北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
7.3 等比数列
五年高考
1.(2018北京,理4,文5,5分,易)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学
方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程
分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单
音的频率的比都等于1√22.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为 ( )
A.√32f B.√3 22f C. 1√2 25f D. 1√2 27f
答案 D
2.(2023北京,14,5分,中)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似
于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成
项数为9的数列{a },该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且
n
a =1,a =12,a =192,则a = ;数列{a }所有项的和为 .
1 5 9 7 n
答案 48;384
3.(2022北京,15,5分,难)已知数列{a }的各项均为正数,其前n项和S 满足
n n
a ·S =9(n=1,2,…).给出下列四个结论:
n n
①{a }的第2项小于3;②{a }为等比数列;
n n
1
③{a }为递减数列;④{a }中存在小于 的项.
n n 100
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①③④
4.(2019北京文,16,13分,中)设{a }是等差数列,a =-10,且a +10,a +8,a +6成等比数列.
n 1 2 3 4
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记{a }的前n项和为S ,求S 的最小值.
n n n
解析 (1)设{a }的公差为d.因为a =-10,
n 1
所以a =-10+d,a =-10+2d,a =-10+3d.
2 3 4
因为a +10,a +8,a +6成等比数列,
2 3 4
所以(a +8)2=(a +10)(a +6).
3 2 4
所以(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d =d =2.
1 2
所以a =a +(n-1)d=2n-12.
n 1
(2)由(1)知,a =2n-12.
n
所以,当n≥7时,a >0;当n≤6时,a ≤0.
n n
所以,S 的最小值为S =S =-30.
n 5 6
三年模拟
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基础强化练
1.(2024北师大附中月考,3)等比数列{a }中,a =1,公比q=-2,则S 等于 ( )
n 1 4
A.15 B.-15 C.5 D.-5
答案 D
2.(2025届北京九中月考,4)已知等比数列{a }满足a +a =5,a =2,则{a }的公比为 (
n 1 3 2 n
)
1 1
A.-2或- B.-2或
2 2
1 1
C.2或- D.2或
2 2
答案 D
3.(2025届北京五十五中月考,5)数列{a }的前n项和为S ,且a =3,a =2a (n∈N*),则S
n n 1 n+1 n 5
等于 ( )
A.32 B.48 C.62 D.93
答案 D
4.(2025届北师大二附中月考,4)若数列{a }满足a =2a ,且a =1,则数列{a }的前4项和
n n+1 n 4 n
等于( )
15 7
A.15 B.14 C. D.
8 8
答案 C
5.(2025届北京一零一中学统练三,2)已知{b }是等比数列,若b =3,b =27,则b 的值为(
n 2 6 4
)
A.9 B.-9 C.±9 D.81
答案 A
6.(2023东城一模,9)已知a ,a ,a ,a ,a 成等比数列,且1和4为其中的两项,则a 的最小
1 2 3 4 5 5
值为 ( )
1 1
A.-64 B.-8 C. D.
64 8
答案 B
7.(2024东城期末,4)设等比数列{a }的各项均为正数,S 为其前n项和,若a =2,a a a =a ,
n n 1 2 3 4 9
则S = ( )
3
A.6 B.8 C.12 D.14
答案 D
8.(2024朝阳一模,6)已知等比数列{a }的前n项和为S ,且a +a =1,a +a =4,则S = (
n n 1 2 3 4 6
)
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A.9 B.16 C.21 D.25
答案 C
9.(2024北京一零一中学月考,3)已知等比数列{a }的首项和公比相等,那么数列{a }中与
n n
a a 一定相等的项是 ( )
3 7
A.a B.a C.a D.a
5 7 9 10
答案 D
10.(2024北京十九中月考,7)已知{a }是递增的等比数列,且a <0,则公比q满足 (
n 2
)
A.q<-1 B.-1<q<0
C.q>1 D.0<q<1
答案 D
11.(2025届北师大附中期中,8)已知{a }是递增的等比数列,其前n项和为S (n∈N*),满
n n
足a =6,S =26,若S +a >2024,则n的最小值是( )
2 3 n n
A.6 B.7
C.9 D.10
答案 B
a +a
12.(2025届北京二中期中,13)设S 为数列{a }的前n项和,若S =2a -1,则 6 9 =
n n n n a +a
2 5
.
答案 16
13.(2025届北京顺义一中期中,12)首项为1的等比数列{a }中,4a ,2a ,a 成等差数列,则
n 1 2 3
公比q= .
答案 2
14.(2024北京市八一学校开学考,12)设等比数列{a }的前n项和为S ,若a -a =2,a -a =6,
n n 1 2 2 3
则S = .
4
答案 -40
1 1
15.(2023西城二模,12)设等比数列{a }的前n项和为S ,a = ,a = ,则a = ;使
n n 1 2 2 4 5
99
S ≥ 成立的n的最小值为 .
n 100
1
答案 ;7
32
3
16.(2024北师大二附中月考,16)已知等比数列{a }满足a =12,a = ,记其前n项和为S .
n 3 8 8 n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)若S =93,求n.
n
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解析 (1)设等比数列{a }的公比为q,
n
{a q2=12, {a =48,
1 1
由条件得 3 解得 1
a q7= , q= ,
1 8 2
(1) n-1
∴a =a qn-1=48× ,
n 1 2
(1) n-1
即数列{a }的通项公式为a =48× .
n n 2
( 1 )
48× 1-
2n
(2)由题意得S = =93,
n
1
1-
2
解得n=5.
能力拔高练
1.(2025届东城期末,5)设等比数列{a }的公比为q,前n项和为S ,使S 有最小值的一组a
n n n 1
和q可以为 ( )
A.a >0,q<-1 B.a >0,-1<q<0
1 1
C.a <0,0<q<1 D.a <0,q>1
1 1
答案 B
2.(2025届朝阳期中,6)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有如下的问题:“今有女子
善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天
的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”由此推算,在这5天中,织布
超过1尺的天数共有 ( )
A.1天 B.2天 C.3天 D.4天
答案 B
3.(2025届丰台期末,10)各项均为正整数的数列2,3,4,a,b,20,30,40为递增数列.从该数
列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列,则有序数对(a,b)的个
数为 ( )
A.73 B.75 C.76 D.78
答案 B
4.(2025届北京二中期中,10)已知数列{a }是各项为正数的等比数列,公比为q(q≠1),在
n
a ,a 之间插入1个数,使这3个数成等差数列,记公差为d ,在a ,a 之间插入2个数,使
1 2 1 2 3
这4个数成等差数列,公差为d ,……,在a ,a 之间插入n个数,使这(n+2)个数成等差
2 n n+1
数列,公差为d ,则 ( )
n
A.当0<q<1时,数列{d }单调递减
n
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B.当q>1时,数列{d }单调递增
n
C.当d >d 时,数列{d }单调递减
1 2 n
D.当d <d 时,数列{d }单调递增
1 2 n
答案 D
5.(2025届清华附中统练五,8)记S 为等比数列{a }的前n项和.已知a =8,a =-1,则数列
n n 1 4
{S } ( )
n
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
答案 A
6.(2024海淀二模,9)已知{a }是公比为q(q≠1)的等比数列,S 为其前n项和.若对任意的
n n
a
n∈N*,S < 1 恒成立,则 ( )
n 1-q
A.{a }是递增数列 B.{a }是递减数列
n n
C.{S }是递增数列 D.{S }是递减数列
n n
答案 B
3
7.(2024西城二模,9)已知{a }是无穷等比数列,其前n项和为S ,a =3,S = .若对任意正整
n n 1 2 2
数n,都有S -(-1)n·A>0,则A的取值范围是( )
n
A.(-3,1) B.[-2,1)
( 3) [ 3)
C. -3, D. -2,
2 2
答案 D
8.(2023海淀一模,9)已知等比数列{a }的公比为q,且q≠1,记T =a a …a (n=1,2,3,…),
n n 1 2 n
则“a >0且q>1”是“{T }为递增数列”的 ( )
1 n
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
9.(2024西城期末,9)设{a }是首项为正数,公比为q的无穷等比数列,其前n项和为S .若
n n
存在无穷多个正整数k,使S≤0,则q的取值范围是 ( )
k
A.(-∞,0) B.(-∞,-1]
C.[-1,0) D.(0,1)
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答案 B
10.(2024北京一七一中学开学考试,9)在等比数列{a }中,a =-9,a =-1,记T =a a a …
n 1 5 n 1 3 5
a (n=1,2,…),则数列{T } ( )
2n-1 n
A.有最大项,有最小项
B.有最大项,无最小项
C.无最大项,有最小项
D.无最大项,无最小项
答案 A
2n-1
11.(2025届顺义期末,13)已知等比数列{a }的前n项和为S = ,则{a }的公比为
n n n
8
;记T =a a …a (n∈N*),则T 的最小值为 .
n 1 2 n n
1
答案 2;
64
12.(2024北京三十五中开学测,14)设等比数列{a }满足a +a =10,a +a =5,则a a …a 的
n 1 3 2 4 1 2 n
最大值为 .
答案 64
13.(2025届北京牛栏山一中月考,14)已知等比数列{a }的前n项和为S ,前n项积为T ,
n n n
9
其中a , ,a 成等差数列,a a =8.且T 有最大值,则S = ;T 的最大值是 .
1 2 4 2 3 n 6 n
63
答案 ;64
4
第6页共6页
