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第 03 讲 弧、弦、圆心角
课程标准 学习目标
1. 掌握圆心的定义能够熟练的判断圆心角。
①圆心角的认识
2. 掌握弧、弦以及圆心角之间的关系，并能够在题目的
②弧、弦、圆心角的关系
计算与证明过程中熟练的应用。
知识点01 圆心角的认识即范围
1. 圆心角的认识：
顶点在 圆心 的角叫做圆心角。
2. 圆心角的大小范围：
圆心角α的大小范围为 0° ＜ α ＜ 360° 。
【即学即练1】
1．下图中∠ACB是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角的概念判断．【解答】解：A、∠ACB不是圆心角；
B、∠ACB是圆心角；
C、∠ACB不是圆心角；
D、∠ACB不是圆心角；
故选：B．
知识点02 弧、弦、圆心角之间的关系
1. 弧、弦、圆心角之间的关系（圆心角定理）：
在 同圆和等圆 中，相等的圆心角所对的 弧 相等，所对的 弦 也相等。
2. 弧、弦、圆心角的关系的推论：
（1）在 同圆或等圆 中，如果两条弧相等，那么他们所对 圆心角 与 弦 都相等。
（2）在 同圆或等圆 中，如果两条弦相等，那么他们所对 圆心角 与 弧 都相等。
圆心角定理及其推论必须要在同圆或等圆中才成立。
3. 弧的度数：
弧的度数等于它所对的 圆心角 的度数。
【即学即练1】
2．如图所示，在 O中， ，则在①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④ 中，
正确的个数是（ ）
⊙
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：∵在 O中， ，
∴AB＝CD，故①正确；
⊙
∵BC为公共弧，
∵弧AC＝弧BD，故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴③∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故选：D．
【即学即练2】
3．如图，在 O中，AB＝2CD，那么（ ）
A． ⊙B．
C．
D． 与 的大小关系无法比较
【分析】可过O作半径OF⊥AB于E，由垂径定理可知 ＝ ，因此只需比较 和 的大小即可；
易知AE＝ AB＝CD，在Rt△AEF中，AF是斜边，AE是直角边，很显然AF＞AE，即AF＞CD，由此
可判断出 、 的大小关系，即可得解．
【解答】解：如图，过O作半径OF⊥AB于E，连接AF；
由垂径定理知：AE＝BE， ＝ ；
∴AE＝CD＝ AB；
在Rt△AEF中，AF＞AE，则AF＞CD；
∴ ＞ ，即 ＞2 ；
故选：A．
【即学即练3】
4．已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB＝∠EPB．
求证：
（1）CD＝EF；
（2） ．
【分析】（1）过点 O 作 OM⊥EF 于 M，作 ON⊥CD 于 N，根据全等三角形的判定方法得到
△ODN≌△OEM，根据对应边相等，从而不难求得结论；
（2）根据CD＝EF从而得到 由等量减去等量还是等量即可得到结论．
【解答】证明：（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD、OE，
∵∠DPB＝∠EPB，∴OM＝ON．
又∵OE＝OD，
∵∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）．
∴DN＝EM．
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴点M是EF的中点，点N是CD的中点．
∴EM＝ EF，DN＝ CD．
∴CD＝EF．
（2）∵CD＝EF，
∴ ，
∴ ．
即 ．
题型01 圆心角的认识
【典例1】下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角的概念解答．
【解答】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角；
B、是圆心角；
C、顶点没在圆心，不是圆心角；
D、顶点没在圆心，不是圆心角；
故选：B．
【变式1】下列图形中的角，是圆心角的为（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C．是圆心角，故本选项符合题意；
D．顶点不在圆上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【变式2】下列图形所标记的角中是圆心角的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据圆心角的定义即可求解．
【解答】解：第1、2、4个图中所标记的角中是圆心角，
第3个图中角的顶点在圆上，不在圆心，不是圆心角．
故选：C．
题型02 利用弦或弧相等证明圆心角相等
【典例1】如图，AB为半圆O的直径，点C、D为 的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是（
）
A．25° B．30° C．50° D．60°
【分析】求出∠AOE，可得结论．
【解答】解：∵点C、D为 的三等分点，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝150°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOE＝30°，
故选：B．
【变式1】如图，已知AB、CD是 O的直径， ，∠AOE＝32°，那么∠COE的度数为 6 4 度．
⊙
【分析】根据等弧所对的圆心角相等求得∠AOE＝∠COA＝32°，所以∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．
【解答】解：∵ ，（已知）
∴∠AOE＝∠COA（等弧所对的圆心角相等）；
又∠AOE＝32°，
∴∠COA＝32°，
∴∠COE＝∠AOE+∠COA＝64°．
故答案为：64°．
【变式 2】如图，半径为 5的 A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，
∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
⊙
A．8 B．10 C．11 D．12
【分析】作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE＝∠BAF，然后再根据同圆中，相等
的圆心角所对的弦相等得到DE＝BF＝6，再利用勾股定理，继而求得答案．
【解答】解：作直径CF，连接BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴ ＝ ，
∴DE＝BF＝6，∴BC＝ ＝8．
【变式3】如图，AB、CD是 O的弦，且AB＝CD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为（ ）
⊙
A．42° B．44° C．46° D．48°
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC＝∠BOD＝84°，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵AB＝CD，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOD＝84°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠CAO＝ （180°﹣∠AOC）＝ ×（180°﹣84°）＝48°，
故选：D．
【变式4】如图，在 O中， ＝ ，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠COA．
⊙
【分析】根据弧相等，则对应的弦相等从而证明 AB＝AC，则△ABC易证是等边三角形，然后根据同圆
中弦相等，则对应的圆心角相等即可证得．
【解答】证明：∵ ＝
∴AB＝AC，△ABC为等腰三角形（相等的弧所对的弦相等）
∵∠ACB＝60°
∴△ABC为等边三角形，AB＝BC＝CA
∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA
（相等的弦所对的圆心角相等）
题型03 利用圆心角或弧相等证明弦相等
【典例1】如图，在 O中，已知 ＝ ，则AC与BD的关系是（ ）
⊙
A．AC＝BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定
【分析】由 ＝ ，得到 ，于是推出 ，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到
结论．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴AC＝BD．
故选：A．
【变式1】如图，AB和DE是 O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝ 3 ．
⊙
【分析】连接OC，根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到∠1＝∠2，从而即可求得CE的
长．
【解答】解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．【变式2】如图，已知点A、B、C、D在圆O上，AB＝CD．
求证：AC＝BD．
【分析】由圆心角、弧、弦的关系定理证出 ，得出 ，再由圆心角、弧、弦的关系定理即
可得出结论．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴AC＝BD．
【变式3】如图， O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证：
（1）AD＝BC；
⊙
（2）AE＝CE．
【分析】（1）由AB＝CD，推出弧AB＝弧CD，推出弧AD＝弧BC，即可得到AD＝BC；
（2）证明△ADE≌△CBE可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB＝CD，
∴弧AB＝弧CD，
∴弧AB﹣弧AC＝弧CD﹣弧AC，
∴弧AD＝弧BC，
∴AD＝BC；
（2）∵AD＝BC，∠ADE＝∠CBE，∠AED＝∠CEB，
∴△ADE≌△CBE（AAS），
∴AE＝EC．题型04 利用圆心角或弦相等证明弧相等
【典例1】已知：如图， O中弦AB＝CD．求证： ．
⊙
【分析】根据在同圆或等圆中，等弧对等弦，由 AB＝CD，得 ，再等量减去等量还是等量知弧
AB﹣弧BD＝弧CD﹣弧D，即 ．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ．
【变式1】如图，已知C，D是以AB为直径的 O上的两点，连接BC，OC，OD，若OD∥BC，求证：D
为 的中点． ⊙
【分析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠B＝∠C，∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，求出
∠AOD＝∠COD，再根据圆心角、弧、弦之间的关系得出即可．
【解答】证明：∵OB＝OC，
∴∠B＝∠C，
∵OD∥BC，
∴∠AOD＝∠B，∠COD＝∠C，
∴∠AOD＝∠COD，
∴ ＝ ，
即D为 的中点．
【变式2】如图， O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证： ＝2 ．
⊙【分析】连接OE，推出DE⊥OC，求出∠EDO＝90°，根据OD＝ OC＝ OE，求出∠DEO＝30°，求
出∠EOC，根据OC⊥AB，求出∠AOC＝90°，求出∠AOE＝30°，即可求出答案．
【解答】证明：
连接OE，
∵AB⊥OC，DE∥AB，
∴DE⊥OC，
∴∠EDO＝90°，
∵D为OC中点，
∴OD＝ OC＝ OE，
∴∠DEO＝30°，
∴∠EOC＝90°﹣30°＝60°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOE＝90°﹣60°＝30°，
即∠AOE＝30°，∠COE＝60°，
∴ ＝2 （圆心角的度数等于它所对的弧的度数）．
【变式3】如图，在 O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且AF＝BE．求证：
（1）OE＝OF；
⊙
（2） ．
【分析】（1）连接OA、OB，证明三角形全等即可；
（2）只要证明∠AOC＝∠BOD即可；
【解答】证明：（1）连接OA、OB，如图示，
∵OA＝OB，
∴∠OAE＝∠OBF，
又AE＝BF，
∴△AOE≌△BOF（SAS），∴OE＝OF；
（2）∵△AOE≌△BOF，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴ ＝ ．
题型05 求弧的度数
【典例1】 O中，弦AB的长恰等于半径，则弧 的度数是 6 0 度．
【分析】如图，连接OA、OB，先证明△ABC为等边三角形，则可得到∠AOB＝60°，然后根据圆心角
⊙
的度数等于它所对的弧的度数．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵AB＝OA＝OB，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧 的度数是60°．
故答案为60．
【变式1】如图，圆O通过五边形OABCD的四个顶点．若 ＝150°，∠A＝75°，∠D＝60°，则 的度数
为（ ）
A．25° B．40° C．50° D．60°
【分析】连接OB，OC，由半径相等得到△OAB，△OBC，△OCD都为等腰三角形，根据∠A＝75°，
∠D＝60°，求出∠1与∠2的度数，根据 的度数确定出∠AOD度数，进而求出∠3的度数，即可确定出 的度数．
【解答】解：连接OB、OC，
∵OA＝OB＝OC＝OD，
∴△OAB、△OBC、△OCD，皆为等腰三角形，
∵∠A＝75°，∠D＝60°，
∴∠1＝180°﹣2∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∠2＝180°﹣2∠D＝180°﹣2×60°＝60°，
∵ ＝150°，
∴∠AOD＝150°，
∴∠3＝∠AOD﹣∠1﹣∠2＝150°﹣30°﹣60°＝60°，
则 的度数为60°．
故选：D．
【变式2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC
于点E．求 、 的度数．
【分析】连接CD，如图，利用互余计算出∠A＝62°，则∠A＝∠ADC＝62°，再根据三角形内角和定理
计算出∠ACD＝56°，接着利用互余计算出∠DCE＝34°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数求
解．
【解答】解：连接CD，如图，
∵∠C＝90°，∠B＝28°，
∴∠A＝90°﹣28°＝62°，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝62°，
∴∠ACD＝180°﹣2×62°＝56°
∴ 的度数为56°；
∵∠DCE＝90°﹣∠ACD＝34°，
∴ 的度数为34°．【变式3】如图，在 O中，AB＝AC．
（1）若∠BOC＝1⊙00°，则 的度数为 13 0 °；
（2）若AB＝13，BC＝10，求 O的半径．
⊙
【分析】（1）根据圆周角、弧、弦间的关系可以得到AB＝AC，结合等腰三角形的性质解答；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，构造直角三角形，通过勾股定理求得该圆的半径即
可．
【解答】解：（1）∵在 O中，∠BOC＝100°，
∴∠BAC＝50°，
⊙
∵ ＝ ，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴ ＝130°，
故答案为：130；
（2）连接AO，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝ BC＝5，
∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝12；
在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，
解得OB＝ ，即 O的半径是 ．
⊙
题型04 两倍弦与两倍弧
【典例1】如图，在 O中， ＝2 ，则下列结论正确的是（ ）
⊙A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．以上都不正确
【分析】首先取 的中点E，连接AE，BE，由在 O中， ＝2 ，可证得 ＝ ＝ ，即可得AE
＝BE＝CD，然后由三角形的三边关系，求得答案．
⊙
【解答】解：取 的中点E，连接AE，BE，
∵在 O中， ＝2 ，
∴ ⊙＝ ＝ ，
∴AE＝BE＝CD，
∵AE+BE＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：C．
【变式1】如图所示，在 O中， ，那么（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法比较
【分析】如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，再根据“根据三角形的三边关系”可解．
【解答】解：如图，在圆上截取弧DE＝弧CD，则有：弧AB＝弧CE，AB＝CE根据三角形的三边关系
知，
CD+DE＝2CD＞CE＝AB，
∴AB＜2CD．
故选：B．【变式2】如图，在 O中，若 ＝ ＝ ，则AC与2CD的大小关系是：AC ＜ 2CD．（填“＞”，
“＜”或“＝”）
⊙
【分析】如图，连接AB、BC，根据题意知，AB＝BC＝CD，又由三角形三边关系得到AB+BC＞AC得
到：AC＜2CD．
【解答】解：如图，连接AB、BC，
在 O中，若 ＝ ＝ ，
∴AB＝BC＝CD，
⊙
在△ABC中，AB+BC＞AC．
∴AC＜2CD．
故答案为：＜．
1．下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意；
B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意；C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．同心圆的周长相等
B．面积相等的圆是等圆
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．平分弧的弦一定经过圆心
【分析】根据等圆，圆周角定理，垂径定理一一判断即可．
【解答】解：A、错误，同心圆的周长不相等，本选项不符合题意．
B、正确，本选项符合题意．
C、错误，条件是同圆或等圆中，本选项不符合题意．
D、错误，平分弧的弦不一定经过圆心，本选项不符合题意．
故选：B．
3．如图，已知点A、B、C、D都在 O上，OB⊥AC，BC＝CD，下列说法错误的是（ ）
⊙
A． B．∠AOD＝3∠BOC
C．AC＝2CD D．OC⊥BD
【分析】分别根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形三边的关系和线段的垂直平分线的判定判
断即可．
【解答】解：A、∵OB⊥AC，
∴ ＝ ，故不符合题意；
B、∵ ＝ ，
∴∠AOB＝∠COB，
∵BC＝CD，
∴∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOD＝3∠BOC，故不符合题意；
C、∵∠AOB＝∠BOC＝∠DOC，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD，
∵BD＜BC+CD＝2CD，
∴AC＜2CD，故符合题意；D、∵OB＝OC，BC＝DC，
∴OC⊥BD，故不符合题意；
故选：C．
4．如图，在 O中，AB是直径， ，∠AOE＝60°，则∠BOC的度数为（ ）
⊙
A．35° B．40° C．45° D．60°
【分析】由在同圆中等弧对的圆心角相等得 ，即可求解．
【解答】解：∵AB是直径，
∴∠AOB＝180°，
∵∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
5．如图，AB是 O的直径，四边形ABCD内接于 O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则 O的直径AB为（
）
⊙ ⊙ ⊙
A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则 O的半径
长为4cm，求出直径即可．
⊙
【解答】解：如图，连接OD、OC，
∵BC＝CD＝DA＝4cm，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．
又OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA＝AD＝4cm，∴ O的直径AB为8cm．
故选：D．
⊙
6．圆的一条弦把圆分为度数比为1：3的两条弧，则弦心距与弦长的比为（ ）
A．1：3 B．2：3 C．1：4 D．1：2
【分析】根据已知条件得到弦所对的圆心角∠AOB＝ ×360°＝90°；求得△AOB是等腰直角三角形，过
O作OC⊥AB于C，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：弦AB将 O分成了度数比为1：3两条弧．
⊙
则弦所对的圆心角∠AOB＝ ×360°＝90°；
∴△AOB是等腰直角三角形，
过O作OC⊥AB于C，
∴OC＝ AB，
∴弦心距与弦长的比为1：2，
故选：D．
7．如图，AB为 O的直径，C为 O上的一动点（不与A、B重合），CD⊥AB于D，∠OCD的平分线交
O于P，则当C在 O上运动时，点P的位置（ ）
⊙ ⊙
⊙ ⊙
A．随点C的运动而变化 B．不变
C．在使PA＝OA的劣弧上 D．无法确定
【分析】因为CP是∠OCD的平分线，所以∠DCP＝∠OCP，所以∠DCP＝∠OPC，则CD∥OP，所以
弧AP等于弧BP，所以PA＝PB．从而可得出答案．
【解答】解：连接OP，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠DCP＝∠OCP，
又∵OC＝OP，
∴∠OCP＝∠OPC，
∴∠DCP＝∠OPC，
∴CD∥OP，
又∵CD⊥AB，
∴OP⊥AB，
∴ ＝ ，
∴PA＝PB．
∴点P是线段AB垂直平分线和圆的交点，
∴当C在 O上运动时，点P不动．
故选：B．
⊙
8．如图，在 O中，满足 ，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是（ ）
⊙
A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB＝2CD D．无法确定
【分析】如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．证明AE＝EB＝CD，再利用三角形的三边关系解决问
题．
【解答】解：如图，取AB弧的中点E，连接AE，EB．
∵ ＝2 ， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴AE＝EB＝CD，∵AE+EB＞AB，
∴2CD＞AB．
故选：B．
9．如图所示，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，AB＝8，CD＝
6，那么 O的半径为（ ）
⊙
A．5 B．10 C． D．
【分析】延长CO，交 O于E，连接DE，根据圆周角定理求出∠CDE＝90°，求出∠DOE＝∠AOB，
根据圆心角、弧、弦之间的关系求出DE＝AB＝8，根据勾股定理求出CE即可．
⊙
【解答】解：延长CO，交 O于E，连接DE，
⊙
∵CE是 O的直径，
∴∠CDE＝90°，
⊙
∵∠AOB和∠COD互补，∠COD+∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝∠AOB，
∵AB＝8，
∴DE＝AB＝8，
∵CD＝6，
由勾股定理得：CE＝ ＝10，
∴ O的半径是5．
故选：A．
⊙
10．已知在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OB＝4，C为弧AB的中点，D为半径OB上一动点，点B关于直
线CD的对称点为M，若点M落在扇形OAB内（不含边界），则OD长的取值范围是（ ）A．4 B．2
C．0＜OD＜2 D．4﹣2 ＜OD＜4
【分析】求出两种特殊位置：当点M落在OB上时，当点M落在OA上时，OD的值，可得结论．
【解答】解：如图，连接OC，当点M落在OB上时，CD⊥OB，
∵∠AOB＝90°， ＝ ，
∴∠AOC＝∠COB＝45°，
∵CDO＝90°，
∴∠DCO＝∠COD＝45°，
∴CD＝OC＝2 ．
当点M落在OA上时，连接CM，CB，CO，DM，过点C作CT⊥OB于点T，CJ⊥OA于点J，
∵∠CJO＝∠JOT＝∠OTC＝90°，
∴四边形JOTC是矩形，
∵OT＝TC，
∴四边形JOTC是正方形，
∴OJ＝OT＝CJ＝CT＝2 ，
∵CM＝CB，CJ＝CT，∠CJM＝∠CTB＝90°，
∴Rt△CJM≌Rt△CTB（HL），
∴JM＝TB＝4﹣2 ，
设OD＝y，则DM＝DB＝4﹣y．∵OM2+OD2＝DM2，
∴[2 ﹣（4﹣2 ）]2+y2＝（4﹣y）2，
∴y＝4 ﹣4，
观察图象可知：点M落在扇形OAB内（不含边界），则4 ﹣4＜OD＜2 ．
故选：A．
11．直径为20cm的 O中，弦AB＝10cm，则弦AB所对的圆心角是 60 ° ．
【分析】连接OA、OB，证明△OAB为等边三角形得到∠AOB＝60°即可．
⊙
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵直径为20cm，
∴OA＝OB＝10cm，
而AB＝10cm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
即弦AB所对的圆心角是60°．
故答案为：60°．
12．如图，在 O中， ＝ ，则下列结论中：①AB＝CD；②AC＝BD；③∠AOC＝∠BOD；④
＝ ，正确⊙的是 ①②③④ （填序号）．
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：在 O中， ＝ ，
∴AB＝CD，故①正确；
⊙
∵BC为公共弧，
∴ ＝ 故④正确；
∴AC＝BD，故②正确；
∴∠AOC＝∠BOD，故③正确．
故答案为：①②③④．13．如图，在 O中，若∠AOB＝120°，则弦AB所对的弧的度数为 120 ° 或 240 ° ．
⊙
【分析】在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，在劣弧AB上取一点C，连接AC、BC，利用圆周角定
理求出∠ADB，再利用圆内接四边形性质求出∠ACB即可．
【解答】解：如图，在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，在劣弧AB上取一点C，连接AC、BC，
∵∠AOB＝120°，
∴ ，
∵∠ACB+∠ADB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝120°，
∴弦AB所对的弧的度数为120°或240°，
故答案为：120°或240°．
14．如图所示，已知C为 的中点，OA⊥CD于M，CN⊥OB于N，若OA＝r，ON＝a，则CD＝ 2
．
【分析】根据圆心角、弧、弦之间关系求出∠AOC＝∠BOC，根据角平分线性质得出OM的长，根据勾
股定理计算CM的长，根据垂径定理得出CD＝2CM，代入求出即可．
【解答】解：连接OC，
∵C为弧AB的中点，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵CN⊥OB，CD⊥OA，ON＝a，∴OM＝ON＝n，
∴CM＝ ＝ ，
∵CM⊥OA，
即OM⊥CD，
由垂径定理得：CD＝2CM＝2 ，
故答案为：2 ，
15．有一半圆片（其中圆心角∠AED＝52°）在平面直角坐标系中按如图所示放置，若点A可以沿y轴正半
轴上下滑动，同时点B相应地在x轴正半轴上滑动，当∠OAB＝n°时，半圆片上的点D与原点O距离最
大，则n的值为 26 ° ．
【分析】连接OE、OD，如图，当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，根据三角
形外角性质得∠AED＝∠EAO+∠EOA，再根据直角三角形斜边上的中线性质得 EA＝EO＝EB，则
∠EAO＝∠EOA，所以n＝ ∠AED＝26°．
【解答】解：连接OE、OD，如图，
∵OD≤OE+DE（当O、E、D共线时取等号），
∴当点O、E、D共线时，半圆片上的点D与原点O距离最大，
则∠AED＝∠EAO+∠EOA，
而AE＝BE，
所以EA＝EO＝EB，
所以∠EAO＝∠EOA，
所以n＝ ∠AED＝26°．
故答案为：26°．16．如图，在 O中，OA＝4， ，直径AB⊥CD于点E，连接OC，OD．
（1）求∠COD的度数；
⊙
（2）求CD的长度．
【分析】（1）根据垂径定理可得 ，进而根据圆周角定理，即可求解；
（2）根据垂径定理可得CD＝2CE，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得CE，即可求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥CD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵AB⊥CD，
∴ ，
∴ ，
在Rt△COE中，∠OCE＝90°﹣∠COE＝30°，∴ ，
∴ ，
∴ ．
17．AB、CD是 O的弦，OC、OD分别交AB于点E、F，且OE＝OF．求证： ＝ ．
⊙
【分析】过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与 O交于H．先由等腰三角形三线合一的性质得出
∠EOG＝∠FOG，利用圆心角、弧、弦间的关系可⊙以推知 ＝ ；然后根据垂径定理可知 ＝ ；
最后根据图形易证得结论．
【解答】证明：过点O作OG⊥AB于点G，延长OG与 O交于H．
∵OE＝OF，OG⊥EF于点G，
⊙
∴∠EOG＝∠FOG，
∴ ＝ ．
又∵OG⊥AB于点G，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，
即 ＝ ．
18．如图，AB是 O的弦，C是 的中点．
（1）连接OC，求证：OC垂直平分AB；
⊙
（2）若AB＝8， ，求 O的半径．
⊙【分析】（1）连接OA，OB，OC，由C是 的中点可知 ＝ ，故∠AOC＝∠BOC，再由OA＝OB
可得出结论；
（2）由（1）知，OC垂直平分AB科打得出AD的长，根据勾股定理求出CD的长，设 O的半径为
r，则OD＝r﹣2，OA＝r，在Rt△AOD中利用勾股定理求出r的值即可．
⊙
【解答】（1）证明：连接OA，OB，OC，
∵由C是 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OA＝OB，
∴OC垂直平分AB；
（2）解：由（1）知，OC垂直平分AB，
∵AB＝8， ，
∴AD＝ AB＝4，
∴CD＝ ＝ ＝2，
设 O的半径为r，
则OD＝r﹣2，OA＝r，
⊙
在Rt△AOD中，
AD2+OD2＝OA2，即42+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝5．
19．如图，在 O中， ，CD⊥AO于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：AD＝BE．
⊙
（2）若AD＝DO，r＝3，求CD长．
【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOC＝∠BOC，根据角平分线的性质定理证明结论；
（2）求出OD，根据勾股定理即可求出CD．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵ ＝ ，
∴∠AOC＝∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD＝CE；
（2）解：∵AD＝DO，r＝3，
∴AD＝DO＝ ，
∵CD⊥OA，
∴CD＝ ＝ ＝ ．
20．如图，在 O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，弦EF⊥AB，垂足分别为M、N，OM＝3．（1）求弦
CD的长；
⊙
（2）如果EF＝6，求∠EOC的度数．
【分析】（1）先根据直径AB＝10求出 O半径的长，再根据勾股定理求出CM的长，进而得出结论；
（2）根据垂径定理求出EN的长，再由HL定理得出Rt△ENO≌Rt△OMC，故可得出∠EON+∠MOC＝
⊙
90°，据此可得出结论．
【解答】解：（1）∵直径AB＝10，
∴OA＝OB＝OC＝OE＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠CMO＝90°，CD＝2CM，
∵OM＝3，
∴CM＝ ＝ ＝4，∴CD＝8；
（2）∵EF⊥AB，EF＝6，
∴EN＝ EF＝3，
由（1）知，OE＝5，
在Rt△ENO与Rt△OMC中，
，
∴Rt△ENO≌Rt△OMC（HL），
∴∠EON＝∠OCM，
∵∠OCM+∠MOC＝90°，
∴∠EON+∠MOC＝90°，
∴∠EOC＝90°．
