北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
8.5 空间角与距离、空间向量及其应用
五年高考
1.(2023北京,16,14分,中)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=
√3.
(1)求证:BC⊥平面PAB;
(2)求二面角A-PC-B的大小.
解析 (1)证明:因为PA⊥平面ABC,BC,AB 平面ABC,
所以PA⊥BC,PA⊥AB.
⊂
所以PB=√PA2+AB2=√2.
又因为BC=1,PC=√3,所以PB2+BC2=PC2,
所以PB⊥BC,
又因为PA⊥BC,且PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,
所以BC⊥平面PAB.
⊂
(2)以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标
系,
则A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),所以⃗AP=(0,0,1),⃗AC=(1,-1,0),⃗PC
=(1,-1,-1),⃗BC=(1,0,0),
设平面PAC的法向量为m=(x ,y ,z ),
1 1 1
{ m·⃗AP=z =0,
则 1 令y =1,则m=(1,1,0),
m·⃗AC=x −y =0, 1
1 1
设平面PBC的法向量为n=(x ,y ,z ),
2 2 2
{n·⃗PC=x −y −z =0,
则 2 2 2 令z =-1,则n=(0,1,-1),
n·⃗BC=x =0, 2
2
m·n 1 1
所以cos<m,n>= = = ,
|m|·|n| √2×√2 2
又因为二面角A-PC-B为锐二面角,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
π
所以二面角A-PC-B的大小为 .
3
2.(2024北京,17,14分,中)如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥AD,AB=BC=1,AD=3.点E在
AD上,且PE⊥AD,PE=DE=2.
(1)若F为线段PE的中点,求证:BF∥平面PCD;
(2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
解析 (1)证明:取PD的中点M,连接CM,MF,
∵F是PE中点,M是PD中点,
1
∴MF∥DE,MF= DE=1,
2
又BC∥AD,BC=1,∴MF∥BC,MF=BC,
∴四边形BCMF是平行四边形,∴BF∥CM,
又BF 平面PCD,CM 平面PCD,
∴BF∥平面PCD.
⊄ ⊂
(2)∵AB⊥平面PAD,PE 平面PAD,AD 平面PAD,
∴AB⊥PE,AB⊥AD.
⊂ ⊂
又PE⊥AD,AD∩AB=A,AB,AD 平面ABCD,
∴PE⊥平面ABCD,
⊂
连接EC,易得EC⊥AD.
以点E为原点,EC、ED、EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如
图所示,
则A(0,-1,0),B(1,-1,0),P(0,0,2),C(1,0,0),D(0,2,0),
∴⃗AB=(1,0,0),⃗AP=(0,1,2),⃗CD=(-1,2,0),⃗PD=(0,2,-2),
设平面PAB的法向量为m=(x ,y ,z ),
1 1 1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
{m·⃗AB=0, { x =0,
则 ∴ 1 令z =1,得m=(0,-2,1).
m·⃗AP=0, y +2z =0, 1
1 1
设平面PCD的法向量为n=(x ,y ,z ),
2 2 2
{n·⃗CD=0, {−x +2z =0,
则 ∴ 2 2 令z =1,得n=(2,1,1),
n·⃗PD=0, 2y −2z =0, 2
2 2
|m·n| √30
∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为|cos<m,n>|= = .
|m|·|n| 30
3.(2022北京,17,14分,中)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,侧面BCC B 为正方形,平面
1 1 1 1 1
BCC B ⊥平面ABB A ,AB=BC=2,M,N分别为A B ,AC的中点.
1 1 1 1 1 1
(1)求证:MN∥平面BCC B ;
1 1
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求直线AB与平面BMN所成
角的正弦值.
条件①:AB⊥MN;条件②:BM=MN.
注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.
1
解析 (1)证法一:取BC的中点P,连接NP,B P,则NP∥AB,且NP= AB.
1 2
∵M是A B 的中点,A B AB,
1 1 1 1
1
∴B M∥AB,且B M= AB,∴B MPN,∴四边形B PNM为平行四边形,
1 1 2 1 1
∴MN∥B P,
1
又B P 平面BCC B ,MN 平面BCC B ,
1 1 1 1 1
∴MN∥平面BCC B .
⊂ 1 1 ⊄
证法二:取AB的中点Q,连接QN,QM,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
∵M,N分别是A B ,AC的中点,
1 1
∴QN∥BC,QM∥B B,
1
∵QN 平面BCC B ,BC 平面BCC B ,
1 1 1 1
∴QN∥平面BCC B ,同理,QM∥平面BCC B ,
⊄ 1 1 ⊂ 1 1
又QM∩QN=Q,∴平面MNQ∥平面BCC B ,
1 1
又MN 平面MNQ,∴MN∥平面BCC B .
1 1
(2)选择条件①.
⊂
∵侧面BCC B 为正方形,∴BC⊥BB ,
1 1 1
又平面BCC B ⊥平面ABB A ,
1 1 1 1
平面BCC B ∩平面ABB A =BB ,BC 平面BCC B ,
1 1 1 1 1 1 1
∴BC⊥平面ABB A ,∴BC⊥AB.
1 1 ⊂
解法一:由(1)中证法一知MN∥B P,又AB⊥MN,∴AB⊥B P.
1 1
∵BC∩B P=P,∴AB⊥平面BCC B .∴AB⊥BB .
1 1 1 1
∴BC,B B,BA两两垂直.
1
以B为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则B(0,0,0),A(0,2,0),N(1,1,0),M(0,1,2),
∴⃗BM=(0,1,2),⃗BN=(1,1,0),⃗AB=(0,-2,0).
设平面BMN的法向量为n=(x,y,z),
{n·⃗BM=0, {y+2z=0,
则 即 令z=1,得n=(2,-2,1).
n·⃗BN=0, x+ y=0,
n·⃗AB 4 2
∴cos<n,⃗AB>= = = ,
|n||⃗AB| 3×2 3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2
故直线AB与平面BMN所成角的正弦值为 .
3
解法二:接(1)证法二,连接MA.易知NQ⊥AB,
又AB⊥MN,MN∩NQ=N,
∴AB⊥平面MNQ,∴AB⊥MQ.
结合(1)中证法二知NQ⊥MQ.又AB∩NQ=Q,
∴MQ⊥平面ABN,∴点M到平面ABN的距离为2.
1 1 2
∴V = ×2·S△ABN= ×2×1= .
三棱锥M-ABN 3 3 3
易知BM=√5,BN=√2,MN=√NQ2+MQ2=√5,
3
∴S = .
BMN 2
△
设A到平面BMN的距离为h,
2 1 3 2
则V =V = ,即 ·ℎ· = ,
A-BMN M-ABN 3 3 2 3
4
∴h= ,
3
4
∴直线AB与平面BMN所成角的正弦值为3 2.
=
2 3
选择条件②.
∵侧面BCC B 为正方形,∴BC⊥BB ,又平面BCC B ⊥平面ABB A ,平面BCC B ∩平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1
ABB A =BB ,BC 平面BCC B ,∴BC⊥平面ABB A ,∴BC⊥AB.
1 1 1 1 1 1 1
结合(1)中证法二易知MQ⊥NQ.∵AB=BC=2,∴NQ=BQ=1.又
⊂
BM=MN,MQ=MQ,∴△MBQ≌△MNQ,
∴MQ⊥BQ.∴BB ,BC,BA两两垂直.
1
解法一(向量法):同选①的解法一.
解法二(几何法):同选①的解法二.
4.(2021北京,17,14分,中)如图,在正方体ABCD-A B C D 中,E为A D 的中点,B C 与平
1 1 1 1 1 1 1 1
面CDE交于点F.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)求证:F为B C 的中点;
1 1
√5 A M
(2)若M是棱A B 上一点,且二面角M-FC-E的余弦值为 ,求 1 的值.
1 1 3 A B
1 1
解析 (1)证明:在正方体ABCD-A B C D 中,因为CD∥C D ,且CD 平面
1 1 1 1 1 1
A B C D ,C D 平面A B C D ,所以CD∥平面A B C D .因为平面CDE∩平面
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⊄
A B C D =EF,所以CD∥EF.所以C D ∥EF.因为E为A D 的中点,所以F为B C 的中点.
1 1 1 1 ⊂ 1 1 1 1 1 1
(2)不妨设正方体的棱长为2.
建立空间直角坐标系D-xyz如图,
则D(0,0,0),C(0,2,0),F(1,2,2).
所以⃗DC=(0,2,0),⃗CF=(1,0,2).
设平面CDE的法向量为m=(x ,y ,z ),
1 1 1
{m·⃗DC=0, { 2y =0,
则 即 1
m·⃗CF=0, x +2z =0.
1 1
令z =1,则x =-2,y =0.于是m=(-2,0,1).
1 1 1
由题设,存在λ∈[0,1),使得⃗A M=λ⃗A B .
1 1 1
所以M(2,2λ,2).所以⃗FM=(1,2λ-2,0).
设平面MFC的法向量为n=(x ,y ,z ),
2 2 2
{n·⃗FM=0, {x +(2λ−2)y =0,
则 即 2 2
n·⃗CF=0, x +2z =0.
2 2
1 ( 1 )
令x =2,则z =-1,y = .于是n= 2, ,−1 .
2 2 2 1−λ 1−λ
|m·n| 5 √5
= =
由题设,|cos<m,n>|= |m||n| √ 1 3 ,
√5× 5+
(1−λ) 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 A M 1
所以λ= .所以 1 = .
2 A B 2
1 1
三年模拟
基础强化练
1.(2025届海淀精华学校入学考试(一),7)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底
面ABCD是边长为1的正方形,PA=√2,则点P到直线BD的距离为 ( )
√5 √10
A.√2B.√3C. D.
2 2
答案 D
2.(2025届海淀精华学校入学考试(二),17)如图,正四棱锥P-ABCD的底面边长和高均为
2,E,F分别为PD,PB的中点.
(1)证明:EF⊥PC;
1
(2)若点M是线段PC上的点,且PM= PC,判断点M是否在平面AEF内,并证明你的结
3
论;
(3)求直线PB与平面AEF所成角的正弦值.
解析 (1)证明:连接AC、BD交于O,连接OP,由正四棱锥的性质得PO⊥平面ABCD,
由底面ABCD为正方形,得AC⊥BD,
所以以O为坐标原点,OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,
如图,
