北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.2 等差数列
五年高考
1.(2021北京,6,4分,易)《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出,中国共产
党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗,通用规格有五种.这五种规格党旗的长
a ,a ,a ,a ,a (单位:cm)成等差数列,对应的宽为b ,b ,b ,b ,b (单位:cm),且长与宽之
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
比都相等.已知a =288,a =96,b =192,则b = ( )
1 5 1 3
A.64 B.96 C.128 D.160
答案 C
2.(2020北京,8,4分,中)在等差数列{a }中,a =-9,a =-1.记T =a a …a (n=1,2,…),则数列
n 1 5 n 1 2 n
{T } ( )
n
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
答案 B
3.(2019北京理,10,5分,中)设等差数列{a }的前n项和为S .若a =-3,S =-10,则a =
n n 2 5 5
,S 的最小值为 .
n
答案 0;-10
三年模拟
基础强化练1
1.(2025届北京十五中月考,4)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若S =30,a =4,则S =
n n 3 8 9
( )
A.54 B.63 C.72 D.135
答案 B
2.(2025届北京一六六中学期中,5)等差数列{a }的首项为1,公差不为0.若a ,a ,a 成等
n 2 3 6
比数列,则{a }的前5项和为 ( )
n
A.-15 B.-3 C.5 D.25
答案 A
3.(2025届北京市鲁迅中学期中,6)设等差数列{a }的前n项和为S ,且S =15,则a ·a 的最
n n 5 2 4
大值为( )
9
A. B.3 C.9 D.36
4
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
4.(2025届北京牛栏山一中月考,5)已知数列{a }的前n项和为S ,若a =a -2,且a +a =8,
n n n+1 n 2 4
则下列说法错误的是 ( )
A.{a }是递减的等差数列
n
B.数列的首项为正数
C.S 的最大值是20
n
D.-2 025是{a }中的项
n
答案 D
5.(2025届北京八十中月考,8)已知S 是等差数列{a }的前n项和,则“S ≥na ”是“{a }是
n n n n n
递减数列”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
6.(2025届北师大附中期中,12)已知{a }为等差数列,S 为其前n项和.若a =6,a +a =0,则
n n 1 2 6
S = .
8
答案 -8
7.(2025届北京十三中期中,12)在等差数列{a }中,若a +a =16,a =1,则a = ;使
n 1 2 5 1
得数列{a }前n项的和S 取到最大值的n= .
n n
答案 9;5
8.(2025届北师大附中月考,16)已知{a }是等差数列,a =1,且a ,a ,a 成等比数列.
n 1 1 3 9
(1)求数列{a }的公差;
n
(2)求数列{2a n}的前n项和S .
n
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,由a ,a ,a 成等比数列,有(1+2d)2=1+8d,解得
n 1 3 9
d=1或d=0.
(2)结合(1)知,当d=1时,{a }的通项公式为a =n,
n n
2(1−2n
)
则2a n=2n,所以S = =2n+1-2.
n 1−2
当d=0时,{a }的通项公式为a =1,
n n
则2a n=21=2,所以S =2n.
n
基础强化练2
1.(2024石景山期末,5)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若a =15,S =65,则a +a = (
n n 2 5 1 4
)北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
A.24 B.26 C.28 D.30
答案 C
2.(2023通州期末,2)等差数列{a }中,a +a =8,a +a =3,则{a }的通项公式为 ( )
n 2 6 3 4 n
A.a =5n-16 B.a =5n-11
n n
C.a =3n-8 D.a =3n-5
n n
答案 A
3.(2025届北京东直门中学期中,4)设等差数列{a }的前n项和为S ,若a =1,a =7,则S =(
n n 1 4 10
)
A.60 B.80 C.90 D.100
答案 D
4.(2024丰台一模,2)已知公差为d的等差数列{a }满足:a -2a =1,且a =0,则d= (
n 5 3 2
)
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C
5.(2024海淀一模,3)已知{a }为等差数列,S 为其前n项和.若a =2a ,且公差d≠0,S =0,则
n n 1 2 m
m的值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B
6.(2025届海淀期末,6)已知等差数列{a }的前n项和为S ,a +3a =14,则S = ( )
n n 2 4 6
A.7 B.21 C.28 D.42
答案 B
7.(2023海淀期末,6)已知{a }为等差数列,a =3,a +a =-10.若数列{b }满足
n 1 4 6 n
b =a +a (n=1,2,…),记{b }的前n项和为S ,则S = ( )
n n n+1 n n 8
A.-32 B.-80 C.-192 D.-224
答案 B
8.(2024石景山一模,5)等差数列{a }的首项为1,公差不为0.若a ,a ,a 成等比数列,则
n 2 3 6
{a }的前5项和为 ( )
n
A.-15 B.-3 C.5 D.25
答案 A
9.(2024北京市八一学校开学考,7)图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案,会徽的主
体图案是由图2所示的一连串直角三角形演化而成的,其中OA =A A =A A =…=A A =1,
1 1 2 2 3 7 8
如果把图2中的直角三角形继续作下去,记OA ,OA ,…,OA 的长度构成的数列为{a },
1 2 n n
则a +a = ( )
36 16北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
图1 图2
A.52 B.2√13 C.10 D.100
答案 C
10.(2024北师大二附中期中,14)《九章算术》是中国古代的一部数学专著,被誉为人类科
学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章,第六章“均输”有一问题:“今有竹九节,下
三节容量四升,上四节容量三升,问中间二节欲均容,各多少?”其意思为:“今有竹9节,下
3节容量4升,上4节容量3升,使中间两节也均匀变化,每节容量是多少?”这一问题中
从下部算起第5节容量是 升.(结果保留分数)
67
答案
66
11.(2024北师大附中月考,17)已知等差数列{a }中,a =3,公差d≠0;等比数列{b }中,
n 2 n
b =a ,b 是a 和a 的等差中项,b 是a 和a 的等差中项.
3 1 1 2 3 2 1 2
(1)求数列{a },{b }的通项公式;
n n
(2)求数列{a +b }的前n项和S ;
n n n
(3)记c =a ·b ,比较c 与c 的大小.
n n n n+1 n
解析 (1)因为a =3,b =a ,b 是a 和a 的等差中项,b 是a 和a 的等差中项,
2 3 1 1 2 3 2 1 2
{ b =a −d=3−d,
3 2
所以 2b =a +a =3+3+d,
1 2 3
2b =a +a =3−d+3,
2 1 2
6−d 6+d
故b =3-d,b = ,b = ,由b2 =b b 得d2-2d=0,
3 2 2 1 2 2 1 3
解得d=0(舍去)或d=2,
所以a =3-2=1,
1
故a =a +(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,
n 1
6−d 6+d 1
b = =2,b = =4,故等比数列{b }的公比为 ,
2 2 1 2 n 2
(1) n−1
所以b =4· .
n 2
(1) n−1
(2)a +b =2n-1+4· ,
n n 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
故S =a +b +a +b +…+a +b =1+3+…+2n-1+4+2+…+4·
n 1 1 2 2 n n
(1) n
4−4·
(1) n−1 n(1+2n−1) 2 (1) n−3
= + =n2+8− .
2 2 1 2
1−
2
2n−1 2n+1
(3)c =a b = ,c =a b = .
n n n 2n−3 n+1 n+1 n+1 2n−2
2n+1 2n−1 3−2n
所以c -c = − = ,
n+1 n 2n−2 2n−3 2n−2
当n=1时,c -c >0,当n≥2时,c -c <0,
2 1 n+1 n
所以当n=1时,c >c ,当n≥2时,c <c .
2 1 n+1 n
能力拔高练
1.(2025届海淀期中,9)设无穷等差数列{a }的前n项积为T .若a <0,则“T 有最大值”是
n n 1 n
“公差d≥0”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
2.(2025届北师大二附中月考,9)已知等差数列{a }的前n项和为S ,则“S -2a <0”是
n n 2 2
“nS >(n+1)S ”的 ( )
n+1 n
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
3.(2025届北京三中期中,6)设{a }是等差数列.下列结论中正确的是 ( )
n
A.若a +a >0,则a +a >0
1 2 2 3
B.若a +a <0,则a +a <0
1 3 1 2
C.若0<a <a ,则a >√a a
1 2 2 1 3
D.若a <0,则(a -a )(a -a )>0
1 2 1 2 3
答案 C
( π)
4.(2024丰台二模,9)已知等差数列{α }的公差为d,首项α ∈ 0, ,那么“d=π”是“集
n 1 2
合S={x|x=sin α ,n∈N*}恰有两个元素”的( )
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A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
{a }
5.(2024东城一模,8)设等差数列{a }的公差为d,则“0<a <d”是“ n 为递增数列”的
n 1
n
( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
6.(2024朝阳二模,10)北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”,提出长方台
形垛积的一般求和公式.如图,由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有
ab个小球,第二层有(a+1)(b+1)个小球,第三层有(a+2)(b+2)个小球……依此类推,最
底层有cd个小球,共有n层,由“隙积术”可得这些小球的总个数为
n[(2b+d)a+(2d+b)c+(c−a)]
.若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层,小球总个
6
数为240,则该垛积的第一层的小球个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
7.(2024北京十七中月考,9)已知等差数列{a }的前n项和为S ,若a =2且S =S ,则下列说
n n 3 4 7
法中正确的是 ( )
A.{a }为递增数列
n
B.当且仅当n=5时,S 有最大值
n
C.不等式S >0的解集为{n∈N*|n≤10}
n
D.不等式a >0的解集为无限集
n
答案 C
8.(2025届北京十三中月考,12)设等差数列{a }前n项和为S .若a =10,S =40,则a =
n n 2 5 5
,S 的最大值为 .
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答案 4;42
9.(2025届首都师大附中月考,14)已知公差不为0的等差数列{a }的前n项和为S ,若
n n
a ,S ,S ∈{-5,0},则S 的最小值为 .
4 5 7 n
答案 -6
10.(2024海淀一模,14)在数列{a }中,a =2,a =-3.数列{b }满足b =a -a (n∈N*).若{b }是
n 1 2 n n n+1 n n
公差为1的等差数列,则{b }的通项公式为b = ,a 的最小值为 .
n n n
答案 n-6;-13
11.(2025届东城期末,14)大衍数列来源于《乾坤谱》,主要用于解释中国传统文化中的太
极衍生原理.大衍数列{a }中,对于k=1,2,3,…,数列a ,a ,a 是公差为d 的等差数
n 2k-1 2k 2k+1 k
列,且{d}也是等差数列.已知a =0,a =4,a =24,则a = ;{a }的前9项和等于
k 1 3 7 5 n
.
答案 12;140
12.(2024北京一零一中学月考,16)已知公差大于0的等差数列{a }满足
n
a +a =12,a a =35,S 为数列{a }的前n项和.
2 5 3 4 n n
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)若S ,a ,a(m,i∈N*)成等比数列,求m,i的值.
m 2 i
解析 (1)因为{a }是等差数列,a +a =12,所以a +a =12,
n 2 5 3 4
{a =5, {a =7,
又a a =35,所以 3 或 3
3 4 a =7 a =5,
4 4
{a =5,
设{a }的公差为d,因为d>0,所以 3 得d=2,
n a =7,
4
所以a =a +(n-3)d=2n-1.
n 3
n(a +a ) n(1+2n−1)
(2)由(1)知a =3,S = 1 n = =n2,
2 n
2 2
所以S =m2,若S ,a ,a成等比数列,则有a2 =S ·a,
m m 2 i 2 m i
即m2×a=9,又因为m,i∈N*,且a∈N*,
i i
{m2=1, {m2=9, { m2=1, { m2=9, {m=1, {m=3,
所以 或 即 或 解得 或
a =9 a =1, 2i−1=9 2i−1=1, i=5 i=1.
i i
{a −6,n为奇数,
13.(2024北京景山学校月考,18)已知{a }为等差数列,b = n 记S ,T 分别
n n 2a ,n为偶数, n n
n
为数列{a },{b }的前n项和,S =32,T =16.
n n 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)证明:当n>5时,T >S .
n n
