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3.9 函数的模型
五年高考
S−1
1.(2024北京,7,4分,易)生物丰富度指数d= 是河流水质的一个评价指标,其中S,N分
lnN
别表示河流中的生物种类数与生物个体总数,生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某
河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N 变为N ,生物丰富度指数由
1 2
2.1提高到3.15,则 ( )
A.3N =2N B.2N =3N
2 1 2 1
C.N2=N3D.N3=N2
2 1 2 1
答案 D
2.(2019北京,文7,理6,5分,中)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两
5 E
颗星的星等与亮度满足m -m = lg 1,其中星等为m 的星的亮度为E(k=1,2).已知太
2 1 2 E k k
2
阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 (
)
A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1
答案 A
3.(2020北京,15,5分,中)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水
治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),
f(b)−f(a)
用- 的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,
b−a
甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t ,t ]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
1 2
②在t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
2
③在t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
3
④甲企业在[0,t ],[t ,t ],[t ,t ]这三段时间中,在[0,t ]的污水治理能力最强.
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②③北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
三年模拟
基础强化练
1.(2025届北师大二附中统练一,5)“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无
量纲指数.当AQI大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天0~24时
{−10t+290,0≤t≤12,
的空气质量指数y随时间t变化的趋势由函数y= 描述,则该天适
56√t−24,12<t≤24
宜开展户外活动的时长至多为( )
A.5小时 B.6小时 C.7小时 D.8小时
答案 C
2.(2025届海淀精华学校入学考试(二),7)已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低,每隔一
1
个月其性能指数都要损失10%,且一般认为当该种类型电池的性能指数降低到原来的
4
以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航,则最多使用( )个月就需要更换纯硫
酸.(参考数据lg 3≈0.477,lg 2≈0.301)
A.11 B.12
C.13 D.14
答案 C
3.(2025届理工大附中开学测试,9)某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条
2
件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100 3x+1-x 元,要使生产100千克该产品获得的
利润最大,该厂应选取的生产速度是 ( )
A.2千克/小时 B.3千克/小时
C.4千克/小时 D.6千克/小时
答案 C
4.(2025届北京市日坛中学开学测试,8)中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之
一便是著名的香农公式:C=Wlog
2
( S ) S S
1+ .它表示,在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W ,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若不改变带宽W ,而将信噪比
N N N
从1 000提升至8 000,则C的增长率约为(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)( )
A.16% B.26% C.30% D.33%
答案 C
5.(2025届朝阳六校联考,9)成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记
载了通过加减消元求解n元一次方程组的算法,直到拥有超强算力计算机的今天,这仍
然是一种效率极高的算法.按照这种算法,求解n元一次方程组大约需要对实系数进行北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
C·n3(C为给定常数)次计算.1949年,经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”(该工
作后来获得1973年诺贝尔经济学奖),利用当时的计算机求解一个42元一次方程组,花
了约56机时.事实上,他的原始模型包含500个未知数,受限于机器算力而不得不进行化
简以减少未知数.如果不进行化简,根据未知数个数估计所需机时,结果最接近于 (
)
A.103机时 B.104机时
C.105机时 D.106机时
答案 C
6.(2024北京怀柔一中零模,8)“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年,我国城乡
深化河道生态环境治理,科学治污.某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米,每天的进
出水量为k立方米,已知污染源以每天r个单位污染河水,某一时段t(单位:天)河水污染
质量指数m(t)(每立方米河水所含的污染物)满足m(t)=
kt
r + ( m − r) e − v(m0为初始质量指数),经测算,河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源,要使河水的污染水平下降到初始时的 1
k 0 k 6
,需要的时间大约是(参考数据:ln 5≈1.61,ln 6≈1.79) ( )
A.1个月 B.3个月 C.半年 D.1年
答案 B
7.(2024北京东直门中学月考,8)渔民出海打鱼,为了保证运回的鱼的新鲜度,鱼被打捞上
船后,要在最短的时间内将其分拣、冷藏.已知某种鱼失去的新鲜度h与其出海后时间
t(分)满足的函数关系式为h=m·at.若出海后20分钟,这种鱼失去的新鲜度为20%,出海
后30分钟,这种鱼失去的新鲜度为40%,那么若不及时处理,打上船的这种鱼大约在多
长时间刚好失去50%的新鲜度( )
(参考数据:lg 2≈0.3)
A.33分钟 B.43分钟
C.50分钟 D.56分钟
答案 A
8.(2024西城一模,10)德国心理学家艾·宾浩斯研究发现,人类大脑对事物的遗忘是有规律
的,他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”.“遗忘曲线”中记忆率y随时间t(小时)变化的
趋势可由函数y=1-0.6t0.27近似描述,则记忆率为50%时经过的时间约为(参考数据:lg
2≈0.30,lg 3≈0.48) ( )
A.2小时 B.0.8小时
C.0.5小时 D.0.2小时
答案 C
能力拔高练北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1.(2025届北京十五中开学测试,11)“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习
是人工智能的一种具有代表性的实现方法,它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化
G
中,指数衰减的学习率模型为L=L 0DG 0 ,其中L表示每一轮优化时使用的学习率,L 0 表示
初始学习率,D表示衰减系数,G表示训练迭代轮数,G 表示衰减速度.已知某个指数衰减
0
的学习率模型的初始学习率为0.5,衰减速度为18,且当训练迭代轮数为18时,学习率为
0.4,则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据:lg 2≈0.3)
( )
A.75 B.74 C.73 D.72
答案 C
2.(2025届房山入学测试,9)近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐,新型动力电池迎来
了蓬勃发展的风口,Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位:Ah),放电时间t(单位:
h)与放电电流I(单位:A)之间关系的经验公式:C=In·t,其中n为Peukert常数.为测算某
蓄电池的Peukert常数n,在电池容量不变的条件下,当放电电流I=30 A时,放电时间
t=15 h;当放电电流I=40 A时,放电时间t=8 h.若计算时取lg 2≈0.301,lg 3≈0.477,则该蓄
电池的Peukert常数n大约为 ( )
A.1.25 B.1.75 C.2.25 D.2.55
答案 C
3.(2025届清华附中开学考试,9)随着新一代人工智能技术的快速发展和突破,以深度学习
5
计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行 ×1015次运算,
4
用它处理一段自然语言的翻译,需要进行2128次运算,那么处理这段自然语言的翻译所需
时间约为(参考数据:lg 2≈0.301,100.431≈2.698)( )
A.2.698×1022秒 B.2.698×1023秒
C.2.698×1024秒 D.2.698×1025秒
答案 B
4.(2024北京市广渠门中学开学考试,7)某科技公司为解决芯片短板问题,计划逐年加大研
发资金投入.若该公司计划2021年全年投入研发资金120亿元,在此基础上,每年投入的
研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是
( )
参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 2≈0.30,lg 3≈0.48
A.2023年 B.2024年
C.2025年 D.2026年
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
5.(2024北京市朝阳外国语学校质量检测二,9)已知改良工艺前所排放废水中含有的污染
物数量为2.65 g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.59 g/m3,第n
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r 满足函数模型r =r +(r -
n n 0 1
r )·50.25n+p(p∈R,n∈N*),其中r 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量,r 为
0 0 1
首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量,n为改良工艺的次数.假设废水中含
有的污染物数量不超过0.25 g/m3时符合废水排放标准,若该企业排放废水符合排放标准,
则改良工艺次数最少要(参考数据:lg 2≈0.301) ( )
A.8次 B.9次
C.10次 D.11次
答案 D
6.(2024北师大二附中月考,15)血药浓度(Serum Drug Concentration)是指药物被吸收后在
血浆内的总浓度(单位:mg/mL),通常用血药浓度来研究药物的作用强度.服用同等剂量
的三种新药后血药浓度的变化情况如图,其中点A的横坐标表示服用第i种药后血药浓
i
度达到峰值时所用的时间,其他点的横坐标分别表示服用三种新药后血药浓度第二次达
到峰值一半时所用的时间(单位:h),点A的纵坐标表示第i种药的血药浓度的峰值.
i
(i=1,2,3)
①记V为服用第i种药后达到血药浓度峰值时,血药浓度提高的平均速度,则V ,V ,V 中
i 1 2 3
最大的是 ;
②记T为服用第i种药后血药浓度从峰值降到峰值的一半所用的时间,则T ,T ,T 中最
i 1 2 3
大的是 .
答案 ①V ②T
1 3
7.(2024房山入学考试,15)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定
p
义声压级L =20×lg ,其中常数p (p >0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声
p p 0 0
0
源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p ,p ,p ,
1 2 3
给出下列结论:①p ≥p ;②p >10p ;③p =100p ;④p ≤100p .则所有正确结论的序号是
1 2 2 3 3 0 1 2
.
答案 ①③④
8.(2024清华附中开学考试,15)海水受日月的引力,会发生潮汐现象.在通常情况下,船在
涨潮时驶入航道,进入港口,落潮时返回海洋.某兴趣小组通过AI技术模拟在一次潮汐现
象下货船出入港口的实验:首先,设定水深y(单位:米)随时间x(单位:小时)的变化规律
π
为y=0.8sin ωx+2(ω∈R),其中0≤x≤ ;然后,假设某货船空载时吃水深度(船底与水面的
ω
距离)为0.5米,满载时吃水深度为2米,卸货过程中,随着货物卸载,吃水深度以每小时
0.4米的速度减小;并制定了安全条例,规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙,
在此次模拟实验中,若货船满载进入港口,那么以下结论正确的是 .
π
①若ω= ,货船在港口全程不卸货,则该船在港口至多能停留4个小时;
6
π
②若ω= ,货船进入港口后,立即进行货物卸载,则该船在港口至多能停留4个小时;
6
π
③若ω=1,货船于x=1时进入港口后,立即进行货物卸载,则x= 时,船底离海底的距离
2
最大;
2π
④若ω=1,货船于x=1时进入港口后,立即进行货物卸载,则x= 时,船底离海底的距离
3
最大.
答案 ①④
9.(2025届北京三十五中开学测试,17)科学家发现某种特别物质的温度y(单位:摄氏度)
随时间x(单位:分钟)的变化规律满足关系式:y=m·2x+21-x(0≤x≤4,m>0).
(1)若m=2,求经过多少分钟,该物质的温度为5摄氏度;
(2)如果该物质温度总是不低于2摄氏度,求m的取值范围.
2
解析 (1)当m=2时,令y=2·2x+21-x=2·2x+ =5,
2x
1
解得2x=2或2x= ,又0≤x≤4,所以x=1,
2
所以经过1分钟,该物质的温度为5摄氏度.
(2)由题意得m·2x+21-x≥2对0≤x≤4恒成立,
2 2 1 1
则由m·2x+21-x≥2,得m≥ − ,令t= ,则 ≤t≤1,
2x 22x 2x 16
( 1) 2 1
所以m≥2t-2t2=-2 t− + ,
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1 1 1
当t= 时,函数y=2t−2t2取得最大值 ,则m≥ .
2 2 2
[1 )
所以实数m的取值范围是 ,+∞ .
2
