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专题十一 概率与统计
11.1 随机事件与古典概型
五年高考
1.(2016北京文,6,5分,易)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(
)
1 2 8 9
A. B. C. D.
5 5 25 25
答案 B
2.(2018北京理,17,12分,中)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
假设所有电影是否获得好评相互独立.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概
率;
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξ=1”表示
k
第k类电影得到人们喜欢,“ξ=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写
k
出方差Dξ ,Dξ ,Dξ ,Dξ ,Dξ ,Dξ 的大小关系.
1 2 3 4 5 6
解析 (1)由题中表格可知电影的总部数为140+50+300+200+800+510=2 000,获得好评
的第四类电影的部数为200×0.25=50.
设从收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影为事件A,则P(A)=
50 1
= .
2000 40
(2)由题中表格可得,第五类电影的总部数为800,获得好评的第五类电影的部数为
800×0.2=160,未获得好评的第五类电影的部数为800-160=640,
第四类电影的总部数为200,由(1)知,获得好评的第四类电影的部数为50,未获得好评
的第四类电影的部数为200-50=150,
设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评为事件B,则P(B)=
C1 C1 +C1 C1
7
50 640 150 160=
.
C1 C1 20
200 800
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(3)由题意知ξ(k=1,2,3,4,5,6)服从两点分布,由两点分布的方差公式Dξ=p(1-p),分别
k
求得Dξ =0.24,Dξ =0.16,Dξ =0.127 5,Dξ =0.187 5,Dξ =0.16,Dξ =0.09,所以
1 2 3 4 5 6
Dξ >Dξ >Dξ =Dξ >Dξ >Dξ .
1 4 2 5 3 6
3.(2019北京文,17,12分,中)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动
支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情
况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都
不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
支付金额
支付方式 不大于 大于
2 000元 2 000元
仅使用A 27人 3人
仅使用B 24人 1人
(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;
(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概
率;
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机
抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B
的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化?说明理由.
解析 (1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,
A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.
40
估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为 ×1 000=400.
100
(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大
1
于2 000元”,则P(C)= =0.04.
25
(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2
000元”.
假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,
P(E)=0.04.
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额
大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
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事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的.所以无法确定
有没有变化.
4.(2020北京,18,14分,中)某校为举办甲、乙两项不同活动,分别设计了相应的活动方案:
方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持,对学生进行简单随机抽样,获得
数据如下表:
男生 女生
支持 不支持 支持 不支持
方案一 200人 400人 300人 100人
方案二 350人 250人 150人 250人
假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.
(1)分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率;
(2)从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人
支持方案一的概率;
(3)将该校学生支持方案二的概率估计值记为p .假设该校一年级有500名男生和300名
0
女生,除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p .试比较p 与p 的大小.
1 0 1
(结论不要求证明)
解析 (1)设“该校男生支持方案一”为事件A,“该校女生支持方案一”为事件B.
200 1
依题意知,抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)= =
600 3
300 3
;抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,故P(B)= = .
400 4
1
(2)由(1)可知,“该校男生支持方案一”的概率估计值为 ;“该校女生支持方案一”的概
3
3
率估计值为 .
4
设“抽取的该校2个男生和1个女生中,支持方案一的恰有2人”为事件C,该事件包括
“2个男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2个男生中有且只有1人支持方案一
且女生支持方案一”,故所求概率为
P(C)= (1) 2 × ( 1- 3) +C1× 1 × ( 1- 1) × 3 = 13 .
3 4 2 3 3 4 36
(3)p <p .
1 0
解法一:由样本的频率估计总体概率,该校学生支持方案二的概率估计值为p =
0
350+150 1
= .
600+400 2
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350
该校一年级男生中支持方案二的约有 ×500≈292人,该校一年级女生中支持方
350+250
150
案二的约有 ×300≈113人,假设一年级学生中支持方案二的概率为p ,则p =
250+150 2 2
292+113 81 81 80 1
= , > = ,
500+300 160 160 160 2
则p >p ,故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即
2 0
p <p .
1 0
解法二:由题表可知,男生支持方案二的概率明显大于女生支持方案二的概率.样本中男、
350+150 1 5 3
女生比例为3∶2,此时p = = .而一年级的男、女生比例为5∶3,因为 > ,所以
0 600+400 2 3 2
该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率,即p <p .
1 0
5.(2023北京,18,13分,难)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续
40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价
格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不
变”,即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天到
- + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第20天
第21天到
0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
第40天
用频率估计概率.
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农
产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价
格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)
解析 (1)由题表得这40天内该农产品价格“上涨”的天数为16,估计该农产品价格
16 2
“上涨”的概率为 = .
40 5
2
(2)由(1)估计该农产品价格“上涨”的概率为 ,
5
14 7 10 1
由题表估计该农产品价格“下跌”的概率为 = ,价格“不变”的概率为 = ,
40 20 40 4
所以所求概率为C2×
(2) 2
×C1×
7
×
1
=
21
.
4 5 2 20 4 125
(3)第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.
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详解:由于第40天该农产品价格处于上涨状态,从前39次的15次“上涨”进行分析,“上
涨”后下一次仍“上涨”的有4次,“不变”的有9次,“下跌”的有2次,因此估计第41天
该农产品价格“不变”的概率最大.
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三年模拟
基础提升练
1.(2025届北京一零一中学开学测试,4)如图所示,1,2,3表示三个开关,若在某段时间内
它们每个正常工作的概率都是0.9,那么此系统的可靠性是 ( )
A.0.999 B.0.981
C.0.980 D.0.729
答案 B
2.(2025届北京市西城外国语学校开学测试,3)在一段时间内,甲去博物馆的概率为0.8,乙
去博物馆的概率为0.7,且甲、乙两人各自行动.则在这段时间内,甲、乙两人至少有一个
去博物馆的概率是 ( )
A.0.56 B.0.24
C.0.94 D.0.84
答案 C
3.(2025届北京三十五中开学测试,4)某地区居民血型的分布为O型49%,A型19%,B型
25%,AB型7%.已知同种血型的人可以互相输血,O型血的人可以给任何一种血型的人
输血,AB型血的人可以接受任何一种血型的血,其他不同血型的人不能互相输血.现有
一血型为A型的病人需要输血,若在该地区任选一人,则能为该病人输血的概率为 (
)
A.19% B.26%
C.68% D.75%
答案 C
4.(2025届北京八中测试,3)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球,下列情况中互
斥而不对立的两个事件是 ( )
A.至少有一个红球,至少有一个白球
B.恰有一个红球,都是白球
C.至少有一个红球,都是白球
D.至多有一个红球,都是红球
答案 B
5.(2024北京四中开学测试,4)有10名学生,其中4名男生,6名女生,从中任选2名学生,
其中恰好有1名男生的概率是( )
8 6
A. B.
15 25
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2 4
C. D.
15 45
答案 A
6.(2024北京八中练习,6)已知10个产品中有3个次品,现从其中抽出若干个产品,要使这
3个次品全部被抽出的概率不小于0.6,则至少应抽出的产品个数为 ( )
A.7 B.8
C.9 D.10
答案 C
7.(2024北京市朝阳外国语学校质量检测二,12)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社
区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
3
答案
10
8.(2023朝阳一模,18)某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竞答活动,
根据答题得分情况评选出一、二、三等奖若干,为了解不同性别学生的获奖情况,从该
地区随机抽取了500名参加活动的高一学生,获奖情况统计结果如下:
获奖人数
性别 人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立.
(1)分别从上述200名男生和300名女生中各随机抽取1名,求抽到的2名学生都获一等
奖的概率;
(2)用频率估计概率,从该地区高一男生中随机抽取1名,从该地区高一女生中随机抽取
1名,以X表示这2名学生中获奖的人数,求X的分布列和数学期望EX;
(3)用频率估计概率,从该地区高一学生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为
p ;从该地区高一男生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p ;从该地区高一女
0 1
p +p
生中随机抽取1名,设抽到的学生获奖的概率为p ,试比较p 与 1 2的大小.(结论不
2 0 2
要求证明)
解析 (1)设“分别从200名男生和300名女生中各随机抽取1名,抽到的2名学生都获
一等奖”为事件A,
C1 C1
1
则P(A)= 10 25 = .
C1 C1 240
200 300
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.
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记“从该地区高一男生中随机抽取1名,该学生获奖”为事件B,“从该地区高一女生中
随机抽取1名,该学生获奖”为事件C.由题设知,事件B,C相互独立,且P(B)估计为
10+15+15 1 25+25+40 3
= ,P(C)估计为 = .
200 5 300 10
( 1) ( 3 ) 28 14
所以P(X=0)=P(BC)=P(B)P(C)= 1- × 1- = = ,
5 10 50 25
1 ( 3 ) ( 1) 3 19
P(X=1)=P(BC∪BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)= × 1- + 1- × = ,
5 10 5 10 50
1 3 3
P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)= × = .
5 10 50
所以X的分布列为
X 0 1 2
14 19 3
P
25 50 50
14 19 3 1
故X的数学期望EX=0× +1× +2× = .
25 50 50 2
p +p
(3)p > 1 2.
0 2
1 13 1 3
详解:用频率估计概率得p = ×(10+15+15+25+25+40)= ,由(2)知p = ,p = ,故
0 500 50 1 5 2 10
1 3
+ p +p
p +p 5 10 1 13,则p > 1 2 .
1 2= = < 0 2
2 2 4 50
能力拔高练
1.(2025届北师大二附中统练一,13)在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有100名学生
参加,其中甲校男生成绩的优秀率为70%,女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优
秀率为60%,女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.
其中,所有正确结论的序号是 .
答案 ②③
2.(2025届北京一零一中学开学测试,19)某科目进行考试时,从计算机题库中随机生成一
份难度相当的试卷.规定每位同学有三次考试机会,一旦某次考试通过,该科目成绩合格,
无需再次参加考试,否则就继续参加考试,直到用完三次机会.现从2022年和2023年这
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两年的第一次、第二次、第三次参加考试的考生中,分别随机抽取100位考生,获得数
据如下表:
2022年 2023年
通过 未通过 通过 未通过
第一次 60人 40人 50人 50人
第二次 70人 30人 60人 40人
(100-
第三次 80人 20人 m人
m)人
假设每次考试是否通过相互独立.
(1)从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生,估计这两位考
生都通过考试的概率;
(2)小明在2022年参加考试,估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率;
(3)若2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率,则m的最小值
为下列数值中的哪一个?(直接写出结果)
m的值 83 88 93
解析 (1)记事件A表示“2022年第i次参加考试的考生通过考试”,i∈{1,2,3},
i
记事件B表示“2023年第j次参加考试的考生通过考试”,j∈{1,2,3},
j
60 50
则P(A )= =0.6,P(B )= =0.5,
1 100 1 100
∴从2022年和2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生,估计这两位考生
都通过考试的概率为P(A B )=P(A )P(B )=0.6×0.5=0.3(独立事件概率乘法公式).
1 1 1 1
60 40
(2)∵P(A )= =0.6,P(A )= =0.4,
1 100 1 100
70
∴P(A A )=P(A )P(A )=0.4× =0.28,
1 2 1 2 100
∴小明在2022年参加考试,估计他不超过两次考试该科目成绩合格的概率为P(A )+P(
1
A A )=0.6+0.28=0.88(互斥事件概率加法公式).
1 2
(3)2022年考生成绩合格的概率为1-P(A A A )=1-P(A )P(A )P(A )=1-
1 2 3 1 2 3
40 30 20
× × =0.976(对立事件的性质),
100 100 100
2023年考生成绩合格的概率为1-P(B B B )=1-P(B )P(B )P(B )=1-
1 2 3 1 2 3
50 40 100-m
× × ,
100 100 100
要使2023年考生成绩合格的概率不低于2022年考生成绩合格的概率,则1-
50 40 100-m
× × ≥0.976,解得m≥88.
100 100 100
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故m的最小值为88.
3.(2025届房山良乡中学月考,19)某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依
产品的等级来确定,其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、
75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例,检测员从流水线上随机抽取200件产品
进行等级检测,检测结果如下表所示.
产品等级 优等品 一等品 二等品 普通品
样本数量/件 30 50 60 60
(1)若从流水线上随机抽取一件产品,估计该产品为优等品的概率;
(2)从该流水线上随机抽取3件产品,记其中单件产品利润大于20元的件数为X,用频率
估计概率,求随机变量X的分布列和数学期望;
(3)为拓宽市场,产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售,每件产品的销售价
格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为s2,s2,比较s2,s2的
1 2 1 2
大小.(请直接写出结论)
30 3
解析 (1)抽取的200件产品中优等品有30件,抽取优等品的频率是 = ,
200 20
3
用样本估计总体,从流水线上随机抽取一件产品,估计是优等品的概率为 .
20
(2)由题意知,优等品和一等品的单件产品利润大于20元.从流水线上随机抽取一件产品,
30+50 2
估计利润大于20元的概率为 = .
200 5
X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X=0)=C0(3) 3
=
27
,
3 5 125
P(X=1)=C1(2) 1 (3) 2
=
54
,
3 5 5 125
P(X=2)=C2(2) 2 (3) 1
=
36
,
3 5 5 125
P(X=3)=C3(2) 3
=
8
,
3 5 125
分布列为
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P
125 125 125 125
54 36 8 6
所以X的数学期望E(X)=0+ +2× +3× = .
125 125 125 5
(3)s2=s2
.
1 2
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详解:设200件样本利润分别为x ,x ,…,x ,平均数为x,
1 2 200
则降价后200件样本利润分别为x -5,x -5,…,x -5,平均数为x-5,
1 2 200
由方差计算公式得s2=s2
.
1 2
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