北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.5 双曲线及其性质
五年高考
x2
1.(2019北京文,5,5分,易)已知双曲线 -y2=1(a>0)的离心率是√5,则a= ( )
a2
1
A.√6B.4C.2D.
2
答案 D
x2 y2
2.(2021北京,5,4分,易)若双曲线 - =1的离心率为2,且过点(√2,√3),则双曲线的方
a2 b2
程为( )
y2
A.2x2-y2=1 B.x2- =1
3
x2 y2
C.5x2-3y2=1 D. - =1
2 6
答案 B
3.(2023北京,12,5分,易)已知双曲线C的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√2,则C的方程
为 .
x2 y2
答案 - =1
2 2
x2 √3
4.(2022北京,12,5分,易)已知双曲线y2+ =1的渐近线方程为y=± x,则m= .
m 3
答案 -3
x2 y2
5.(2020北京,12,5分,易)已知双曲线C: - =1,则C的右焦点的坐标为 ;C的
6 3
焦点到其渐近线的距离是 .
答案 (3,0);√3
x2
6.(2024北京,13,5分,中)若直线y=k(x-3)与双曲线 -y2=1只有一个公共点,则k的一个取
4
值为 .
1 1
答案 或- (写出一个即可)
2 2
三年模拟
基础强化练
y2
1.(2025届房山入学测试,3)双曲线x2- =1的渐近线方程为 ( )
4
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1 1
A.y=± xB.y=± x
2 4
C.y=±2x D.y=±4x
答案 C
y2 x2
2.(2025届北京一六六中学阶段测试,3)双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为2,则其渐
a2 b2
近线方程为 ( )
A.y=±√2xB.y=±√3x
√3
C.y=± x D.y=±2x
3
答案 C
3.(2025届北京市回民学校统测一,7)已知双曲线C经过点(0,1),离心率为2,则C的标准
方程为( )
y2 x2
A.x2- =1B. -y2=1
3 3
x2 y2
C.y2- =1D. -x2=1
3 3
答案 C
x2 y2
4.(2025届西城期末,7)若直线y=2x与双曲线C: - =1(a>0,b>0)没有公共点,则双曲
a2 b2
线C的离心率e满足 ( )
A.1<e≤√3B.1<e≤√5
C.e≥√3D.e≥√5
答案 B
5.(2025届海淀期末,11)双曲线x2-y2=4的一条渐近线方程可以为 .
答案 y=x(或y=-x)
6.(2025届东城期末,13)写出一个焦点在x轴上且离心率为2的双曲线的标准方程: .
y2
答案 x2- =1(答案不唯一)
3
x2 y2
7.(2024清华附中开学考试,11)双曲线 - =1(a>0)的渐近线方程为y=±2x,则a=
a2 36
.
答案 3
y2 x2
8.(2025届海淀精华学校入学考试(二),13)已知双曲线C: - =1的一条渐近线方程为
4 m
y=2x,则m= .
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答案 1
x2 y2
9.(2025届北京二中月考,12)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0
a2 b2
相切,则双曲线的离心率为 .
答案 2
x2 y2
10.(2025届北京五十五中月考,12)已知双曲线C: - =1(b>0)的两条渐近线互相垂直,
a2 b2
则C的离心率为 .
答案 √2
x2
11.(2025届朝阳期末,12)双曲线C: -y2=1的渐近线方程是 ;设F ,F 是双曲线
1 2
4
C的两个焦点,点P在双曲线C上,且|PF |=3,则|PF |= .
1 2
1
答案 y=± x;7
2
x2 y2
12.(2025届海淀精华学校入学考试(一),13)已知双曲线W: - =1(其中a>0)的右焦点
a2 3
为F(2,0),则a= ,W的离心率为 .
答案 1;2
能力拔高练
x2 y2
1.(2024房山期末,9)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,P为
a2 b2 1 2
双曲线C左支上一动点,Q为双曲线C的渐近线上一动点,且|PQ|+|PF |最小时,PF 与双
2 1
曲线C的另一条渐近线平行,则双曲线C的方程可能是 ( )
y2 x2
A.x2- =1B. -y2=1
3 3
x2 y2 x2
C. - =1D. -y2=1
2 2 4
答案 C
√6
2.(2024北京陈经纶中学阶段性考试,11)已知双曲线的虚轴长为4,离心率e= ,F ,F 分
1 2
2
别是双曲线的左、右焦点,若过F 的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且2|AB|=|AF |
1 2
+|BF |,则双曲线的实轴长为 ,|AB|= .
2
答案 4√2;8√2
3.(2025届北京东方红学校开学测试,14)已知两点F (-1,0),F (1,0).点P(cos θ,sin θ)满
1 2
足|PF |-|PF |=√2,则△PF F 的面积是 ;θ的一个取值为 .
1 2 1 2
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1 π
答案 ; (答案不唯一)
2 6
x2 y2
4.(2025届北京二中开学测试,14)已知点F 、F 分别是双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、
1 2 a2 b2
右焦点,若在双曲线右支上存在点P,满足|PF |=|F F |,且F 到直线PF 的距离等于双曲
2 1 2 2 1
线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 .
答案 4x±3y=0
y2
5.(2025届北师大实验中学统练,14)设O为原点,双曲线C:x2- =1的右焦点为F,点P在
3
⃗OP·⃗OF
C的右支上,则C的渐近线方程是 ; 的取值范围是 .
|⃗OP|
答案 y=±√3x;(1,2]
x2 y2
6.(2025届北京八中测试,14)已知点P是双曲线C: - =1(a>0,b>0)左支上一点,
a2 b2
F ,F 分别是双曲线的左、右焦点,且PF ⊥PF ,PF 与两条渐近线分别交于M,N两点
1 2 1 2 2
(如图),点N恰好平分线段PF ,则双曲线的离心率是 .
2
答案 √5
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