北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题七 数列
7.1 数列的概念及表示
五年高考
1.(2021北京,10,4分,中)设数列{a }是递增的整数数列,若a ≥3,a +a +a +…+a =100,则n
n 1 1 2 3 n
的最大值为 ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
答案 C
1
2.(2023北京,10,4分,难)已知数列{a }满足a = (a -6)3+6(n=1,2,3,…),则 ( )
n n+1 4 n
A.当a =3时,{a }为递减数列,且存在常数M≤0,使得a >M恒成立
1 n n
B.当a =5时,{a }为递增数列,且存在常数M≤6,使得a <M恒成立
1 n n
C.当a =7时,{a }为递减数列,且存在常数M>6,使得a >M恒成立
1 n n
D.当a =9时,{a }为递增数列,且存在常数M>0,使得a <M恒成立
1 n n
答案 B
3.(2024北京,15,5分,难)设{a }与{b }是两个不同的无穷数列,且都不是常数列.记集合
n n
M={k|a=b,k∈N*},给出下列四个结论:
k k
①若{a }与{b }均为等差数列,则M中最多有1个元素;
n n
②若{a }与{b }均为等比数列,则M中最多有2个元素;
n n
③若{a }为等差数列,{b }为等比数列,则M中最多有3个元素;
n n
④若{a }为递增数列,{b }为递减数列,则M中最多有1个元素.
n n
其中正确结论的序号是 .
答案 ①③④
三年模拟
基础强化练
1.(2025届顺义期末,5)已知数列{a }满足对任意的i,j∈N*,都有a-a=2(j-i).若a +a =a ,
n j i 3 5 7
则a = ( )
3
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
2.(2025届丰台期末,4)已知数列{a }的前n项和为S ,且a =-3a ,a =9,则S =( )
n n n+1 n 3 3
A.7 B.13 C.18 D.63
答案 A
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3.(2023石景山一模,6)已知数列{a }满足:对任意的m,n∈N*,都有a a =a ,且a =3,则
n m n m+n 2
a = ( )
10
A.34 B.35 C.36 D.310
答案 B
4.(2025届北京陈经纶中学月考,6)对于无穷数列{a },定义d =a -a (n=1,2,3,…),则
n n n+1 n
“{a }为递增数列”是“{d }为递增数列”的( )
n n
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D
S +S
5.(2025届北京一零一中学统练三,9)若数列{a }满足a =2, n+1 n =2n+3,则S +a 的值
n 1 a 8 8
n+1
为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 B
6.(2023北京四中测试,10)已知数列{a }满足
n
a =1,a =a =2,a =a =a =3,a =a =a =a =4,…,则a =( )
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 022
A.45 B.46
C.64 D.65
答案 C
7.(2024北京景山学校月考,8)已知斐波那契数列{a }满足a =a =1,a =a +a (n∈N*),若
n 1 2 n+2 n+1 n
a +a +a +a +a +…+a =a,则k=( )
1 3 5 7 9 59 k
A.2 022 B.2 023
C.59 D.60
答案 D
8.(2024北师大附中月考,13)用反证法证明命题“对任意n∈N*,都有a >a ”时,应首先
n+1 n
“假设 ”,再推出矛盾,从而说明假设不能成立,原命题为真命题.
答案 ∃n∈N*,使得a ≤a
n+1 n
9.(2025届北京十五中月考,13)已知数列{a }的前n项和为S ,a +(-1)na =2n-1,则S =
n n n+1 n 8
.
答案 36
1
10.(2025届北京一零一中学月考,13)在数列{a }中,a = ,a a +1=a ,n∈N*,则a = .
n 1 2 n n+1 n 2 022
答案 2
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11.(2024北京五十七中开学测试,14)已知数列{a }的前n项和为S ,S =2a -4,n∈N*.{b }
n n n n n
是等差数列,且b =a ,b =a ,则{b }的通项公式为 ;设c =a ,则
1 1 5 3 n n b
n
c +c +…+c = .
1 2 n
23n+5-32
答案 b =3n+1;
n 7
能力拔高练
1.(2024北京牛栏山一中月考,7)已知数列{a }是无穷项等比数列,则“a >a >a ”是“{a }
n 3 2 1 n
递增”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
2.(2024海淀二模,10)设数列{a }的各项均为非零的整数,其前n项和为S .若j-i(i,j∈N*)
n n
为正偶数,均有a≥2a,且S =0,则S 的最小值为 ( )
j i 2 10
A.0 B.22 C.26 D.31
答案 B
3.(2025届北京三十五中月考,10)已知各项均为整数的数列{a }满足
n
a =1,a =2,a >a +a (n≥3,n∈N*),则下列结论中一定正确的是 ( )
1 2 n n-1 n-2
A.a >20 B.a <100
5 10
C.a >1 000 D.a <2 000
15 20
答案 C
4.(2025届北京一零一中学月考,10)已知数列{a }满足a +1<a <2a +2,a =1,S 是{a }的
n n n+1 n 1 n n
前n项和.若S =2 024,则正整数m的所有可能取值的个数为 ( )
m
A.48 B.50 C.52 D.54
答案 D
5.(2025届北京八十中月考,10)已知无穷数列{a },a =1.性质s: m,n∈N*,a >a +a ,性
n 1 m+n m n
质t: m,n∈N*,2≤m<n,a +a >a +a ,给出下列四个结论:
m-1 n+1 m n ∀
①若a =3-2n,则{a }具有性质s;
∀n n
②若a =n2,则{a }具有性质t;
n n
③若{a }具有性质s,则a ≥n;
n n
④若等比数列{a }既满足性质s又满足性质t,则其公比的取值范围为(2,+∞).
n
则所有正确结论的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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答案 C
6.(2024东城二模,10)设无穷正数数列{a },如果对任意的正整数n,都存在唯一的正整数
n
m,使得a =a +a +a +…+a ,那么称{a }为内和数列,并令b =m,称{b }为{a }的伴随数列,
m 1 2 3 n n n n n
则 ( )
A.若{a }为等差数列,则{a }为内和数列
n n
B.若{a }为等比数列,则{a }为内和数列
n n
C.若内和数列{a }为递增数列,则其伴随数列{b }为递增数列
n n
D.若内和数列{a }的伴随数列{b }为递增数列,则{a }为递增数列
n n n
答案 C
7.(2023北京二中开学测试,10)若数列{a }满足: A,B∈R,AB≠0,使得∀n∈N*,都有
n
a =Aa +Ba ,则称{a }具有“三项相关性”.下列说法正确的有 ( )
n+2 n+1 n n ∃
①若数列{a }是等差数列,则{a }具有“三项相关性”;
n n
②若数列{a }是等比数列,则{a }具有“三项相关性”;
n n
③若数列{a }是周期数列,则{a }具有“三项相关性”;
n n
④若数列{a }具有正项“三项相关性”,且正数A,B满足A+1=B,a +a =B,数列{b }的通
n 1 2 n
项公式为b =Bn,{a }与{b }的前n项和分别为S ,T ,则∀n∈N*,S <T 恒成立.
n n n n n n n
A.①③④ B.①②④
C.①②③④ D.①②
答案 B
1
8.(2024北京丰台二中开学测,10)已知数列{a }满足a = (a -6)3+6(n=1,2,3,…),当
n n+1 4 n
a ∈(4,6)时,有以下3个结论:①a <4时,a <4;②a ∈(4,6)时,存在常数M≤6,使得
n 1 n 1
a <M恒成立;③a ∈(6,8)时,{a }为递减数列,其中正确的个数为 ( )
n 1 n
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 D
9.(2025届朝阳期中,13)已知数列{a }的前n项和为S =An2+Bn(A,B为常数),写出一个有
n n
序数对(A,B)= ,使得数列{a }是递增数列.
n
答案 (1,0)(答案不唯一)
10.(2025届北师大二附中月考,15)数列{a }的前n项和为S ,若数列{a }与函数f(x)满足:
n n n
①f(x)的定义域为R;②数列{a }与函数f(x)均单调递增;③∃n∈N*使S =f(a )成立,则
n n n
称数列{a }与函数f(x)具有“单调偶遇关系”.有下面四个结论:
n
(1)a =2n+1与f(x)=x具有“单调偶遇关系”;
n
(2)a =2n与f(x)=2x-2不具有“单调偶遇关系”;
n
(3)与数列{2n+1}具有“单调偶遇关系”的函数有有限个;
(4)与数列{2n}具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
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其中正确结论的序号为 .
答案 (1)(4)
16 3a +4
11.(2024西城二模,15)在数列{a }中,a = ,a = n-1 (n=2,3,…).给出下列三个结论:
n 1 3 n -a +7
n-1
①存在正整数N,使得当n≥N时,a >2;
n
②存在正整数N,使得当n≥N时,a >a ;
n n-1
a +a
③存在正整数N,使得当n≥N时,a > n-1 n+1.
n 2
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ②③
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