北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A版》
§8.5 空间向量及其在立体几何中的应用
应用篇
【应用集训】
1.(多选题)(2020山东滨州模拟,10)
已知菱形ABCD中,∠BAD=60°,AC与BD相交于点O,将△ABD沿BD折起,使顶点A至点M,在折起的过程中,
下列结论正确的是 ( )
A.BD⊥CM
B.存在一个位置,使△CDM为等边三角形
C.DM与BC不可能垂直
D.直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°
答案 ABD
2.(2020河北衡水中学七调,11)在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中,点M是对角线AC 上的点(点M与
1 1 1 1 1
A、C 不重合),则下列结论正确的个数为 ( )
1
①存在点M,使得平面ADM⊥平面BCD;
1 1
②存在点M,使得DM∥平面BCD;
1 1
③若△ADM的面积为S,则S∈(2√3 );
1 ,2√3
3
④若S、S 分别是△ADM在平面ABCD 与平面BBCC的正投影的面积,则存在点M,使得S=S.
1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
3.(2020湖北襄阳优质高中联考,18)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面
ABCD,PA=AB=2,∠ABC=60°,E为棱BC的中点,F为棱PC的动点.
(1)求证:AE⊥平面PAD;
√10
(2)若锐二面角E-AF-C的正弦值为 ,求点F的位置.
5
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4.(2019安徽六安一中4月月考,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且
DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△ADE的位置,使AC⊥CD,如图2.
1 1
(1)若M是AD的中点,求直线CM与平面ABE所成角的大小;
1 1
(2)线段BC上是否存在点P,使平面ADP与平面ABE垂直?说明理由.
1 1
5.(2019北京怀柔一模文,18)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分别为
PA,AC的中点.
(1)求证:DE∥平面PBC;
(2)求证:BC⊥平面PAB;
(3)在线段AB上是否存在点F,使得过三点D,E,F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行?若存在,指出点
F的位置并证明;若不存在,请说明理由.
[教师专用题组]
【应用集训】
1.如图,在各棱长均为2的三棱柱ABC-ABC 中,侧面AACC⊥底面ABC,∠AAC=60°.
1 1 1 1 1 1
(1)求侧棱AA 与平面ABC所成角的正弦值的大小;
1 1
(2)已知点D满足⃗BD=⃗BA+⃗BC,在直线AA 上是否存在点P,使DP∥平面ABC?若存在,请确定点P的位置;
1 1
若不存在,请说明理由.
解析 (1)∵侧面AACC⊥底面ABC,作AO⊥AC于点O,连接BO,∴AO⊥平面ABC.
1 1 1 1
又∠AAC=60°,且各棱长都相等,∴AO=1,OA=OB=√3,BO⊥AC.故以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角
1 1
坐标系O-xyz,
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则A(0,-1,0),B(√3,1,√3),A(0,0,√3),C(0,1,0),
1 1
∴ =(0,1, ), =( ,2, ), =(0,2,0).
⃗A A √3 ⃗AB √3 √3 ⃗AC
1 1
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
1
{n·⃗AB =√3x+2y+√3z=0,
则 1
n·⃗AC=2y=0,
取z=1,得n=(-1,0,1).
设侧棱AA 与平面ABC所成的角为θ,
1 1
| ⃗A A ·n | √3 √6
则sin θ=|cos<⃗A A ,n>|= 1 = = ,
1 |⃗A A |·|n| 2√2 4
1
√6
∴侧棱AA 与平面ABC所成角的正弦值为 .
1 1
4
(2)∵点B的坐标为(√3,0,0),
∴⃗BA=(-√3,-1,0),⃗BC=(-√3,1,0),
∵⃗BD=⃗BA+⃗BC,∴⃗BD=(-2√3,0,0),
∴点D的坐标为(-√3,0,0).
假设存在点P符合题意,则点P的坐标可设为P(0,y,z),
1 1
∴⃗DP=(√3,y,z).
1 1
∵DP∥平面ABC,且n=(-1,0,1)为平面ABC的一个法向量,∴-√3+z=0,即z=√3.
1 1 1 1
易知 ⃗AP 与 ⃗A A 共线,故设 ⃗AP =λ ⃗A A
,∴{y
1
+1=λ,
1 1 √3=√3λ,
∴y=0.
1
又DP⊄平面ABC,故存在点P,使DP∥平面ABC,其坐标为(0,0,√3),即恰好为A 点.
1 1 1
2.(2018青海西宁湟中一中月考,18)在四棱柱ABCD-ABCD 中,底面ABCD是正方形,且BC=BB=√2
1 1 1 1 1
,∠AAB=∠AAD=60°.
1 1
(1)求证:BD⊥CC;
1
√7
(2)若动点E在棱CD 上,试确定点E的位置,使得直线DE与平面BDB 所成角的正弦值为 .
1 1 1
14
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解析 (1)证明:连接AB,AD,AC,因为AB=AA=AD,∠AAB=∠AAD=60°,
1 1 1 1 1
所以△AAB和△AAD均为正三角形,于是AB=AD.
1 1 1 1
设AC与BD的交点为O,连接AO,则AO⊥BD,
1 1
又四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD,而AO∩AC=O,所以BD⊥平面AAC.
1 1
又AA⊂平面AAC,所以BD⊥AA,又CC∥AA,所以BD⊥CC.
1 1 1 1 1 1
(2)由AB=AD=√2,及BD=√2AB=2,知AB⊥AD,
1 1 1 1
1 √2
于是AO=AO= BD= AA,从而AO⊥AO,结合AO⊥BD,AO∩BD=O,得AO⊥底面ABCD,所以OA、OB、
1 2 2 1 1 1 1
OA 两两垂直,如图,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,
1
则A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,-1,0),A(0,0,1),C(-1,0,0), =(0,2,0), = =(-1,0,1), = =(-1,1,0),
1 ⃗DB ⃗BB ⃗A A ⃗D C ⃗DC
1 1 1 1
由 = =(-1,0,1),得D(-1,-1,1).
⃗DD ⃗A A 1
1 1
设 =λ (λ∈[0,1]),
⃗D E ⃗D C
1 1 1
易知E(-λ-1,λ-1,1),
所以⃗DE=(-λ-1,λ,1).
设平面BBD的法向量n=(x,y,z),
1
由 {n·⃗DB=0, 得{ y=0, 令x=1,得n=(1,0,1),
n·⃗BB =0, -x+z=0.
1
设直线DE与平面BDB 所成角为θ,
1
则sin θ=|cos< ,n>|= |1×(-λ-1)+0×λ+1×1| =√7,解得λ=1或λ=-1(舍去),
⃗DE
√2×√λ2+(-1-λ)2+12 14 2 3
√7
所以当E为DC 的中点时,直线DE与平面BDB 所成角的正弦值为 .
1 1 1
14
3.(2019湖北七市(州)教科研协作体3月联考,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,
AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=3,AC=2,点E是PD的中点.
(1)求证:PB∥平面AEC;
√10
(2)在线段PB上(不含端点)是否存在一点M,使得二面角M-AC-E的余弦值为 ?若存在,确定M的位置;若
10
不存在,请说明理由.
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解析 (1)证明:连接BD交AC于点F,连接EF,如图,
在△PBD中,由已知得EF∥PB, (2分)
又EF⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,
∴PB∥平面AEC.(4分)
(2)由题意知,AC,AB,AP两两垂直,如图,以A为坐标原点,以AC,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间
直角坐标系A-xyz.
则C(2,0,0),D(2,-3,0),P(0,0,3),B(0,3,0),E( 3 3),
1,- ,
2 2
设M(x,y,z),⃗PM=λ⃗PB(0<λ<1),
0 0 0
则(x,y,z-3)=λ(0,3,-3),得M(0,3λ,3-3λ), (6分)
0 0 0
设平面AEC的法向量为n=(x,y,z),
1 1 1 1
由n
1
·
⃗AE
=0,n
1
·
⃗AC
=0,
⃗AE
=(
1,-
3
,
3),
⃗AC
=(2,0,0),
2 2
{ 3 3
x - y + z =0,
得 1 2 1 2 1 取y 1 =1,得n 1 =(0,1,1).
2x =0,
1
设平面MAC的法向量为n=(x,y,z),
2 2 2 2
由n·⃗AM=0,n·⃗AC=0,⃗AM=(0,3λ,3-3λ),⃗AC=(2,0,0),
2 2
得 {3λ y 2 +(3-3λ)z 2 =0, 取z 2 =1,得n 2 =( 0,1- 1 ,1 ). (9分)
2x =0, λ
2
设二面角M-AC-E的大小为θ,
√10
∵二面角M-AC-E的余弦值为 ,∴θ为锐角,
10
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| 1|
2-
|n ·n | λ
√10
则cos θ= 1 2 = = , (10分)
|n 1 |·|n 2 | √2· √ ( 1- 1) 2 +1 10
λ
1 2
化简得9λ2-9λ+2=0,解得λ= 或λ= .
3 3
2 1 1
易知λ= 时,θ为钝角,∴λ= ,∴⃗PM= ⃗PB.
3 3 3
1 √10
故⃗PM= ⃗PB时,二面角M-AC-E的余弦值为 . (12分)
3 10
4.(2020天津北辰第一次诊断测试,17)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是梯形,
π
PD∥QA,∠PDA= ,平面ADPQ⊥平面ABCD,且AD=PD=2QA=2.
2
(1)求证:QB∥平面PDC;
(2)求二面角C-PB-Q的大小;
7√3
(3)已知点H在棱PD上,且异面直线AH与PB所成角的余弦值为 ,求线段DH的长.
15
解析 本题考查线面平行、二面角,考查立体几何中的探索性问题.
π
∵平面ADPQ⊥平面ABCD,平面ADPQ∩平面ABCD=AD,PD⊂平面ADPQ,∠PDA= ,∴直线PD⊥平面
2
ABCD.
以点D为原点,分别以⃗DA,⃗DC,⃗DP的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A(2,0,0),Q(2,0,1),P(0,0,2).
(1)证明:易知⃗AD=(-2,0,0)是平面PDC的一个法向量,
⃗QB=(0,2,-1),∴⃗QB·⃗AD=0,
又直线QB⊄平面PDC,∴QB∥平面PDC.
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{n ·⃗PB=0,
(2)⃗PB =(2,2,-2),⃗PC =(0,2,-2),设n
1
=(x
1
,y
1
,z
1
)为平面PBC的法向量,则 1 即
n ·⃗PC=0,
1
{2x +2y -2z =0,
1 1 1
2y -2z =0,
1 1
不妨设z=1,可得n=(0,1,1).
1 1
设n=(x,y,z)为平面PBQ的法向量,
2 2 2 2
⃗PB=(2,2,-2),⃗PQ=(2,0,-1),
{n ·⃗PB=0, {2x +2y -2z =0,
则 2 即 2 2 2
n ·⃗PQ=0, 2x -z =0,
2 2 2
不妨设z=2,可得n=(1,1,2),
2 2
∴cos <n
1
,n
2
>= n
1
·n
2
=√3,又知二面角C-PB-Q为钝二面角,∴二面角C-PB-Q的大小为5π.
|n ||n | 2 6
1 2
(3)设H(0,0,h)(0≤h≤2),则⃗AH=(-2,0,h),⃗PB=(2,2,-2),
|cos < , >|=7√3,即 |-4-2h| =7√3,∴6h2-25h+24=0,解得h=3或h=8(舍去).故线段DH的长
⃗PB⃗AH
15 2√3√4+h2 15 2 3
3
为 .
2
创新篇
【创新集训】
1.(多选题)(2020山东青岛三模)在如图所示的棱长为1的正方体ABCD-ABCD 中,点P在侧面BCCB 上运
1 1 1 1 1 1
动,则下列命题中正确的是 ( )
A.若点P总满足PA⊥BD,则动点P的轨迹是一条直线
1
B.若点P到点A的距离为√2,则动点P的轨迹是一个周长为2π的圆
C.若点P到直线AB的距离与到点C的距离之和为1,则动点P的轨迹是椭圆
D.若点P到直线AD与到直线CC 的距离相等,则动点P的轨迹是双曲线
1
答案 ABD
2.(2020湖北荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联盟联考,12)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为1,P是
1 1 1 1
空间中任意一点,下列命题正确的个数是 ( )
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√5
①若P为棱CC 中点,则异面直线AP与CD所成角的正切值为 ;
1
2
√6+√2
②若P在线段AB上运动,则AP+PD 的最小值为 ;
1 1
2
③若P在半圆弧 ⏜ 上运动,当三棱锥P-ABC体积最大时,三棱锥P-ABC外接球的表面积为2π;
CD
3√3
④若过点P的平面α与正方体每条棱所成角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为 .
4
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
3.(2020湖南湘东六校联考,19)如图,ABEDFC为多面体,平面ABED与平面ACFD垂直,点O在线段AD上,
OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.
(1)证明:直线BC∥平面OEF;
3√13
(2)在线段DF上是否存在一点M,使得二面角M-OE-D的余弦值是 ?若不存在,请说明理由;若存在,请
13
求出M点所在的位置.
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