北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差
五年高考
1.(2024北京,18,13分,中)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况,从合同保
险期限届满的保单中随机抽取1 000份,记录并整理这些保单的索赔情况,获得数据如下
表:
索赔次数 0 1 2 3 4
保单份数 800 100 60 30 10
假设:一份保单的保费为0.4万元;前三次索赔时,保险公司每次赔偿0.8万元;第四次索
赔时,保险公司赔偿0.6万元.
假设不同保单的索赔次数相互独立,用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率;
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
(i)记X为一份保单的毛利润,估计X的数学期望EX;
(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况
下一份保单毛利润的数学期望估计值与(i)中EX估计值的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)解法一: 直接法 由题意可知“一份保单索赔次数不少于2次”的概率P=
60+30+10 1
= .
800+100+60+30+10 10
解法二: 间接法 由题意可知“一份保单索赔次数不少于2”的对立事件为“一份保单
800+100 900 1
索赔次数少于2”,则所求概率为P=1- =1− = .
800+100+60+30+10 1000 10
(2)(i)由题意可知毛利润X的可能取值为0.4,-0.4,-1.2,-2,-2.6.
800 4
P(X=0.4)= = ,
1000 5
100 1
P(X=-0.4)= = ,
1000 10
60 3
P(X=-1.2)= = ,
1000 50
30 3
P(X=-2)= = ,
1000 100
10 1
P(X=-2.6)= = ,
1000 100
所以X的分布列为
X 0.4 -0.4 -1.2 -2 -2.6北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
4 1 3 3 1
P
5 10 50 100 100
4 1 3 3 1
EX=0.4× +(-0.4)× +(-1.2)× +(-2)× +(-2.6)× =0.122.
5 10 50 100 100
4 1
(ii)由题意知该情况下一份保单保费=0.4× ×(1-4%)+0.4× ×(1+20%)=0.403 2,
5 5
毛利润的数学期望=0.122+(0.403 2-0.4)=0.125 2,
因为0.125 2>0.122,
所以该情况下一份保单毛利润的数学期望大于EX.
2.(2021北京,18,13分,中)在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指:先将k个人的样本混
合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒,则检测结果为阴性,得到每
人的检测结果都为阴性,检测结束;如果这k个人中有人感染新冠病毒,则检测结果为阳
性,此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果,检测结束.现对100人进行核酸
检测,假设其中只有2人感染新冠病毒,并假设每次检测结果准确.
(1)将这100人随机分成10组,每组10人,且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组,求检测的总次数;
1
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数,求X的分布
11
列与数学期望EX.
(2)将这100人随机分成20组,每组5人,且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是
检测的总次数,试判断数学期望EY与(1)中EX的大小.(结论不要求证明)
解析 (1)(i)依题意,如果感染新冠病毒的2人在同一组,则该组需要检测11次,其他9
个组都只需要检测1次,所以检测总次数为20.
(ii)由(i)知,当感染新冠病毒的2人分在同一组时,检测的总次数是20.当感染新冠病毒
的2人分在不同组时,可以求得检测的总次数是30.所以随机变量X的可能取值为
20,30.
1
因为感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 ,
11
1 10
所以感染新冠病毒的2人分在不同组的概率为1- = .
11 11
所以随机变量X的分布列为北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
X 20 30
1 10
P
11 11
1 10 320
故随机变量X的数学期望EX=20× +30× = .
11 11 11
(2)EY>EX.
3.(2017北京理,17,13分,中)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组
各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数
据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.
(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;
(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的
人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);
(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大
小.(只需写出结论)
解析 (1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药
15
的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为 =0.3.
50
(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能
取值为0,1,2.
C2
1
C1C1
2
P(ξ=0)= 2= ,P(ξ=1)= 2 2= ,
C2 6 C2 3
4 4
C2
1
P(ξ=2)= 2= .
C2 6
4
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
1 2 1
P
6 3 6
1 2 1
故ξ的期望E(ξ)=0× +1× +2× =1.
6 3 6
(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
4.(2022北京,18,13分,难)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成
绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得
主,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):
甲:9.80,9.70,9.55,9.54,9.48,9.42,9.40,9.35,9.30,9.25;
乙:9.78,9.56,9.51,9.36,9.32,9.23;
丙:9.85,9.65,9.20,9.16.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望
EX;
(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证
明)
解析 (1)甲以往参加的10次比赛中,有4次比赛成绩达到获得优秀奖的标准,则甲得
4 2
优秀奖的概率P= = .
10 5
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,设甲、乙、丙获得优秀奖分别为事件
2 1
A,B,C,则A,B,C,A,B,C相互独立,且P(A)= ,P(B)=P(C)= ,P(A)=1-P(A)=1-
5 2
2 3 1
= ,P(B)=P(C)= ,
5 5 2
3 1 1 3
则P(X=0)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = ;
5 2 2 20
P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B
2 1 1 3 1 1 3 1 1 8 2
)P(C)= × × + × × + × × = = ;
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20 5
P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A
2 1 1 2 1 1 3 1 1 7
)P(B)P(C)= × × + × × + × × = ;
5 2 2 5 2 2 5 2 2 20
2 1 1 1
P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)= × × = .
5 2 2 10
3 2 7 1 7
故X的数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .
20 5 20 10 5
(3)丙.
详解:乙夺冠的概率为P(乙)=
1 9 3 1 4 1 1 3 1 1 3 1 1 1 1 13
× × + × × + × × + × × + × × = ,
6 10 4 6 5 2 6 5 2 6 10 2 6 5 2 48北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 1 4 5 5
丙夺冠的概率为P(丙)= + × × = ,
4 4 5 6 12
5 13 5
甲夺冠的概率为P(甲)=1- − = ,P(丙)最大,所以丙夺冠的概率最大.
12 48 16北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
三年模拟
基础提升练
1.(2024北京市育英中学统练一,9)设0<p<1,随机变量ξ的分布列如下表,则当p在(0,1)
内增大时, ( )
ξ 0 1 2
1−p 1 p
P
2 2 2
A.D(ξ)减小
B.D(ξ)增大
C.D(ξ)先减小后增大
D.D(ξ)先增大后减小
答案 D
2.(2023北师大二附中测试,13)赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有
1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位:元);随后放回该
卡片,再随机摸取两张,将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位:
元).若随机变量ξ 和ξ 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则Εξ -Εξ =
1 2 1 2
元.
答案 0.2
3.(2025届北京交大附中测试,18)某汽车品牌为了了解客户对其旗下的五种型号汽车的满
意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表:
汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ
回访客户(人数) 250 100 200 700 350
满意率 0.5 0.5 0.6 0.3 0.2
满意率是指:某种型号汽车的回访客户中,满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意
互相独立,且每种型号汽车客户对于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意
率相等.
(1)从所有的回访客户中随机抽取1人,求这个客户满意的概率;
(2)若以样本的频率估计概率,从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人,设
其中满意的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;
(3)用“η =1”“η =1”“η =1”“η =1”“η =1”分别表示Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ型号汽车让客户满意,
1 2 3 4 5
“η =0”“η =0”“η =0”“η =0”“η =0”分别表示不满意.写出方差
1 2 3 4 5
D(η ),D(η ),D(η ),D(η ),D(η )的大小关系.
1 2 3 4 5
解析 (1)设事件M为“从所有的回访客户中随机抽1人,这个客户满意”.
样本中的回访客户的总数是250+100+200+700+350=1 600,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
满意的客户人数是250×0.5+100×0.5+200×0.6+700×0.3+350×0.2=575,
575 23
所求概率P(M)= = .
1600 64
(2)ξ的所有可能取值为0,1,2.
设事件A为“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”,
事件B为“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”.
P(A)估计为0.5,P(B)估计为0.2,A与B相互独立.
所以P(ξ=0)=P(AB)=P(A)P(B)=(1-P(A))(1-P(B))=0.5×0.8=0.4;
P(ξ=1)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=P(A)(1-P(B))+(1-
P(A))P(B)=0.5×0.8+0.5×0.2=0.5;
P(ξ=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P 0.4 0.5 0.1
所以ξ的期望E(ξ)=0×0.4+1×0.5+2×0.1=0.7.
(3)D(η )=0.5×(1-0.5)=0.25,
1
D(η )=0.5×(1-0.5)=0.25,D(η )=0.6×(1-0.6)=0.24,
2 3
D(η )=0.3×(1-0.3)=0.21,D(η )=0.2×(1-0.2)=0.16,
4 5
故D(η )=D(η )>D(η )>D(η )>D(η ).
1 2 3 4 5
4.(2024北京一七一中学开学考试,18)天文学上用星等表示星体亮度,星等的数值越小,星
体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度;绝对星等是假定把恒星放在距地球
32.6光年的地方测得的恒星的亮度,反映恒星的真实发光水平.下表列出了(除太阳外)视
星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据,其中a∈[0,1.3].
天狼 老人 南门 大角 织女 五车 参宿 南河 水委 参宿
星名
星 星 二 星 一 二 七 三 一 四
视星
-1.47 -0.72 -0.27 -0.04 0.03 0.08 0.12 0.38 0.46 a
等
绝对
1.42 -5.53 4.4 -0.38 0.6 0.1 -6.98 2.67 -2.78 -5.85
星等
赤纬 -16.7° -52.7° -60.8° 19.2° 38.8° 46° -8.2° 5.2° -57.2° 7.4°
(1)从表中随机选择一颗恒星,求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率;
(2)已知北京的纬度是北纬40°,当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于-50°时,能在北
京的夜空中看到它.现从这10颗恒星中随机选择4颗,记其中能在北京的夜空中看到的
数量为X颗,求X的分布列和数学期望;
(3)记a=0时10颗恒星的视星等的方差为s2,记a=1.3时10颗恒星的视星等的方差为s2,
1 2
判断s2 与s2之间的大小关系.(结论不需要证明)
1 2
