T =21,求{a }的通项公式;
2 1 3 3 3 n
(2)若{b }为等差数列,且S -T =99,求d.
n 99 99
解析 (1)∵3a =3a +a ,
2 1 3
∴3(a +d)=3a +a +2d,
1 1 1
∴a =d>1,∴S =a +a +a =a +a +d+a +2d=6a ,
1 3 1 2 3 1 1 1 1
n2+n 2 6 6 3 12 12 4
又∵b = ,∴b = ,b = = = ,b = = = ,
n a 1 a 2 a a +d a 3 a a +2d a
n 1 2 1 1 3 1 1
第3页共4页第3页共4页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9
∴T =b +b +b = ,
3 1 2 3 a
1
9
∴S +T =6a + =21,
3 3 1 a
1
1
解得a =3或a = (舍),∴a =3n.
1 1 2 n
(2)∵{b }为等差数列,
n
∴2b =b +b ,
2 1 3
12 2 12
= +
即 ,
a a a
2 1 3
6 1 6
即 = + ,即a2 -3a d+2d2=0,∴a =2d或a =d.
a +d a a +2d 1 1 1 1
1 1 1
n
当a =2d时,a =(n+1)d,b = ,
1 n n d
(2d+100d)×99
∴S = =99×51d,
99 2
1 (1+99)×99 99×50
T = · = ,
99 d 2 d
1
又∵S -T =99,∴99×51d-99×50· =99,
99 99 d
50 50
∴51d- =1,解得d=1或d=- ,
d 51
又∵d>1,∴a ≠2d.
1
n+1
当a =d时,a =nd,b = ,
1 n n d
(1+99)×99d
∴S = =50×99d,
99 2
1 (2+100)×99 51×99
T = · = ,
99 d 2 d
51×99
又∵S -T =99,∴50×99d- =99,
99 99 d
51 51
∴50d- =1,解得d= 或d=-1,
d 50
51
又∵d>1,∴d= .
50
51
综上,d= .
50
第4页共4页
