北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
6.3 平面向量的数量积及其应用
五年高考
1.(2022北京,10,4分,易)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动
点,且PC=1,则⃗PA·⃗PB的取值范围是 ( )
A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]
答案 D
2.(2019北京文,9,5分,易)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m= .
答案 8
3.(2018北京文,9,5分,易)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m= .
答案 -1
三年模拟
基础强化练
1.(2025届朝阳期中,5)已知单位向量i,j满足i·j=0,设向量c=i-2j,则向量c与向量i夹角
的余弦值是 ( )
2√5 √5
A.- B.−
5 5
√5 2√5
C. D.
5 5
答案 C
(√3 1)
2.(2025届北京八十中月考,2)已知向量a=(0,1),b= , ,则cos<a,b>= ( )
2 2
1 √2 √3
A.0 B. C. D.
2 2 2
答案 B
3.(2025届北京二中月考,3)已知边长为2的正方形ABCD中,点E,F分别为AB,BC的中
点,则⃗AF·⃗AE= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
4.(2025届北京四中期中,3)已知边长为2的正方形ABCD中,AC与BD交于点E,则
⃗AE·⃗BC= ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
5.(2024丰台期中,4)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a·b=1,则|a+2b|= ( )
A.12 B.4 C.2√3 D.2
答案 C
6.(2023西城二模,4)在△ABC中,AB=AC=1,∠A=90°,则⃗AB·⃗BC= ( )
A.1 B.-1 C.√2D.−√2
答案 B
7.(2024海淀一模,4)已知向量a,b满足|a|=2,b=(2,0),且|a+b|=2,则<a,b>=( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
答案 C
8.(2025届丰台期末,3)设a,b为非零向量,则“|a|=|b|”是“a=b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
π
9.(2024海淀二模,7)在△ABC中,C= ,CA=CB=2√2,点P满足⃗CP=λ⃗CA+(1-λ)⃗CB,且
2
⃗CP·⃗AB=4,则λ= ( )
1 1 3 3
A.- B. C.− D.
4 4 4 4
答案 B
10.(2023顺义二模,6)如图,在矩形ABCD中,AB=√3,AD=1,点P为CD的中点,则
⃗DA·⃗DB+⃗AP·⃗DB= ( )
3
A.0 B. C.√3D.2√3
2
答案 B
11.(2025届北师大附中期中,7)在△ABC中,C=90°,AC=4,BC=3,点P是AB的中点,则
⃗CB·⃗CP= ( )
9 9
A. B.4C. D.6
4 2
答案 C北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
12.(2023延庆一模,9)若△ABC外接圆的半径为1,圆心为O,2⃗OA+⃗AB+⃗AC=0且|
⃗OA|=|⃗AB|,则⃗CA·⃗CB等于 ( )
3
A. B.√3C.2√3 D.3
2
答案 D
π
13.(2025届北京八十中月考,12)已知向量a=(2,0),b=(m,1),且a与b的夹角为 ,则m=
3
.
√3
答案
3
14.(2024北京十九中月考,13)已知△ABC中,|⃗AB|=2,|⃗AC|=1,∠BAC=120°,则⃗AB·⃗AC=
,⃗AB·⃗BC= .
答案 -1;-5
15.(2024理工大附中月考,13)已知正方形ABCD的边长为1,E是线段CD的中点,则
⃗AE·⃗BD= .
1
答案
2
16.(2024东城一模,12)设向量a=(1,m),b=(3,-4),且a·b=|a||b|,则m= .
4
答案 -
3
17.(2023门头沟一模,12)在边长为4的正三角形ABC中,P是边BC上的中点,则⃗AB·⃗AP
= .
答案 12
能力拔高练
1.(2024通州期中,3)已知向量a=(-2,0),b=(1,2),c=(1,√3),则下列结论中正确的是 (
)
A.a∥b
B.a·b=2
C.|b|=2|c|
D.a与c的夹角为120°
答案 D
2.(2023房山一模,8)在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=√2,P为△ABC所在平面内的动点,且
PC=1,则|⃗PA+⃗PB|的最大值为( )
A.16 B.10 C.8 D.4
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.(2025届北京八十中月考,9)已知a,b是非零向量,则“a⊥b”是“对于任意的λ∈R,都
有|a+λb|=|a-λb|成立”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
4.(2025届首都师大附中月考,9)在△ABC中,AB=AC=2,BC=2√3,点P在线段BC上.当
⃗PA·⃗PB取得最小值时,PA= ( )
√3 √7 3 7
A. B. C. D.
2 2 4 4
答案 B
5.(2025届北京牛栏山一中月考,8)在△ABC中,∠A=90°,AC=3,AB=4,P为△ABC所在平
面内的动点,且PC=1.则|⃗PA+⃗PB|的最大值为 ( )
A.12 B.2(√13+1)
7
C. D.√7+1
2
答案 B
6.(2024北京牛栏山一中月考,9)在边长为1的正六边形ABCDEF中,点P为其内部或边
界上一点,则⃗AD·⃗BP的取值范围为 ( )
A.[-1,1] B.[-1,3]
C.[-3,1] D.[-3,3]
答案 B
7.(2024首都师大附中开学考,8)在平面直角坐标系xOy中,已知A(√3,0),B(1,2),动点P
满足⃗OP=λ⃗OA+μ⃗OB,其中λ,μ∈[0,1],λ+μ∈[1,2],则所有点P构成的图形的面积为
( )
A.1 B.2
C.√3D.2√3
答案 C
8.(2024通州期末,9)在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是BC的中点,F是CD上一点
(不与C,D重合),DE与AF交于G,则⃗AG·⃗DG的取值范围是 ( )
( 2) ( 4)
A. 0, B. 0,
3 3
C.(0,2) D.(0,3)
答案 B北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.(2024北京五十七中开学测试,7)骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运
动,深受大众喜爱.某一自行车的平面结构示意图如图.已知图中的圆A(前轮),圆D(后
轮)的半径均为√3, ABE, BEC, ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上
的一点,则在骑该自行车的过程中,⃗AC·⃗BP的最大值为 ( )
△ △ △
A.18 B.24
C.36 D.48
答案 C
10.(2024北京陈经纶中学月考,10)已知平面向量a,b,c满足:|a|=2,a,b夹角为60°,且c=-
1
a+tb(t∈R).则|c|+|c-a|的最小值为( )
2
A.√13 B.4
9√3
C.2√3D.
4
答案 A
11.(2025届顺义期末,10)在△ABC中,AB=AC=1,∠A=120°,D为△ABC所在平面内的动
点,且⃗AC·⃗AD=1,则|⃗BD|+|⃗AD|的最小值为( )
A.√5B.√7
C.1+√3D.√10
答案 B
π
12.(2024石景山一模,13)已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为 ,则当实数λ变化时,|
6
b-λa|的最小值为 .
答案 1
13.(2025届北京陈经纶中学月考,14)若|a|=1,|b|=3,则|a+b|+|a-b|的最大值是 ;最小
值是 .
答案 2√10;6
14.(2025届北京顺义一中期中,14)如图,这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四
个半圆组成,若正方形ABCD的边长为4,点P在四段圆弧上运动,则⃗AP·⃗AB的取值范围
为 .北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 [-8,24]
15.(2023昌平二模,14)已知点A,B,C在圆x2+y2=4上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为
(1,0),则|⃗PA+⃗PB+⃗PC|的取值范围是 .
答案 [1,5]
16.(2025届朝阳期末,14)已知O为△ABC所在平面内一点,满足⃗OA+⃗OB+⃗OC=0,且|⃗OA|
=2,|⃗OB|=3,|⃗OC|=4,设θ为向量⃗OA,⃗OB的夹角,则cos θ= ;⃗OA·⃗OB+⃗OA·⃗OC=
.
1
答案 ;-4
4
17.(2024人大附中月考,15)定义平面向量的一种运算a☉b=|a+b|×|a-b|×sin<a,b>,其中
<a,b>是a与b的夹角,给出下列命题:
①若<a,b>=90°,则a☉b=a2+b2;
②若|a|=|b|,则(a+b)☉(a-b)=4a·b;
③若|a|=|b|,则a☉b≤2|a|2;
④若a=(1,2),b=(-2,2),则(a+b)☉b=√10.
其中真命题的序号是 .
答案 ①③
