北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
5.5 解三角形
五年高考
1.(2023北京,7,4分,易)在△ABC中,(a+c)·(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C= (
)
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 B
2.(2022北京,16,13分,易)在△ABC中,sin 2C=√3sin C.
(1)求∠C;
(2)若b=6,且△ABC的面积为6√3,求△ABC的周长.
解析 (1)∵sin 2C=√3sin C,∴2sin Ccos C=√3sin C,
√3
又sin C≠0,∴cos C= .
2
π
∵∠C∈(0,π),∴∠C= .
6
1 1 π 3
(2)∵S = absin C= a×6×sin = a=6√3,
ABC 2 2 6 2
△
∴a=4√3.
√3
由余弦定理得c2=(4√3)2+62-2×4√3×6× =12,
2
∴c=2√3,∴△ABC的周长为a+b+c=6+6√3.
√3
3.(2024北京,16,13分,易)在△ABC中,∠A为钝角,a=7,sin 2B= bcos B.
7
(1)求∠A;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求
△ABC的面积.
条件①:b=7;
13
条件②:cos B= ;
14
5√3
条件③:csin A= .
2
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
√3 √3
解析 (1)∵sin 2B= bcos B,∴2sin Bcos B= bcos B,
7 7
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π √3
∵∠A为钝角,∴B≠ ,∴cos B≠0,∴2sin B= b.
2 7
√3 √3sinB
又∵a=7,∴2sin B= ·b= ,
a sin A
√3 2π
∴sin A= ,又∵∠A为钝角,∴A= .
2 3
(2)不可选条件①.
2π
若b=7,又a=7,∴a=b,从而A=B= ,
3
因此A+B>π, ABC不存在.
选择条件②.
△
13 3√3 1
∵cos B= ,∴sin B= ,又cos A=- ,
14 14 2
∴sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)
=sin Acos B+cos Asin B
√3 13 ( 1) 3√3 5√3
= × + - × = ,
2 14 2 14 14
3√3
7×
a b asinB 14
∵ = ,∴b= = =3,
sinA sinB sin A √3
2
1 1 5√3 15√3
∴S = absin C= ×7×3× = .
ABC 2 2 14 4
△
选择条件③.
5√3 2π
∵csin A= ,又A= ,∴c=5.
2 3
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A
( 1)
得49=b2+25-2×b×5× - ,
2
∴b2+5b-24=0,解得b=3或b=-8(舍).
1 1 √3 15√3
∴S = bcsin A= ×3×5× = .
ABC 2 2 2 4
△
4.(2020北京,17,13分,中)在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一
个作为已知,求:
(1)a的值;
(2)sin C和△ABC的面积.
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1
条件①:c=7,cos A=- ;
7
1 9
条件②:cos A= ,cos B= .
8 16
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
解析 若选条件①:
1
(1)∵a+b=11,∴b=11-a,已知c=7,cos A=- ,
7
( 1)
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=(11-a)2+72-2×(11-a)×7× - ,解得a=8.
7
1 4√3
(2)∵cos A=- ,∴sin A=√1-cos2A= .
7 7
a c csin A √3
∵ = ,∴sin C= = .
sin A sinC a 2
又∵b=11-a=11-8=3,
1 1 4√3
∴S = bcsin A= ×3×7× =6√3.
ABC 2 2 7
△
若选条件②:
1 3√7
(1)∵cos A= ,∴sin A=√1-cos2A= .
8 8
9 5√7
∵cos B= ,∴sin B=√1-cos2B= .
16 16
a b
a b =
由正弦定理 = ,得3√7 5√7,∴5a=6b,
sinA sinB
8 16
又∵a+b=11,∴a=6.
(2)由(1)可得b=11-a=5.
3√7 9 1 5√7 √7
sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= × + × = ,
8 16 8 16 4
1 1 √7 15√7
∴S = absin C= ×6×5× = .
ABC 2 2 4 4
△
2π
5.(2021北京,16,13分,中)在△ABC中,c=2bcos B,∠C= .
3
(1)求∠B;
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存在且唯
一确定,求BC边上中线的长.
条件①:c=√2b;
条件②: ABC的周长为4+2√3;
△
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3√3
条件③: ABC的面积为 .
4
注:如果△选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
b c
解析 (1)由 = 及c=2bcos B,
sinB sinC
得sin C=2sin Bcos B.
2π √3
因为∠C= ,所以sin 2B= .
3 2
π π
又因为0<∠B< ,所以∠B= .
3 6
2π π π 2π π
(2)由(1)知,∠A=π- - = .所以△ABC是顶角为 ,底角为 的等腰三角形.所以
3 6 6 3 6
a=b,c=√3a.与c=√2b矛盾.
选条件②: ABC的周长为4+2√3.
由对条件①的分析知c=√3b,a=b,则(2+√3)a=4+2√3,所以a=2.
△
设BC边上中线的长为d,BC的中点为D.
(a) 2 a
在△ACD中,由余弦定理得d2= +a2-2· ·acos C.
2 2
( 1)
所以d2=1+4-2×1×2× - .故d=√7.
2
3√3
选条件③: ABC的面积为 .
4
△
1 2π 3√3
由题设, a2sin = .所以a=√3.
2 3 4
设BC边上中线的长为d,BC的中点为D.
(a) 2 a
在△ACD中,由余弦定理得d2= +a2-2· ·acos C.
2 2
3 √3 ( 1) √21
所以d2= +3-2× ×√3× - .故d= .
4 2 2 2
三年模拟
基础强化练1
2√7
1.(2025届北京一零一中学月考,6)在△ABC中,a=2,b=√7,“B=60°”是“cos A= ”的(
7
)
A.充分不必要条件
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B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
1
2.(2025届北京顺义一中期中,6)在△ABC中,若a=7,b=8,cos B= ,则∠A的大小为 (
7
)
π π
A. B.
6 3
5π π 2π
C. D. 或
6 3 3
答案 B
1 3
3.(2025届北京四中期中,14)在△ABC中,tan A= ,tan B= .
4 5
(1)∠C= ;
(2)若△ABC的最长边的长为√17,则最短边的长为 .
3π
答案 (1) (2)√2
4
3
4.(2025届朝阳期中,12)在△ABC中,已知cos A= ,则sin A= ;tan(π-A)=
5
.
4 4
答案 ;-
5 3
1 (b+c) 2
5.(2025届朝阳六校联考,13)在△ABC中,若BC边上的高为 a,则 的一个取值为
3 bc
.
答案 5(答案不唯一)
π
6.(2025届丰台期末,13)在△ABC中,A= ,a=2.
3
π
①若B= ,则b= ;
6
②△ABC面积的最大值为 .
2√3
答案 ① ②√3
3
7.(2025届海淀期末,13)已知△ABC为等腰三角形,sin A=2sin B,则cos B= .
7
答案
8
第5页共18页第5页共18页
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8.(2025届北京陈经纶中学月考,16)在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知
sin 2A=sin B·cos C+cos B·sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若b=2c, ABC的面积为2√3,求△ABC的周长.
解析 (1)sin 2A=sin B·cos C+cos B·sin C=sin(B+C)=sin A,
△
π
在△ABC中,有2A+A=π,即A= .
3
π
(2)由(1)知A= ,又b=2c,
3
1 1 √3
所以S = bcsin A= ×2c2× =2√3,
ABC 2 2 2
△
即c=2,所以b=4,
1
又a2=b2+c2-2bccos A=16+4-2×4×2× =12,即a=2√3,
2
所以△ABC的周长为a+b+c=2√3+4+2=6+2√3.
2π
9.(2025届北师大附中期中,16)如图,在△ABC中,∠A= ,AC=√2,CD平分∠ACB交AB
3
于点D,CD=√3.
(1)求∠ADC的值;
(2)求BC的长度;
(3)求△BCD的面积.
AC CD
解析 (1)在△ADC中,由正弦定理得 = ,
sin∠ADC sin∠A
2π
√2sin
所以sin∠ADC=AC·sin∠A 3 √2,
= =
CD √3 2
π π
因为0<∠ADC< ,所以∠ADC= .
3 4
2π π π
(2)由(1)得∠ACD=∠BCD=π- - = ,
3 4 12
π 2π π π
所以∠ACB=∠ACD+∠BCD= ,所以∠B=π- - = ,即△ABC为等腰三角形,
6 3 6 6
π
所以BC=2×AC×cos =√6.
6
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π (π π) √3 √2 1 √2 √6-√2
(3)sin∠BCD=sin =sin - = × - × = ,
12 3 4 2 2 2 2 4
1 1 √6-√2 3(√3-1)
所以△BCD的面积S = BC·CD·sin∠BCD= ×√6×√3× = .
BCD 2 2 4 4
△
10.(2025届朝阳期中,16)在△ABC中,acos C+ccos A=2a.
b
(1)求 的值;
a
π
(2)若A= ,c=√3,求b及△ABC的面积.
6
解析 (1)由acos C+ccos A=2a,结合正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=2sin A,所以
sin(A+C)=2sin A,
由A+C=π-B,得sin B=2sin A,
sinB
又因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以 =2,
sin A
b sinB
由正弦定理可得 = =2.
a sin A
π
(2)因为A= ,c=√3,
6
π
所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+3-2√3bcos ,
6
√3
又由(1)可知b=2a,所以a2=4a2+3-4√3a× ,
2
整理得3a2-6a+3=0,即a2-2a+1=0,
所以a=1,所以b=2a=2,
1 1 π √3
所以△ABC的面积S = bcsin A= ×2×√3×sin = .
ABC 2 2 6 2
△
基础强化练2
1.(2024朝阳一模,3)在△ABC中,若√3a=2bsin A,则B为( )
π π
A. B.
3 6
π 2π π 5π
C. 或 D. 或
3 3 6 6
答案 C
2.(2024理工大附中月考,5)在△ABC中,C=60°,a+2b=8,sin A=6sin B,则c= (
)
A.√35B.√31
C.6 D.5
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答案 B
π 7π
3.(2024东城二模,3)在△ABC中,A= ,C= ,b=√2,则a= ( )
4 12
A.1 B.√2C.√3 D.2
答案 D
(π )
4.(2024北京丰台二中开学测,7)在△ABC中,(a-c)(sin A+sin C)=(a+b)cos +B ,则
2
∠C= ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 C
3
5.(2024海淀二模,5)在△ABC中,AB=4,AC=5,cos C= ,则BC的长为( )
4
3
A.6或 B.6
2
C.3+3√2 D.3
答案 A
6.(2024石景山期末,8)在△ABC中,2acos A=bcos C+ccos B,则A= ( )
π π
A. B.
6 3
π 2π
C. D.
2 3
答案 B
7.(2024门头沟一模,7)在△ABC中,A=120°,a=√19,b-c=1,则△ABC的面积为( )
3√3 3 3√3 3
A. B. C. D.
2 2 4 4
答案 A
8.(2024西城期末,6)在△ABC中,B=60°,b=√7,a-c=2,则△ABC的面积为( )
3√3 3√3
A. B.
2 4
3 3
C. D.
2 4
答案 B
9.(2024北京一七一中学开学考试,12)在△ABC中,A=2B,2a=3b,则cos B= .
3
答案
4
第8页共18页第8页共18页
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10.(2024延庆一模,12) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,sin A=3sin
C,b=√7,则c= , ABC的面积为 .
△
3√3
△
答案 1;
4
11.(2023海淀二模,13)如图,在△ABC中,D是边BC上一点,AD=BD=4,CD=2,AC=3√2,
则cos∠ADC= ; ABD的面积为 .
△
1
答案 - ;3√7
8
12.(2024海淀一模,16)在△ABC中,bsin C +√3ccos B=2c.
(1)求∠B;
(2)若a=2√3,b+c=4,求△ABC的面积.
a b c
解析 (1)由正弦定理 = = 及bsin C+√3ccos B=2c,
sin A sinB sinC
得sin Bsin C+√3sin Ccos B=2sin C.
因为C∈(0,π),所以sin C≠0.
( π)
所以sin B+√3cos B=2.所以sin B+ =1.
3
π π π
因为B∈(0,π),所以B+ = ,即B= .
3 2 6
a2+c2-b2 √3
(2)由余弦定理的推论得cos B= = .
2ac 2
因为a=2√3,所以12+c2-b2=6c.
因为b+c=4,所以12+c2-(4-c)2=6c,所以c=2.
1
所以△ABC的面积为 acsin B=√3.
2
能力拔高练
1.(2025届北京九中月考,8)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则角A是 ( )
A.钝角 B.直角
C.锐角 D.不能确定
答案 C
2.(2025届北京十三中月考,8)已知等边△ABC边长为3,点D在BC边上,且BD>CD,AD=
√7.下列结论中错误的是 ( )
第9页共18页第9页共18页
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BD S
A. =2B. △ABD =2
CD S
△ACD
cos∠BAD sin∠BAD
C. =2D. =2
cos∠CAD sin∠CAD
答案 C
cosA b
3.(2024北京二十中月考,7)在△ABC中,若 = ,则该三角形的形状一定是 (
cosB a
)
A.等腰三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等边三角形
答案 C
4.(2023海淀期中,8)在△ABC中,sin B=sin 2A,c=2a,则 ( )
A.∠B为直角 B.∠B为钝角
C.∠C为直角 D.∠C为钝角
答案 C
π
5.(2024大兴期末,6)在△ABC中,“C= ”是“sin2A+sin2B=1”的( )
2
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
6.(2024北京东直门中学月考,9)我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图1,伞不管是张开还是收
拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D
能够沿着伞柄滑动.如图2,伞完全收拢时,伞圈D已滑动到D'的位置,且A、B、D'三点
共线,AD'=40 cm,B为AD'的中点,当伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑
动的距离为24 cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是 ( )
图1 图2
17 4√21
A.- B.-
25 25
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3 8
C.- D.-
5 25
答案 A
7.(2025届北京九中月考,9)某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α
的四个等腰三角形,及其底边所构成的正方形组成,该八边形的面积为 ( )
A.2sin α-2cos α+2
B.sin α-√3cos α+3
C.3sin α-√3cos α+1
D.2sin α-cos α+1
答案 A
√3
8.(2024北京景山学校月考,9)在边长为 的正三角形ABC的边AB、AC上分别取M、N
3
两点,沿MN折叠三角形,使顶点A正好落在边BC上,则AM的长度的最小值为 (
)
1 1 √3
A. B. C.2-√3D.
4 3 2
答案 C
π √5
9.(2024丰台一模,12)在△ABC中,若b=5,B= ,cos A= ,则a= .
4 5
答案 2√10
√2
10.(2024房山期末,13)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b- c=acos C,
2
则A= .
π
答案
4
2
11.(2024顺义二模,12)在△ABC中,c=3,a+b=7,cos C= ,则△ABC的面积为 .
3
答案 2√5
12.(2025届北师大二附中期中,13)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、
2π
c,b2=(a+c)2-6,B= ,则△ABC的面积是 .
3
3√3
答案
2
第11页共18页第11页共18页
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13.(2025届北京一零一中学统练三,18)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
且b2+c2=a2-2bcsin A.
(1)求A的大小;
(2)若D是边AB的中点,且CD=2,求c+2√2b的取值范围.
解析 (1)因为b2+c2=a2-2bcsin A,
b2+c2-a2 -2bcsin A
所以cos A= = =-sin A,
2bc 2bc
3π
所以tan A=-1,又因为A∈(0,π),所以A= .
4
3π ( π)
(2)令∠ACD=θ,因为A= ,所以θ∈ 0, ,
4 4
在△ACD中,由正弦定理可得
b CD b 2 (π )
= ⇒ = ⇒b=2√2sin -θ
sin (π -θ ) sin A sin (π -θ ) sin 3π 4 ,
4 4 4
AD CD AD 2
= ⇒ = ⇒AD=2√2
sinθ sinA sinθ 3π sin θ,
sin
4
所以c=2AD=4√2sin θ,
(π )
所以c+2√2b=4√2sin θ+2√2×2√2sin -θ =4√2cos θ,
4
( π) (√2 )
又因为θ∈ 0, ,所以cos θ∈ ,1 ,
4 2
所以c+2√2b∈(4,4√2).
14.(2024人大附中月考,19)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足
sin2A+sin2C-sin2B+sin Asin C=0.
(1)求角B的大小.
(2)给出以下三个条件:
条件①:a2-b2+c2-3c=0;条件②:a=3;
15√3
条件③:S = .
ABC 4
△
从这三个条件中选择两个条件,使得△ABC存在且唯一确定,请写出你选择的两个条件
并回答下面的问题:
(i)求sin A的值;
(ii)点M为线段AB中点,点N为线段BC中点,点P为线段MN上一个动点,记λ=
⃗PA·⃗PC,直接写出λ的最大值.
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解析 (1)由sin2A+sin2C-sin2B+sin Asin C=0及正弦定理得a2+c2-b2+ac=0,故cos B=
a2+c2-b2 -ac 1
= =- ,
2ac 2ac 2
2π
因为B∈(0,π),所以B= .
3
(2)(i)选择①②:
{a2+c2-b2+ac=0,
由 得ac+3c=0,
a2-b2+c2-3c=0,
又a=3,所以6c=0,解得c=0,此时△ABC不存在.
选择①③:
{a2+c2-b2+ac=0,
由 得ac+3c=0,
a2-b2+c2-3c=0,
又c>0,故a=-3,不合要求,此时△ABC不存在.
选择②③:
1 15√3 1 2π 15√3
S = acsin B= ,即 ×3csin = ,解得c=5,
ABC 2 4 2 3 4
△
又a=3,a2+c2-b2+ac=0,故9+25-b2+15=0,得b=7,
由于3+5>7,故满足△ABC存在且唯一.
3 7
a b = 3√3
由 = ,得sin A 2π ,解得sin A= .
sinA sinB sin 14
3
(ii)取AC的中点H,连接PH,
则⃗PA+⃗PC=2⃗PH,⃗PA-⃗PC=2⃗CH,
两式平方后相减得⃗PA·⃗PC=|⃗PH|2-|⃗CH|2,
7
其中| ⃗CH|= ,当点P与M重合或与N重合时,|⃗PH|最大,
2
1 3
当点P与M重合时,|⃗PH|= a= ,
2 2
1 5
当点P与N重合时,|⃗PH|= c= ,
2 2
5
故|⃗PH|的最大值为 ,
2
25 49
故λ=⃗PA·⃗PC=|⃗PH|2-|⃗CH|2 的最大值为 - =-6.
4 4
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x
15.(2024西城二模,16)已知函数f(x)=√3sin x+2cos2 .在△ABC中,f(A)=f(B),且
2
a≠b.
(1)求C的大小;
(2)若c=5,且△ABC的面积为2√3,求△ABC的周长.
x
解析 (1)f(x)=√3sin x+2cos2 =√3sin x+cos x+1
2
( π)
=2sin x+ +1.
6
( π) ( π)
由f(A)=f(B),得sin A+ =sin B+ .
6 6
在△ABC中,因为A,B∈(0,π),
π (π 7π) π (π 7π)
所以A+ ∈ , ,B+ ∈ , .
6 6 6 6 6 6
又a≠b,所以A≠B.
( π) ( π) 2π
所以 A+ + B+ =π,即A+B= .
6 6 3
π
所以C= .
3
1
(2)因为S = absin C=2√3,所以ab=8.
ABC 2
△
在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,
π
得25=a2+b2-2ab·cos ,整理得a2+b2-ab=25.
3
所以(a+b)2=25+3ab=49,所以a+b=7.
故△ABC的周长为a+b+c=12.
16.(2025届顺义期末,17)在△ABC中,√3asin C+ccos A=2c.
(1)求∠A;
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在且唯
一确定,求△ABC最长边上的高.
条件①:a=7,b=8;
条件②:b=8, ABC的周长为20;
5√3
条件③:a=7,△
sin C= .
14
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
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a c
解析 (1)由 = 可得asin C=csin A.
sin A sinC
因为√3asin C+ccos A=2c,
所以√3csin A+ccos A=2c.
因为c≠0,所以√3sin A+cos A=2,
( π) ( π)
即2sin A+ =2,所以sin A+ =1.
6 6
π π π
因为0<A<π,所以A+ = ,解得A= .
6 2 3
(2)选择条件②.
因为a+b+c=20,b=8,所以a=12-c.
b2+c2-a2 82+c2+(12-c) 2 1
由余弦定理的推论得cos A= = = ,解得c=5,所以a=7.
2bc 2×8c 2
5√3
所以b>a>c,故最长边为b,设其对应的高为h,则h=AB·sin A= .
2
选择条件③.
a c π 5√3
解法一:由 = ,a=7,A= ,sin C= ,得c=5,由c<a,得A>C,
sinA sinC 3 14
π π π
因为A= ,所以C< ,因为A+B+C=π,所以B> ,
3 3 3
所以b>a>c,故最长边为b,
5√3
设其对应的高为h,则h=AB·sin A= .
2
a c π 5√3
解法二:由 = ,a=7,A= ,sin C= ,得c=5,由c<a,得A>C.
sinA sinC 3 14
1 11
因为cos A= ,cos C= ,
2 14
4√3
所以sin B=sin(A+C)=sin Acos C+sin Ccos A= ,
7
a b
由 = 得b=8.
sinA sinB
所以b>a>c,故最长边为b,
5√3
设其对应的高为h,则h=AB·sin A= .
2
√3
a b π 8×
不能选择条件①.由 = ,a=7,b=8,A= 得sin B= 2 4√3,
sin A sinB 3 =
7 7
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所以B有两个值, ABC不唯一,故不能选择条件①.
17.(2025届朝阳期末,16)在△ABC中,asin 2C=csin A.
△
(1)求∠C;
(2)若c=√7,再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知,使△ABC存
在,求△ABC的面积.
条件①:a+b=4;条件②:sin B-sin A=√3;
5√7
条件③:cos A= .
14
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解
答,按第一个解答计分.
解析 (1)因为asin 2C=csin A,
所以2asin Ccos C=csin A.
由正弦定理得2sin Asin Ccos C=sin Csin A.
1
又sin A≠0,sin C≠0,所以cos C= .
2
π
又0<C<π,所以C= .
3
(2)选条件①:
根据余弦定理有b2+a2-2abcos C=7,则b2+a2-ab=7.
又a+b=4,则b2+a2+2ab=16.
解得ab=3.
1 1 π 3√3
所以S = absin C= ×3×sin = .
ABC 2 2 3 4
△
选条件②:
2π
由(1)知B= -A,则sin B-sin A=sin
3
(2π ) (1 √3 ) ( π)
-A -sin A=- sin A- cosA =-sin A- =√3,
3 2 2 3
( π)
所以sin A- =-√3<-1,故不能选条件②.
3
选条件③:
5√7 √21
因为cos A= 且A∈(0,π),所以sin A= .
14 14
√21
√7×
csin A 14
由正弦定理可知a= = =1.
sinC √3
2
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√21 1 5√7 √3 3√21
又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × = ,
14 2 14 2 14
1 1 3√21 3√3
所以S = acsin B= ×1×√7× = .
ABC 2 2 14 4
△
1
18.(2025届东城期末,16)在△ABC中,∠C为钝角,acos B=c- b.
2
(1)求∠A;
(2)若a=7,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC
存在,求c.
13
条件①:cos B= ;
14
条件②:b+c=13;
条件③: ABC的面积为6√3.
注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0 分;如果选择多个符合要求的条件分别解
△
答,按第一个解答计分.
1
解析 (1)在△ABC中,因为acos B=c- b,
2
1
所以由正弦定理得sin Acos B=sin C- sin B.
2
又因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
1
所以cos Asin B- sin B=0.
2
1
因为sin B≠0,所以cos A= .
2
π
因为∠A∈(0,π),所以∠A= .
3
13 3√3
(2)若选条件①:因为cos B= ,所以sin B=√1-cos2B= .
14 14
a b asinB
因为 = ,所以b= =3.
sin A sinB sin A
1
所以c=acos B+ b=8.
2
a2+b2-c2 72+32-82 1
此时cos C= = =- ,∠C为钝角,符合题意.
2ab 2×7×3 7
1
若选条件③:因为△ABC的面积为6√3,所以 bcsin A=6√3.
2
π
由(1)知∠A= ,所以bc=24.
3
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由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得49=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc.
所以b+c=11.
因为∠C为钝角,所以b=3,c=8.
a2+b2-c2 72+32-82 1
此时cos C= = =- ,∠C为钝角,符合题意.
2ab 2×7×3 7
不能选条件②.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得49=(b+c)2-3bc,
又b+c=13,所以bc=40,故b=5,c=8或b=8,c=5,故C一定不为钝角,故不能选择条件②.
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