北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.4 椭圆及其性质
五年高考
x2 y2 1
1.(2019北京理,4,5分,易)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,则 ( )
a2 b2 2
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
x2 y2
2.(2024北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0),以椭圆E的焦点和短轴端点为
a2 b2
顶点的四边形是边长为2的正方形,过点(0,t)(t>√2)且斜率存在的直线与椭圆E交于不
同的两点A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D.
(1)求椭圆E的方程及离心率;
(2)若直线BD的斜率为0,求t的值.
解析 (1)由已知条件可知b=c=√2,∴a=2,
x2 y2 c √2
∴椭圆E的方程为 + =1,离心率e= = .
4 2 a 2
(2)设直线AB的方程为y=kx+t(t>√2),A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
{
y=kx+t,
联立 x2 y2 消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0,
+ =1,
4 2
Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-4)>0,即4k2-t2+2>0,
−4kt 2t2−4
x +x = ,x x = .
1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
∵直线BD的斜率为0,∴点B与点D关于y轴对称,
得D(-x ,y ),∵A、C、D三点共线,∴k =k ,
2 2 AC CD
y −1 y −1
即 1 =− 2 ,∴(kx +t-1)x =-x (kx +t-1),
x x 1 2 1 2
1 2
∴2kx x +(t-1)(x +x )=0,
1 2 1 2
2k(2t2−4) (t−1)·(−4kt)
∴ + =0,
2k2+1 2k2+1
∴t2-t=t2-2,解得t=2.
x2 y2 √5
3.(2023北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ,A,C分别是E的
a2 b2 3
上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|AC|=4.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线y=-2
交于点N.求证:MN∥CD.
解析 (1)由题意知|AC|=2b=4,即b=2,
c √ b2 √ 4 √5
又e= = 1− = 1− = ,∴a2=9.
a a2 a2 3
x2 y2
∴E的方程为 + =1.
9 4
x2 y2
(2)证明:设点P(x ,y ),则 0+ 0=1,即4x2=36−9 y2 .
0 0 9 4 0 0
y 2
直线PD:y= 0 (x-3),直线BC:y=- x-2,联立直线PD与直线BC的方程,得点M
x −3 3
0
(3(3 y −2x +6) −12y )
0 0 , 0 .
3 y +2x −6 3 y +2x −6
0 0 0 0
y −2
直线PA的方程为y= 0 x+2,
x
0
−4x
( )
令y=-2,得点N 0,−2 .
y −2
0
−12y
0 +2
3 y +2x −6
0 0
因为k =
MN 3(3 y −2x +6) 4x
0 0 + 0
3 y +2x −6 y −2
0 0 0
−12y +6 y +4x −12
0 0 0
= 12x y +8x2−24x
9 y −6x +18+ 0 0 0 0
0 0 y −2
0
(−6 y +4x −12)(y −2)
0 0 0
=
9 y2−6x y +18 y −18 y +12x −36+12x y +8x2−24x
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
−6 y2+4x y −12y +12y −8x +24
0 0 0 0 0 0
=
9 y2+72−18 y2+6x y −12x −36
0 0 0 0 0
2 −3 y2+2x y −4x +12 2
= · 0 0 0 0 = ,
3 −3 y2+2x y −4x +12 3
0 0 0 0
2
易知k = ,所以k =k ,
CD 3 MN CD
又MN与CD无公共点,所以MN∥CD.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
4.(2022北京,19,15分,中)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,1),焦距为2
a2 b2
√3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(-2,1)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与x
轴交于点M,N.当|MN|=2时,求k的值.
{
b=1,
解析 (1)由题意得 2c=2√3, 解得a=2.
a2=b2+c2.
x2
所以椭圆E的方程为 +y2=1.
4
(2)直线BC的方程为y-1=k(x+2).
{y=k(x+2)+1,
由 得(4k2+1)x2+(16k2+8k)x+16k2+16k=0.
x2+4 y2=4
由Δ=(16k2+8k)2-4×(4k2+1)×(16k2+16k)=-64k>0,得k<0.
设B(x ,y ),C(x ,y ),
1 1 2 2
16k2+8k 16k2+16k
则x +x =- ,x x = .
1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
直线AB的方程为(y -1)x-x y+x =0.
1 1 1
x x
令y=0,得点M的横坐标为x =- 1 =− 1 .
M y −1 k(x +2)
1 1
x
2
同理可得点N的横坐标为x =- .
N k(x +2)
2
由题设,|x -x |=2.
M N
| x x |
所以 − 1 + 2 =2.
k(x +2) k(x +2)
1 2
所以|x -x |=|k(x +2)(x +2)|,
1 2 1 2
即√(x +x ) 2−4x x =|k[x x +2(x +x )+4]|.
1 2 1 2 1 2 1 2
√
(
16k2+8k) 2 16k2+16k
可得 − −4×
4k2+1 4k2+1
| (16k2+16k 16k2+8k ) | 8√−k −4k
= k −2× +4 .化简得 = .
4k2+1 4k2+1 4k2+1 4k2+1
解得k=-4.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
x2 y2
5.(2021北京,20,15分,难)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-2),以椭圆E
a2 b2
的四个顶点为顶点的四边形面积为4√5.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点P(0,-3)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与
直线y=-3交于点M,N.当|PM|+|PN|≤15时,求k的取值范围.
1 x2 y2
解析 (1)由题设,b=2, ×2a×2b=4√5.所以a=√5.所以椭圆E的方程为 + =1.
2 5 4
{ y=kx−3,
(2)直线BC的方程为y=kx-3.由 得(5k2+4)·x2-30kx+25=0.由Δ=(-30k)2-
4x2+5 y2=20
30k 25
4×(5k2+4)×25=400·(k2-1)>0,得|k|>1.设B(x ,y ),C(x ,y ),则x +x = ,x x =
1 1 2 2 1 2 5k2+4 1 2 5k2+4
y +2 x x
.直线AB的方程为y= 1 x-2.令y=-3,得点M的横坐标为x =- 1 =− 1 .同理
x M y +2 kx −1
1 1 1
x x
可得点N的横坐标为x =- 2 =− 2 .由题设,y +2>0,y +2>0,x x >0,所以x x =
N y +2 kx −1 1 2 1 2 M N
2 2
x x
1 2 >0.所以x ,x 同号.所以|PM|+|PN|=|x +x |=
(y +2)(y +2) M N M N
1 2
25 30k
| |
2k× −
| x x | | 2kx x −(x +x ) | 5k2+4 5k2+4
1 + 2 = 1 2 1 2 = =5|k|.由题
kx 1 −1 kx 2 −1 k2x 1 x 2 −k(x 1 +x 2 )+1 k2× 25 −k× 30k +1
5k2+4 5k2+4
设知,5|k|≤15.所以1<|k|≤3.所以k的取值范围是[-3,-1)∪(1,3].北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
三年模拟
基础强化练
x2 y2
1.(2025届人大附中开学检测,5)已知圆锥曲线 + =1的离心率e为方程3x2-10x+3=0
4 m
的根,则满足条件的m有几个不同的值 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
x2 y2
2.(2025届北京八中期中,7)已知F ,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦点,P为C上
1 2 a2 b2
一点,且∠F PF =60°,|PF |=5|PF |,则C的离心率为 ( )
1 2 1 2
√21 √2 1 2
A. B. C. D.
6 2 2 3
答案 A
x2 y2
3.(2025届海淀期末,7)已知椭圆C: + =1(b>0)的焦点在x轴上,点P(1,1),则 (
2 b2
)
A.P在C外 B.C的长轴长为√2
C.P在C内 D.C的焦距为2b
答案 A
x2 y2
4.(2023北京八中测试,12)以双曲线 − =1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为
4 5
.
x2 y2
答案 + =1
9 5
x2 y2
5.(2024北京市育英中学统练一,13)椭圆C : + =1与曲线C 关于直线y=-x对称,C
1 4 b2 2 1
与C 分别在第一、二、三、四象限交于点P ,P ,P ,P .若四边形P P P P 的面积为4,
2 1 2 3 4 1 2 3 4
则点P 的坐标为 ,C 的离心率为 .
1 1
√6
答案 (1,1);
3
x2 y2 √6
6.(2024北京交大附中开学考,19)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一
a2 b2 3
个端点到右焦点的距离为√3.
(1)求椭圆C的方程;北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
√3
(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 ,求△AOB面积
2
的最大值.
c √6
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,则a=√b2+c2=√3,由 = ,得c=√2,从而b=1,所以椭
a 3
x2
圆C的方程为 +y2=1.
3
{ √3
√3 x= , √3
(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),当AB⊥x轴时,直线AB:x= ,由 2 得|y|= ,|AB|=
1 1 2 2 2 2
x2+3 y2=3
√3.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m,则原点O到直线l的距离为
|m| √3 3
= ,得m2= (k2+1),
√1+k2 2 4
−6km
把y=kx+m代入椭圆C的方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,x +x = ,x x =
1 2 3k2+1 1 2
3m2−3
,
3k2+1
当k≠0时,
|AB|=√1+k2|x -x |
2 1
=√1+k2√(x +x ) 2−4x x
2 1 1 2
√ [ 36k2m2 12(m2−1)]
= (1+k2 ) −
(3k2+1) 2 3k2+1
√12(k2+1)(3k2+1−m2
)
=
(3k2+1) 2
√3(k2+1)(9k2+1) √ 12k2
= = 3+
(3k2+1) 2 9k4+6k2+1
√ 12 √ 12
3+ ≤ 3+
= 9k2+ 1 +6 2 √ 9k2· 1 +6 =2,
k2 k2
1 √3
当且仅当9k2= ,即k=± 时等号成立;
k2 3
{ √3
√3 y=± , √3
当k=0时,直线AB:y=± ,由 2 得|x|= ,|AB|=√3.
2 2
x2+3 y2=3北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 √3 1 √3 √3
综上,|AB| =2,S = |AB|· ≤ ×2× = ,
max AOB 2 2 2 2 2
△
√3
所以△AOB面积的最大值是 .
2
y2 x2
7.(2025届北师大实验中学统练,19)如图,已知椭圆E: + =1(a>b>0)的一个焦点为
a2 b2
√2
F (0,1),离心率为 .
1 2
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点F 作斜率为k的直线交椭圆E于A,B两点,AB的中点为M.设O为原点,射线
1
OM交椭圆E于点C.当△ABC与△ABO的面积相等时,求k的值.
c=1,
{
c √2 {a=√2,
解析 (1)由题意得 = , 解得
a 2 b=1.
a2=b2+c2,
y2
所以椭圆E的方程为 +x2=1.
2
(2)由题意得直线AB的方程为y=kx+1.
{ y=kx+1,
由 得(2+k2)x2+2kx-1=0,Δ=4k2+4(2+k2)>0,
2x2+ y2=2
设A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
−2k 4
则x +x = ,故y +y =k(x +x )+2= .
1 2 2+k2 1 2 1 2 2+k2
因为△ABC与△ABO的面积相等,所以点C和点O到直线AB的距离相等,
所以M为线段OC的中点,即四边形OACB为平行四边形.
设C(x ,y ),则⃗OC=⃗OA+⃗OB.
0 0
−2k 4
所以x =x +x = ,y =y +y = .
0 1 2 2+k2 0 1 2 2+k2
8k2 16
将上述两式代入2x2+ y2 =2,得 + =2,
0 0 (2+k2
)
2 (2+k2
)
2
