北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
版》
专题五 万有引力与航天
应用篇
【应用集训】
应用一 探究天体运动中双星及多星问题的处理方法
1.(2019福建龙岩摸底,5,4分)双星系统中,两颗星在彼此引力的作用下,绕连线上某点做匀速圆周运动。1974年物理学
家约瑟夫·泰勒和拉塞尔·赫尔斯发现由两颗质量不同的星构成的双星系统,每年两星间的距离减少3.5 m,若两星运动
的周期不变,则该双星系统中 ( )
A.两星线速度大小始终相等
B.两星加速度大小始终相等
C.每年两星总质量都减小
D.每年两星总质量都增加
答案 C
2.(2020重庆质检)(多选)如图,天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上,并沿等边三角形的外
接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G,不计其他星体对它们的影响,关于这个三星系统,下列说法正确
的是( )
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为4π2l3
3GT2
2√3πl
C.它们的线速度大小均为
T
D.它们两两之间的万有引力大小为16π4l4
9GT4
答案 BD
3.(2020山东泰安统考)(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统,通常可忽略其他星
体对它们的引力作用。设四星系统中每个星体的质量均为m,半径均为R,四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个
顶点上,其中L远大于R。已知引力常量为G,忽略星体的自转,则关于四星系统,下列说法正确的是 ( )
L
A.四颗星做圆周运动的轨道半径为
2
B.四颗星做圆周运动的线速度均为 √Gm( √2)
2+
L 4北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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C.四颗星做圆周运动的周期均为2π√ 2L3
(4+√2)Gm
m
D.四颗星表面的重力加速度均为G
R2
答案 CD
应用二 探究天体的追及、相遇问题
1.如图所示,A为太阳系中的天王星,它绕太阳O运行的轨道视为圆时,运动的轨道半径为R,周期为T,长期观测发现,天
0 0
王星实际运动的轨道与圆轨道总有一些偏离,且每隔t 时间发生一次最大偏离,即轨道半径出现一次最大,根据万有引
0
力定律,天文学家预言形成这种现象的原因可能是天王星外侧还存在着一颗未知的行星(假设其运动轨道与A在同一
平面内,且与A的绕行方向相同),它对天王星的万有引力引起天王星轨道的偏离,由此可推测未知行星的运动轨道半径
是 ( )
A. t 0 R 0 B.R 0 √ t 0
t -T t -T
0 0 0 0
C.R 0 √ 3 t 0 -T 0 D.R 0 √ 3( t 0 )2
t t -T
0 0 0
答案 D
2.(2019福建泉州摸底,8,4分)当地球位于太阳和木星之间且二者几乎排成一条直线时,称之为“木星冲日”,2016年3
月8日出现了一次“木星冲日”。已知木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到
太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。则下列说法正确的是 ( )
A.下一次的“木星冲日”时间肯定在2018年
B.下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年
C.木星运行的加速度比地球的大
D.木星运行的周期比地球的小
答案 B
3.(2020辽宁沈阳质检)(多选)如图,三个质点a、b、c的质量分别为m、m、M(M远大于m 及m),在万有引力作用下,
1 2 1 2
a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动,已知轨道半径之比为r∶r=1∶4,则下列说法中正确的有 ( )
a b北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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A.a、b运动的周期之比为T∶T=1∶8
a b
B.a、b运动的周期之比为T∶T=1∶4
a b
C.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线12次
D.从图示位置开始,在b转动一周的过程中,a、b、c共线14次
答案 AD
应用三 “填补法”在万有引力定律中的应用
1.某地区的地下发现了天然气资源,如图所示,在水平地面P点的正下方有一球形空腔区域内储藏有天然气。假设该地
区岩石均匀分布且密度为ρ,天然气的密度远小于ρ,可忽略不计。如果没有该空腔,地球表面正常的重力加速度大小为
g;由于空腔的存在,现测得P点处的重力加速度大小为kg(k<1)。已知引力常量为G,球形空腔的球心深度为d,则此球形
空腔的体积是 ( )
kgd kgd2 (1-k)gd (1-k)gd2
A. B. C. D.
Gρ Gρ Gρ Gρ
答案 D
2.(2020山东泰安期末统考)如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R,如果从球中挖去一个直径为R的小球,放
在相距为d=2.5R的地方,分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分的万有引力大小。(答案必须用分式表示,已知
G、M、R)
(1)从球的正中心挖去。
(2)从球心右侧挖去。
答案 (1)
7GM2
(2)
103GM2
400R2 6 400R2
[教师专用题组]
【应用集训】
1.(2020湘赣皖第二次联考)(多选)在天体运动中,把两颗相距很近的恒星称为双星。已知组成某双星系统的两颗恒星
A、B的质量分别为m 和m,相距为L。在万有引力作用下各自绕它们连线上的某一点,在同一平面内做匀速圆周运动,
1 2
运动过程中二者之间的距离始终不变。已知引力常量为G。恒星A的动能为E,则恒星B的动能为 ( )
k北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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m m m m
A.G 1 2-E B.G 1 2-E
k k
L 2L
m m
C.
1
E
k
D.
2
E
k
m m
2 1
答案 BC 对双星,都是万有引力提供向心力,故G m 1 m 2=m 1 ω2R 1 =m 2 ω2R 2 ,其中L=R 1 +R 2 ,联立解得R 1 = m 2 L ,R 2 =
L2 m +m
1 2
1
m v2
m L v R m E E 2 1 1 m m m m v2 2E
1 ,根据v=rω,则 1= 1= 2,则 k1= k = = 2,即E = 1E,C正确,D错误;G 1 2=m 2= k2,即
k2 k 2
m
1
+m
2
v
2
R
2
m
1
E
k2
E
k2
1
m v2
m
1
m
2
L2 R
2
R
2
2 2 2
E =R ·Gm m ,同理E=R ·Gm m ,则E+E =R +R ·Gm m =Gm m ,则E =Gm m -E,B正确,A错误。
k2 2 1 2 k 1 1 2 k k2 1 2 1 2 1 2 k2 1 2 k
2 L2 2 L2 2 L2 2L 2L
技巧点拨 解决双星、多星问题,要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律,确定系统的中心以及运动的轨道半径。
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
(3)星体的角速度相等。
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识,寻找两者之间的关系,正确计算万有引力。
2.(2020北京海淀二模)2018年12月8日2时23分,我国成功发射“嫦娥四号”探测器。“嫦娥四号”探测器经历绕
地飞行、地月转移、近月制动(太空刹车)、绕月飞行,最终于2019年1月3日10时26分实现了人类首次在月球背面
软着陆,其运动轨迹示意图如图所示。假设“嫦娥四号”质量保持不变,其在绕月圆轨道和绕月椭圆轨道上运动时只
受到月球的万有引力,则有关“嫦娥四号”的下列说法中正确的是 ( )
A.沿轨道Ⅰ绕地运行过程中,在a点的速度小于在b点的速度
B.沿轨道Ⅰ绕地运行的机械能与沿轨道Ⅱ绕地运行的机械能相等
C.近月制动后先沿轨道①绕月运行,经过变轨最后才沿轨道③运行
D.沿轨道①②③绕月运行的周期相同
答案 C 在沿轨道Ⅰ绕地运行过程中,轨道Ⅰ是个椭圆轨道,a点是近地点,该点的速度较大,故在a点的速度大于在
b点的速度,选项A错误;由图可知,轨道Ⅰ与轨道Ⅱ的远地点不同,说明轨道Ⅱ的机械能更大一些,二者的机械能并不相
等,选项B错误;近月制动后先沿轨道①绕月运行,经过变轨最后才沿轨道③运行,选项C正确;沿轨道①②③绕月运行的
周期不相同,①的周期最大,③的周期最小,选项D错误。
3.(2018雅礼中学月考二,9)(多选)引力波探测在2017年获得诺贝尔物理学奖,包含中国在内的多国科学家于2017年10
月宣布,成功探测到第一例双中子星合并的引力波事件,双中子星合并之前,在相互的万有引力作用下,可看作绕两者连
线上某一点做半径逐渐减小的圆周运动。由于双中子星相互引力巨大,其他星体对它们的引力可以忽略,则以下判断
正确的是( )
A.双中子星运动的圆心一定在两者连线的中点
B.两者运动的角速度大小相同
C.随着半径减小,他们的周期逐渐变小
D.随着半径减小,它们的线速度大小并不改变北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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答案 BC 设双中子星的质量分别为m、m,两者间的距离为r,做匀速圆周运动的圆心为O,轨道半径分别为r、r,
1 2 1 2
如图所示,两者绕O点运动的角速度ω相同,B正确。由 Gm m =mω2r=mω2r,r+r=r,可得r= r ·m,因m 不一
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1
r2 m +m
1 2
定等于m 2 ,故r 1 不一定等于r,A错误。对于m 1 ,由 Gm 1 m 2= m 1 v 1 2 = m 1 v 1 2 (m 1 +m 2 )可得r减小,v 1 增大,同理可得v 2 也增
2 r2 r rm
1 2
2πr
大,D错误。T= ,r减小、r 减小,而v 增大,故T减小,C正确。
1 1 1
v
1
4.天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗星称为双星。若某双星的质量分别为M、m,间距为L,双
星各自围绕其连线上的某点O做匀速圆周运动,其角速度分别为ω、ω,质量为M的恒星轨道半径为R,已知引力常量
1 2
为G,则描述该双星运动的上述物理量满足 ( )
A.ω<ω B.ω>ω
1 2 1 2
C.GM= (L-R)L2 D.Gm= R3
ω2 ω2
2 1
GMm
答案 C 双星系统中两颗星的角速度相同,ω=ω,则A、B项错误。由 =mω2 (L-R),得GM=ω2 (L-R)L2,C项正
1 2 L2 2 2
GMm
确。由 =Mω2 R,得Gm=ω2 RL2,D项错误。
L2 1 1
5.(2020届江苏淮安高级中学月考,8)(多选)宇宙间存在离其他星体遥远的系统,其中有一种系统如图所示,四颗质量均为
m的星体位于正方形的顶点,正方形的边长为a,忽略其他星体对它们的引力作用,每颗星体都在同一平面内绕正方形对
角线的交点O做匀速圆周运动,引力常量为G,则 ( )
A.每颗星做圆周运动的线速度大小为√ √2 Gm
(1+ )
4 a
B.每颗星做圆周运动的角速度大小为√ Gm
√2a3
C.每颗星做圆周运动的周期为2π√√2a3
Gm
D.每颗星做圆周运动的加速度与质量m有关
答案 AD 本题考查四颗星所组成系统的研究方法。由星体均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动可知,星体
√2
做匀速圆周运动的轨道半径r= a,每颗星体在其他三个星体万有引力的合力作用下围绕正方形对角线的交点做匀
2北京曲一线图书策划有限公司 2022版《5年高考3年模拟 A
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v2
m2 m2
√ √2 Gm
速圆周运动,由万有引力定律和向心力公式得:G +2G cos 45°=m √2 ,解得:v= (1+ ) ,角速度
(√2a)2 a2 ( a) 4 a
2
为:ω=v=√ 1 Gm,周期为: T=2π=2π√ 2a3 ,加速度:a=v2 = (2√2+1)Gm,故A、D正确,B、C
(√2+ )
r 2 a3 ω (2√2+1)Gm r 2a2
错误。
解题思路 星体做匀速圆周运动的轨道半径等于正方形对角线长度的一半。在四颗星体组成的四星系统中,其中任意
一颗星体受到其他三颗星体对它的万有引力合力提供其做圆周运动的向心力,由此求出线速度大小,根据角速度、周
期、加速度与线速度的关系,即可求出这些物理量。
6.(2020届湖南师大附中摸底,3)2018年7月28日发生了火星冲日现象,火星冲日即火星、地球和太阳几乎排列成一线,
地球位于太阳与火星之间,已知地球和火星绕太阳公转的方向相同,火星公转轨道半径约为地球的1.5倍,若将火星和地
球的公转轨迹近似看成圆,取√6=2.45,则相邻两次火星冲日的时间间隔约为( )
A.0.8年 B.1.6年 C.2.2年 D.3.2年
答案 C 由万有引力充当向心力得:G Mm =m4π2 r,
r2 T2
解得行星公转周期:T=2π√ r3 ,
GM
T √r3 √27 3
则火星和地球的周期关系为: 火= 火= = ,
√6
T
地
√r3
地
√8 4
3
已知地球的公转周期为1年,则火星的公转周期为 √6年,
4
相邻两次火星冲日的时间间隔设为t,则:(ω -ω )t=2π
地 火
t t
化简得: - =1,
T T
地 火
t
t
即: -3 =1(t的单位为年),
1 √6
4
求得t=2.2年,故本题选C。
