北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.8 函数与方程
考点 函数的零点
1.(2024新课标Ⅱ,6,5分,中)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)
恰有一个交点.则a=( )
1
A.-1 B. C.1 D.2
2
D
6
令f(x)=g(x),
1+cosx
则a(x+1)2-1=cos x+2ax,即a= .
1+x2
1+cosx
显然y= 为偶函数,由偶函数图象的对称性知,
1+x2
1+cosx
若曲线f(x)与g(x)恰有一个交点,则曲线y= 与直线y=a恰有一个交点,故此交点必在y轴
1+x2
1+cos0
上,即x=0,此时a= =2,故选D.
1+02
2.(2015天津文,8,5分)已知函数f(x)={2−|x|,x≤2,
函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为(
(x−2) 2,x>2,
)
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)={|x−2|+1,x≥0,
函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数
3−x2,x<0.
y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.
由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
6
3.(2014北京文,6,5分)已知函数f(x)= -logx.在下列区间中,包含f(x)零点的区间是( )
2
x
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,4) D.(4,+∞)
6 3
答案 C ∵f(1)=6-log1=6>0, f(2)=3-log2=2>0,f(4)= -log4= -2<0,∴包含f(x)零点的区间是(2,4),故选C.
2 2 2
4 2
4.(2011课标,10,5分)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A.( 1 ) B.( 1)
− ,0 0,
4 4
C.(1 1) D.(1 3)
, ,
4 2 2 4
答案 C 显然f(x)为定义域R上的连续函数.如图作出y=ex与y=3-4x的图象,由图象知函数f(x)=ex+4x-3的
零点一定落在区间( 3)内,又f(1)= -2<0, f(1)= -1>0.故选C.
0, √4 e √e
4 4 2
评析 本题考查函数零点的概念及求解方法,考查学生分析问题、解决问题的能力,属中等难度试题.
5.(2023天津,15,5分,难)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范
围为 .
答案 (-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,
即方程ax2-2x=|x2-ax+1|有两个不等实根,
即函数g(x)=ax2-2x与h(x)=|x2-ax+1|的图象有两个交点.
(1)当a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
∴h(x)=|x2-ax+1|=x2-ax+1,
f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1,
①当a-1=0,即a=1时, f(x)有一个零点,不合题意;
②当a-1≠0,即a≠1时,Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
当a2=0,即a=0时, f(x)有一个零点,不合题意;
当a2>0,即a≠0且a≠1时, f(x)有两个零点.
∴-2≤a≤2且a≠0且a≠1.
2 a
(2)当a<-2时,-1< <0, <-1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图.
a 2
设y=h(x)的两个零点为x ,x ,且x <x ,
1 2 1 2
a a
∵x x =1,y=h(x)图象的对称轴为直线x= ,且 <-1,∴x <x <0.
1 2 1 2
2 2
令k(x)=x2-ax+1,则k(2) 4 -2+1<0,
=
a a2
∴
2
<x <0 由k
(2)
<g
(2)可知x
在
2
右侧 ,
2 2
a a a a
∴由图可得,当a<-2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个不同的交点.
2 a
(3)当a>2时,0< <1, >1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图.
a 2
设y=h(x)的两个零点为x ,x ,且x <x ,
1 2 1 2
k(2)
=
4 -2+1<0,∴x
1
<2,
a a2 a
a 2
∵x x =1, >1,∴0<x < .
1 2 1
2 a
∵g(x)的二次项系数a>2,k(x)的二次项系数为1,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
∴g(x)的图象的开口小于k(x)的图象的开口.
∴由图可得,当a>2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个交点.
综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
6.(2016山东文,15,5分)已知函数f(x)={|x|, x≤m, 其中m>0.若存在实数b,使得关于x的
x2−2mx+4m, x>m,
方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是 .
答案 (3,+∞)
解析 f(x)的图象如图所示,
若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以
m>3.
方法总结 分段函数问题、函数零点个数问题或方程根的个数问题通常采用数形结合的思想方法来解决.
评析 本题考查基本初等函数及分段函数的图象,考查数形结合的思想方法,属于难题.
7.(2016天津文,14,5分)已知函数f(x)=
{x2+(4a−3)x+3a,x<0,
(a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-
x
恰有两个不相等的
log (x+1)+1,x≥0 3
a
实数解,则a的取值范围是 .
答案 [1 2)
,
3 3
4a−3
{
− ≥0,
解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,∴ 2 解得1≤a≤3.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|
0<a<1, 3 4
3a≥1,
x
与y=2- 的图象,如图所示.
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x x
方程|f(x)|=2- 恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2- 的图象恰有两个交点,则需满足
3 3
2 1 2
3a<2,得a< ,综上可知, ≤a< .
3 3 3
4a−3
{
− ≥0,
易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足 2 缺少条件是失分的一个原因;
0<a<1,
3a≥1,
(2)由方程解的个数求参数范围往往利用数形结合思想将问题转化为两个函数图象交点个数的问题是解决
这类问题常用的方法.
评析 本题主要考查分段函数的单调性及函数与方程,利用数形结合思想,将方程解的个数问题转化为两
个函数图象交点个数的问题是求解这类问题的常用方法.
8.(2015湖南理,15,5分)已知函数f(x)={x3,x≤a,
若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值
x2,x>a.
范围是 .
答案 (-∞,0)∪(1,+∞)
解析 当a<0时,若x∈(a,+∞),则f(x)=x2,当b∈(0,a2)时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x=-√b,x=√b.
1 2
当0≤a≤1时,f(x)的图象如图所示,
易知函数y=f(x)-b最多有一个零点.
当a>1时, f(x)的图象如图所示,北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
当b∈(a2,a3]时,函数g(x)=f(x)-b有两个零点,分别是x=√3 b,x=√b.
1 2
综上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).
9.(2015北京理,14,5分)设函数f(x)={ 2x−a,x<1,
4(x−a)(x−2a),x≥1.
①若a=1,则f(x)的最小值为 ;
②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .
答案 ①-1 ②[1 )∪[2,+∞)
,1
2
解析 ①当a=1时, f(x)={ 2x−1,x<1, 其大致图象如图所示:
4(x−1)(x−2),x≥1,
由图可知f(x)的最小值为-1.
②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;
当0<a<1时,易知f(x)在(-∞,1)上有一个零点,要使f(x)恰有2个零点,则当x≥1时, f(x)有且只有一个零点,结
1 1
合图象可知,2a≥1,即a≥ ,则 ≤a<1;
2 2
当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时, f(x)有2个零点,
则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)上无零点,则2-a≤0,即a≥2.
综上可知,满足条件的a的取值范围是[1 )∪[2,+∞).
,1
2
10.(2015湖北文,13,5分)函数f(x)=2sin xsin( π)-x2的零点个数为 .
x+
2
答案 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
解析 f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函数f(x)的零点个数可转化为函数y=sin 2x与y=x2图象的交点个数,
1 2
在同一坐标系中画出y=sin 2x与y=x2的图象如图所示:
1 2
由图可知两函数图象有2个交点,则f(x)的零点个数为2.
11.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①若k=0,则f(x)有两个零点;
②∃k<0,使得f(x)有一个零点;
③∃k<0,使得f(x)有三个零点;
④∃k>0,使得f(x)有三个零点.
以上正确结论的序号是 .
答案 ①②④
解析 令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,
令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,
所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数.
当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有两个交点,则f(x)有两个零点,故①正确;
当k>0时,如图b,存在h(x)=kx+2的图象与函数g(x)=lg x(x>1)的图象相切,此时h(x)与g(x)的图象有两
0
个交点,当0<k<k 时,g(x)与h(x)的图象有三个交点,则f(x)有三个零点,故④正确;
0
当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有两个交点,g(x)与h(x)相切时有一个交点,如图d,故②正确,③
不正确.
综上,正确结论的序号为①②④.
图a
图b
