北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
5.2 三角恒等变换
基础篇
考点 三角恒等变换
考向一 两角和与差的三角函数公式
1.(2022海南北京师范大学附中月考,3)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= ( )
√3 √3 1 1
A.- B. C.− D.
2 2 2 2
答案 D
(π ) √5
2.(2023届福建漳州质检,5)已知cos −α = ,则sin 2α=( )
4 5
1 1 2 3
A. B.− C.− D.−
5 5 5 5
答案 D
( π)
3.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos α+ sin β,则 ( )
4
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
答案 C
4 √2
4. (2022广东江门陈经纶中学月考,6)已知α,β为锐角,sin α= ,cos(α+β)=- ,
5 2
则cos β=( )
3√2 √2 7√2 9√2
A. B. C. D.
10 10 10 10
答案 B
( π) 1 (π )
5.(2023届河北衡水部分学校月考,14)已知tan α− = ,则cos −2α = .
4 3 2
4
答案
5
6.(2018课标Ⅱ理,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .
1
答案 -
2
( π) ( π)
7.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈ 0, ,tan α=2,则cos α− = .
2 4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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3√10
答案
10
考向二 二倍角公式的应用
sin2α
1.(2011福建,3,5分)若tan α=3,则 的值等于 ( )
cos2α
A.2 B.3 C.4 D.6
答案 D
1 ( π)
2.(2022湖北黄冈中学三模,2)已知cos θ= ,则sin 2θ+ =( )
3 2
7 7 2 2
A.- B. C. D.−
9 9 3 3
答案 A
( π) 4 ( π)
3.(2023届重庆南开中学月考,13)已知sin α+ = ,则sin 2α+ = .
3 5 6
7
答案
25
(π ) 2
4.(2020江苏,8,5分)已知sin2 +α = ,则sin 2α的值是 .
4 3
1
答案
3
1
5.(2022广东江门陈经纶中学月考,17)已知cos α= ,且α是第四象限角.
3
(1)求sin 2α和cos 2α的值;
( π)
(2)求tan α− 的值.
4
1 8
解析 (1)由cos α= ,sin 2α+cos 2α=1得,sin 2α=1-cos 2α= ,又∵α是第四象限角,
3 9
√8 2√2 4√2 7
∴sin α=- =− ,∴sin 2α=2sin αcos α=- ,cos 2α=cos 2α-sin 2α=- .
9 3 9 9
sinα
(2)由(1)可知tan α= =−2√2,
cosα
π
tanα−tan
( π) 4 −2√2−1 9+4√2
∴tan α− = = = .
4 π 1+(−2√2)×1 7
1+tanα·tan
4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考向三 辅助角公式的应用
1 ( π)
1.(2022湖南益阳三模,4)已知sin α-cos α= ,则cos α+ =( )
3 4
1 √2 1 √2
A.- B.− C. D.
3 6 3 6
答案 B
( π) ( π)
2.(2020课标Ⅲ文,5,5分)已知sin θ+sin θ+ =1,则sin θ+ = ( )
3 6
1 √3 2 √2
A. B. C. D.
2 3 3 2
答案 B
3.(2023届哈尔滨师大附中月考,15)4cos 50°-tan 40°= .
答案 √3
综合篇
考法 三角函数式的求值和化简
考向一 给角求值
2cos10°−sin20°
1.(2021江苏盐城二模,5)计算 所得的结果为 ( )
cos20°
A.1 B.√2C.√3 D.2
答案 C
π 5π
2.(2021全国乙,6,5分)cos2 −cos2 =( )
12 12
1 √3 √2 √3
A. B. C. D.
2 3 2 2
答案 D
2cos50°−√3sin10°
3.(2023届辽宁鞍山质量监测,14) 的值为 .
cos10°
答案 1
4.(2022湖南新高考教学教研联盟联考,13)tan 67.5°×(1-tan222.5°)= .
答案 2
tan 39°+tan 81°+tan 240°
5.(2022江苏南通如皋教学质量调研,14) = .
tan 39°tan 81°
答案 √3
6.(2022辽宁滨城期中,13)tan 70°cos 10°·(√3tan 20°-1)等于 .北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 -1
考向二 给值求角
π 4 √2
1.(2022武汉部分重点中学联考,6)已知0<α< <β<π且sin α= ,cos(β-α)= ,则β=
2 5 10
( )
π 2π π 3π
A. B. C. D.
3 3 4 4
答案 D
3 4
2.(2022辽宁滨城期中,4)已知α,β为锐角,tan α= ,cos(α+β)=- ,则2α+β的值为 (
4 5
)
5π 2π π
A. B.π C. D.
6 3 2
答案 B
2√5
3.(2022沈阳期中,6)已知α为锐角,β为钝角且cos α= ,tan β=-3,则α+β的值为 (
5
)
3 2 π π
A. π B. π C. D.
4 3 3 4
答案 A
1 1
4.(2022湖北部分重点中学联考,7)已知tan α= ,tan β=- ,且α,β∈(0,π),则2α-β= (
3 7
)
π π
A. B.−
4 4
3π 3π π
C.- D.− 或
4 4 4
答案 C
α
5.(2023届哈尔滨师大附中月考,18)已知2sin α=2sin2 -1.
2
(1)求sin αcos α+cos 2α的值;
( π)
(2)已知α∈(0,π),β∈ 0, ,且tan2β-6tan β=1,求α+2β的值.
2
1
解析 (1)由已知得2sin α=-cos α,所以tan α=- ,
2
sinαcosα+cos2α−sin2α tanα+1−tan2α 1
则sin αcos α+cos 2α= = = .
sin2α+cos2α tan2α+1 5北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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2tanβ 1
(2)由tan2β-6tan β=1,可得tan 2β= =− ,
1−tan2β 3
1 1
− −
tanα+tan2β 2 3
=
则tan(α+2β)= =-1.
1−tanαtan2β ( 1) ( 1)
1− − × −
2 3
( π) 1 √3 (5π )
因为β∈ 0, ,所以2β∈(0,π),又tan 2β=- >− ,则2β∈ ,π ,因为
2 3 3 6
α∈(0,π),
1 √3 (5π ) (5π ) 7π
tan α=- >− ,所以α∈ ,π ,则α+2β∈ ,2π ,所以α+2β= .
2 3 6 3 4
考向三 给值求值
1 ( π)
1.(2023届甘肃张掖诊断,4)已知sin 2α= ,则cos2 α− = ( )
3 4
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案 D
(π ) sinα
2.(2023届辽宁六校期初,6)若tan −α =-2,则 = ( )
4 sin2αcosα+3cos3α
5 5 1
A. B.2C.− D.−
2 2 2
答案 C
√5 4
3.(多选)(2022重庆巴蜀中学月考八,10)已知cos(α+β)=- ,cos 2α=- ,其中α,β为锐
5 5
角,则 ( )
3 2√5
A.sin 2α= B.cos(α-β)=
5 5
√5 1
C.cos αcos β= D.tan αtan β=
10 3
答案 ABC
( π)
4.(2020浙江,13,6分)已知tan θ=2,则cos 2θ= ,tan θ− = .
4
3 1
答案 -
5 3
( π) 3 5
5.(2023届重庆八中入学考,17)已知α,β∈ 0, ,cos α= ,cos(α+β)= .
2 5 13
(1)求sin β的值;北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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(2)求cos(α+2β)的值.
3 4
解析 (1)因为α,β均为锐角,cos α= ,所以0<α+β<π,sin α=
√1−cos2α=
,又
5 5
5 π 12
cos(α+β)= >0,所以0<α+β< ,sin(α+β)= √1−cos2 (α+β)= .
13 2 13
12 3 5 4 16
所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)·sin α= × − × = .
13 5 13 5 65
16
(2)因为sin β= ,且β为锐角,
65
63
所以cos β=
√1−sin2β=
,
65
所以cos(α+2β)=cos[(α+β)+β]
5 63 12 16 123
=cos(α+β)cos β-sin(α+β)sin β= × − × = .
13 65 13 65 845
4 √5
6.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tan α= ,cos(α+β)=- .
3 5
(1)求cos 2α的值;
(2)求tan(α-β)的值.
4 sinα 4
解析 (1)因为tan α= ,tan α= ,所以sin α= cos α.因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=
3 cosα 3
9
,
25
7
所以cos 2α=2cos2α-1=- .
25
(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).
√5
又因为cos(α+β)=- ,
5
2√5 4
所以sin(α+β)=√1−cos2 (α+β)= ,因此tan(α+β)=-2.因为tan α= ,
5 3
2tanα 24
所以tan 2α= =− .
1−tan2α 7
tan2α−tan(α+β) 2
因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]= =− .
1+tan2αtan(α+β) 11
