北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
5.3 三角恒等变换
三年模拟
基础强化练
1 1
1.(2025届北京九中月考,3)已知cos(α+β)= ,cos αcos β= ,则tan αtan β= ( )
4 3
1 1
A. B.
4 3
C.3 D.4
答案 A
2.(2025届北京二中期中,3)在平面直角坐标系中,角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴的
( π)
非负半轴,终边过点P(2,4),则tan θ+ = ( )
4
1 1
A.- B.−3C. D.3
3 3
答案 B
5π 5π
3.(2025届北京三十五中月考,7)若点M sin 6 ,cos 6 在角α的终边上,则tan 2α= (
)
√3 √3
A. B.−
3 3
C.√3D.−√3
答案 C
4.(2024朝阳期中,3)若sin θ=√5cos θ,则tan 2θ=( )
√5 √5
A.- B.
3 3
√5 √5
C.- D.
2 2
答案 C
5.(2024延庆一模,6)“sin 2θ>0”是“θ为第一或第三象限角”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
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6.(2023顺义二模,8)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关
√5
于x轴对称.若sin α= ,则cos(α-β)=( )
5
3 4
A.1 B. C. D.0
5 5
答案 B
2
7.(2025届朝阳六校联考,11)已知cos α= ,则cos 2α= .
3
1
答案 -
9
8.(2024西城一模,12)已知α,β∈(0,π),则使tan(α+β)<tan(α-β)成立的一组α,β的值为
α= ,β= .
π π
答案 ; (答案不唯一)
3 3
9.(2023房山二模,12)已知角α的终边过点P(1,2),角β的终边与角α的终边关于y轴对
称,则tan α= ;cos(β-α)= .
3
答案 2;
5
( 1 √3)
10.(2023北京八十中开学考试,13)已知角α的终边与单位圆交于点P − , ,则sin α
2 2
的值为 ,tan 2α的值为 .
√3
答案 ;√3
2
(√2 √2) π
11.(2025届北京九中月考,14)点P从 , 出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动
2 2 3
弧长到达Q点,则点Q的坐标为 .
(√2−√6 √2+√6)
答案 ,
4 4
能力拔高练
1.(2023西城期末,8)设α,β均为锐角,则“α>2β”是“sin(α-β)>sin β”的 ( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
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π
2.(2023西城一模,14)设A(cos α,sin α),B(2cos β,2sin β),其中α,β∈R.当α=π,β= 时,|
2
AB|= ;当|AB|=√3时,α-β的一个取值为 .
π
答案 √5; (答案不唯一)
3
3. (2024北京十七中月考,13)若函数f(x)=sin x+cos(θ-x),对任意的x∈R都满足
f(-x)+f(x)=0,则常数θ的一个取值为 .
π
答案 (答案不唯一)
2
4.(2023西城期末,16)已知函数f(x)=2sin x· ( cos2 x −sin2 x) −√3cos 2x.
2 2
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若x∈(0,π),且f(x)>-1,求x的取值范围.
x x
−sin2
解析 (1)f(x)=2sin x cos22 2 -
( π)
√3cos 2x=2sin xcos x−√3cos 2x=sin 2x−√3cos 2x=2sin 2x− .
3
2π
所以f(x)的最小正周期为 =π.
2
(2)因为0<x<π,
π π 5π
所以- <2x− < .
3 3 3
因为f(x)>-1,
( π) 1
所以sin 2x− >− ,
3 2
π π 7π
所以- <2x− < ,
6 3 6
π 3π
解得 <x< ,
12 4
( π 3π)
所以x的取值范围是 , .
12 4
(π ) 4
5.(2025届北京丰台二中月考,16)已知α∈ ,π ,且sin α= .
2 5
( π)
(1)求tan α− 的值;
4
sin2α−cos2α
(2)求 的值.
1+cos2α
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(π ) 4
解析 (1)∵α∈ ,π ,sin α= ,
2 5
3
∴cos α=-
√1−sin2α=−
,
5
sinα 4
∴tan α= =− ,
cosα 3
π 4
tanα−tan − −1
( π) 4 3
∴tan α− = = =7.
4 π 4
1+tan tanα 1−
4 3
4
(2)由(1)知tan α=- ,
3
sin2α−cos2α 2sinαcosα−cos2α
∴ =
1+cos2α 2cos2α
8
− −1
=2tanα−1 3 11.
= =−
2 2 6
6.(2025届北京三十五中月考,16)如图,在平面直角坐标系xOy中,锐角α和钝角β的终边
4 5
分别与单位圆交于A,B两点.点A的纵坐标是 ,点B的横坐标是- .
5 13
(1)求cos 2α的值;
(2)求sin(β-α)的值.
4 5
解析 (1)由题可知sin α= ,cos β=- .
5 13
(4) 2 7
可得cos 2α=1-2sin2α=1-2× =− .
5 25
( π)
(2)由于α∈ 0, ,
2
3
所以cos α=
√1−sin2α=
,
5
由于β∈ (π ,π ) ,所以sin β= √1−cos2β= 12 ,
2 13
56
所以sin(β-α)=sin βcos α-cos βsin α= .
65
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