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考点 6-1 等差数列
1．（2020·全国·高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有
一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层
的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多
729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】
第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
【详解】
设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C2．（2019·全国·高考真题（理））记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，
对C， ，排除C．对D，
，排除D，故选A．
【详解】
由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的公差为d，若数列 为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据数列 为递减数列列不等式，化简后判断出正确选项.
【详解】
依题意，数列 是公差为d的等差数列，数列 为递减数列，
所以 ， ， .
故选：D
4.．（2020·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则
__________．
【答案】
【分析】
因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得答案.
【详解】
是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
5.（2021·辽宁·东北师范大学连山实验高中高三阶段练习（文））等差数列 前 项和为 ，
，则 ___________.
【答案】
【分析】
由 结合等差数列的性质可得 ，然后利用等差数列的求和公式可求得结果
【详解】
，即
故答案为：52
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，项数为27的等差数列 满足 ，
且公差 ，若 ，当 时，则 的值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
【答案】A
【分析】根据题意得到 是奇函数，结合等差数列 有27项，利用等差数列的性质，即可得到
答案.
【详解】
由函数 是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．
而等差数列 有27项， ，
若 ，则必有 ，所以 ．
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在 上的函数 是奇函数且满足 ， ，
数列 是等差数列，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】
根据题意得到函数 的周期为3，且 ，转化为 ，
结合因为 ，即可求解.
【详解】
因为函数 是奇函数且满足 ，可得 ，
则 ，即 ，所以 为周期为3的函数，
又因为数列 是等差数列，且 ， ，
可得 ，解得 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
8．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，
，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
【答案】A
【分析】
先由题设得 ， ，即可得到 ；将两式相加，结合立方差公式化简得出 ，
再由等差数列性质结合求和公式求解即可.
【详解】
由题意 ， ，显然 同号， 同号，
则 ， ，则 ，把已知的两式相加可得
，
整理可得 ，又 ，
则 ，所以 ，而
.
故选：A．
9.（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ，则数列 的前40项和
____．
【答案】420
【分析】
由题意可得出 ，所以取 ，由等差数列的前 项和即可得出答案.
【详解】
解：由 ，
当 时，有 ，①
当 时，有 ，②
当 时，有 ，③
① ②得： ，
① ③得： ，
．
．
故答案为：420．
10．（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】
由条件得到 ，再由求和公式得 ，从而得 可求解.
【详解】
由 ， ， 得 ，
解得： ，
则 ．故 ．
由于 ，故当 或4时， .
故答案为：
11．（2022·重庆一中高三阶段练习）已知等差数列 （公差不为零）和等差数列 的前n项和分别为
， ，如果关于x的实系数方程 有实数解，那么以下2021个方程
中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个
【答案】C
【分析】
设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到 ，要想无实根，要满足 ，结合
根的判别式与基本不等式得到 和 至多一个成立，同理可证： 和 至多一个成立，
……， 和 至多一个成立，且 ，从而得到结论..
【详解】
由题意得： ，其中 ， ，
代入上式得： ，
要想 方程无实数解，则 ，
显然第1011个方程有解，
设方程 与方程 的判别式分别为 和 ，
则
，
等号成立的条件是a=a
1 2021.
所以 和 至多一个成立，同理可证： 和 至多一个成立，
……， 和 至多一个成立，且 ，
综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个
故选：C
12．（2022·全国·高三专题练习）已知 是等差数列， ，存在正整数 ，使得 ，
.若集合 中只含有4个元素，则 的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】
考虑 不符合题意， 时，列举出满足条件的集合，再考虑 时不成立，得到答案.
【详解】
当 时， ，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
当 时， ，即 ， ，在单位圆的五等分点上不可能取到4个不同
的正弦值，故不满足；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；当 时， ，取 ，此时 ，满足条件；
故选：C
13．（2021·浙江省杭州学军中学高三期中）已知{an}是公差为d（d＞0）的等差数列，若存在实数x，
1
x，x，⋯，x 满足方程组 ，则d的最小值为（ ）
2 3 9
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把方程组中的 都用 和 表示，求得 的表达式，根据方程组从整体分析可知：当
， ， 时， 取最小值．
【详解】
解：把方程组中的 都用 和 表示得：
，
把 代入得：
，根据分母结构特点及 可知：当
， ， 时，
取最小值为 ．
故选：C．
14.（2021·浙江·宁波市北仑中学高三开学考试）设数列 的前 项和为 ， ， ( )，
( ， ).且 ､ 均为等差数列，则 _________.
【答案】
根据已知条件知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，可求出 ，再
根据已知条件转化求出等差数列 ､ 的通项公式，再利用分组求和即可得解.
【详解】
又 ，即
数列 是首项为 ，公差为 的等差数列， ①，
又 分别构成等差数列，根据①式可得②，
③，
④，
由②+③，得 ，
又 是等差数列，所以 必为常数，
所以 ，
或 ，
由①得 ，即 ，
， ，又 ，
，即 或 (舍去)，
，
是首项为1，公差为 的等差数列， ，
同理，由③+④得， ，
所以 或 ，
， ， ，
即 或 (舍去)，
，
是首项为a，公差为 的等差数列， ，
从而 ，
所以 .
故答案为：
15．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列 中， ，对任意 ， ， ， 成等差数列，公差为 ，则 __．
【答案】5101
【分析】
由题意得出 ， ，两式相加得 ，从而得出数列
是等差数列，首项为 ，公差为 ，然后利用累加法求出 ，结合题中定义得出
，可求出 的值．
【详解】
数列 中， ，对任意 ， ， ， 成等差数列，公差为 ，
， ，两式相加得 ，
所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以， ，以上等式全部相加得 ，
则 ，
由题中定义可得 ，则 ．
故答案为 ．
