北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.4 数列的求和
三年模拟
基础提升练
1.(2023朝阳二模,4)已知数列{a }的前n项和是2n-1,则a = ( )
n 5
A.9 B.16 C.31 D.33
答案 B
2.(2024北京高三入学定位考试,7)设等差数列{a }的前n项和为S .若a =1,S =a a +1,则
n n 1 4 2 3
{a }的公差为 ( )
n
1
A.2或-2 B.2或-
2
1
C.-2或 D.-3或2
2
答案 B
3.(2024北京东直门中学月考,12)数列{a }的前n项和为S ,已知S =1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,
n n n
则S = .
17
答案 9
4.(2023东城一模,14)已知数列{a }各项均为正数,a =3a ,S 为其前n项和.若{√S }是公
n 2 1 n n
1
差为 的等差数列,则a = ,a = .
2 1 n
1 n 1
答案 ; -
4 2 4
n 1
5.(2024北京八中期中,12)等差数列{a }的前n项和为S ,a =3,S =10,则∑❑ =
n n 3 4 S
k=1 k
.
2n
答案
n+1
6.(2024理工大附中月考,16)已知数列{a }中,a =1,且满足 .
n 1
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)求数列{a +2n-1}的前n项和S .
n n
从①a =2a (n∈N*);②a -a =2(n∈N*);③a +a =2(n∈N*)这三个条件中选择一个,
n+1 n n+1 n n+1 n
补充在上面的问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
解析 选择①.
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a
(1)由a =2a (n∈N*),得
n+1
=2,
n+1 n a
n
因为a =1,所以数列{a }是以2为公比,1为首项的等比数列,所以a =1×2n-1=2n-1.
1 n n
(2)由(1)得a +2n-1=2n-1+2n-1=2n,
n
2(1-2n
)
则S =21+22+23+…+2n= =2(2n-1)=2n+1-2.
n 1-2
选择②.
(1)因为a -a =2(n∈N*),a =1,
n+1 n 1
所以数列{a }是以2为公差,1为首项的等差数列,
n
所以a =1+2(n-1)=2n-1.
n
(2)由(1)得a +2n-1=2n-1+2n-1,
n
则S =(1+20)+(3+21)+(5+22)+…+[(2n-1)+2n-1]
n
=[1+3+5+…+(2n-1)]+(20+21+22+…+2n-1)
n(1+2n-1) 1-2n
= + =n2+2n-1.
2 1-2
选择③.
(1)因为a +a =2(n∈N*),a =1,
n+1 n 1
所以a =1.
n
(2)由(1)得a +2n-1=1+2n-1,则
n
S =(1+20)+(1+21)+…+(1+2n-1)
n
1-2n
=n+(20+21+…+2n-1)=n+ =n+2n-1.
1-2
7.(2025届海淀期中,16)已知无穷等比数列{a }的前n项和为S =3n+b.
n n
(1)求b,a 的值;
1
(2)设c =a +2n-1,n=1,2,3,…,求数列{c }的前n项和T .
n 2n n n
解析 (1)当n≥2时,a =S -S =3n-3n-1=2×3n-1,
n n n-1
因为{a }是等比数列,所以a =2,
n 1
又因为a =S =3+b,所以b=-1.
1 1
(2)由(1)知a =2×3n-1,
n
a
因为a =6,且
2n+2
=9,
2 a
2n
所以{a }是以6为首项,9为公比的等比数列,
2n
T =(a +a +…+a )+[1+3+…+(2n-1)]
n 2 4 2n
9n-1 2n·n 3
=6× + = (9n-1)+n2.
9-1 2 4
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8.(2025届北京一零一中学统练三,16)等差数列{a }中,首项a =1,且a +2,a ,a -2成等比
n 1 2 3 4
数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
{ 1 }
(2)求数列 的前n项和S (n∈N*).
a a n
n n+1
解析 (1)设等差数列的公差为d,因为a +2,a ,a -2成等比数列,所以a2 =(a +2)(a -2),
2 3 4 3 2 4
即(a +2d)2=(a +d+2)(a +3d-2),解得d=2,所以a =2n-1.
1 1 1 n
1 1 1
(2)由(1)得S = + +…+
n a a a a a a
1 2 2 3 n n+1
1 1 1
= + +…+
1×3 3×5 (2n-1)×(2n+1)
1( 1 1 1 1 1 )
= 1- + - +…+ -
2 3 3 5 2n-1 2n+1
1( 1 ) n
= 1- = .
2 2n+1 2n+1
9.(2025届北京九中月考,16)已知数列{a }是公差不为0的等差数列,a =6,a ,a ,a 成等比
n 3 1 2 4
数列.
(1)求数列{a }的通项公式;
n
2
(2)若b = ,设数列{b }的前n项和为S ,求S .
n a a n n n
n n+1
解析 (1)设等差数列{a }的公差为d,d≠0,
n
因为a =6,a ,a ,a 成等比数列,
3 1 2 4
{ a =a +2d=6, {a =2,
所以 3 1 解得 1
(a +d) 2=a (a +3d), d=2,
1 1 1
所以a =2+2(n-1)=2n.
n
2 2 1 1
(2)因为b = = = - ,
n a a 2n(2n+2) 2n 2n+2
n n+1
所以S =b +b +b +…+b +b =
n 1 2 3 n-1 n
(1 1) (1 1) (1 1) ( 1 1 ) 1 1 n
- + - + - +…+ - = - = .
2 4 4 6 6 8 2n 2n+2 2 2n+2 2n+2
能力拔高练
1.(2024北师大二附中期中,10)设数列{a }的前n项和为S ,若对任意的正整数n,总存在
n n
正整数m,使得S =a ,下列命题中正确的个数是( )
n m
①{a }可能为等差数列;
n
②{a }可能为等比数列;
n
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③a(i≥2)均能写成{a }的两项之差;
i n
④对任意n∈N,n≥1,总存在m∈N,m≥1,使得a =S .
n m
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
2.(2024北京一零一中学月考,10)已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中
第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推,当N>50且该
数列的前N项和为2的整数幂时,N的最小值是 ( )
A.83 B.87 C.91 D.95
答案 D
3.(2024北京高三入学定位考试,15)已知数列{a }的前n项和为S ,且a +S =kn+b,其中
n n n n
k,b不同时为0,给出下列四个结论:
①当k=0时,{a }为等比数列;
n
②当k≠0时,{a }一定不是等差数列;
n
③当k=b时,{a }为常数列;
n
④当k>b时,{a }是递增数列.
n
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①③④
4.(2025届北京交大附中月考,17)已知S 为数列{a }的前n项和,满足S =2a -1,n∈N*.数
n n n n
列{b }是等差数列,且b =-a ,b +b =-10.
n 1 1 2 4
(1)求数列{a }和{b }的通项公式;
n n
(2)求数列{a +b }的前n项和T ;
n n n
(3)设C =a ·a ·…·a ,且C =4 096,求n.
n 1 3 2n-1 n
解析 (1)当n=1时,S =2a -1=a 得a =1.
1 1 1 1
由已知S =2a -1,①
n n
当n≥2,n∈N*时,S =2a -1,②
n-1 n-1
①-②得a =2a -2a ,
n n n-1
所以a =2a .
n n-1
所以数列{a }为等比数列,且公比q=2.
n
因为a =1,所以a =a qn-1=2n-1(n∈N*).
1 n 1
设等差数列{b }的公差为d,
n
b =-1,b +b =(b +d)+(b +3d)=2b +4d=-10,
1 2 4 1 1 1
{ b =-1,
1
由 得d=-2.
b +2d=-5
1
所以b =b +(n-1)d=-1+(n-1)×(-2)=-2n+1(n∈N*).
n 1
综上,数列{a }的通项公式为a =2n-1(n∈N*),数列{b }的通项公式为b =-2n+1(n∈N*).
n n n n
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(2)由(1)得a +b =2n-1+(-2n+1),
n n
前n项和T =(1+2+4+…+2n-1)-2×(1+2+3+…+n)+n
n
1-2n n(n+1)
= -2× +n=2n-n2-1.
1-2 2
(0+2n-2)n
(3)C n =a 1 ·a 3 ·…·a 2n-1 =20·22·…·22n-2= 2 2 =4 096=212,
(0+2n-2)n
即 =12,即n2-n-12=0,解得n=4.
2
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