北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.2 圆的方程
考点 圆的方程
1.(2015课标Ⅱ理,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2√6 B.8 C.4√6 D.10
3−7
答案 C 设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|=
2
=5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2-2
√(1−1) 2+(3+2) 2 √6 √6
√6)|=4√6.
2.(2015课标Ⅱ文,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,√3),C(2,√3),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
5 √21 2√5 4
A. B. C. D.
3 3 3 3
答案 B 在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D
( 1, 2√3).因此|OD|= √ 12+ (2√3) 2 =√7= √21 .故选B.
3 3 3 3
3.(2015北京文,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A.(x-1)2+(y-1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x-1)2+(y-1)2=2
答案 D 由题意得圆的半径为√2,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故选D.
4.(2022全国乙,理14,文15,5分)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为
.
答案 8 14 16 16
(x-2)2+(y-1)2=5 或x2+y2-4x-6y=0或x2+y2- x− y=0或x2+y2- x−2y− =0
3 3 5 5
解析
选取(0,0),(4,0),(4,2)时,不妨设这三点分别为O,A,B,则线段OA的垂直平分线的方程为x=2,
线段AB的垂直平分线的方程为y=1,所以经过这三点的圆的圆心坐标为(2,1),记为C,圆的半径r=|CO|=
,所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
√22+12=√5
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选取(0,0),(4,0),(-1,1)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
{
F=0, {D=−4,
16+4D+F=0, 解得 E=−6,所以所求圆的方程为x2+y2-4x-6y=0.
1+1−D+E+F=0, F=0.
选取(0,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
8
{D=− ,
{ F=0, 3
1+1−D+E+F=0, 解得 14
E=− ,
16+4+4D+2E+F=0, 3
F=0.
8 14
所以所求圆的方程为x2+y2- x− y=0.
3 3
选取(4,0),(-1,1),(4,2)时,设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则
16
{D=− ,
{ 16+4D+F=0, 5
所以所求圆的方程为x2+y2-16 16=0.
1+1−D+E+F=0, 解得 E=−2, x−2y−
5 5
16+4+4D+2E+F=0, 16
F=− .
5
5.(2022全国甲文,14,5分)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为
.
答案
(x-1)2+(y+1)2=5
{ 2a+b−1=0, { a=1,
解析 解法一:设☉M的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则 (3−a) 2+(0−b) 2=r2,解得 b=−1,
(0−a) 2+(1−b) 2=r2, r=√5,
所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
x
解法二:易得过(3,0)和(0,1)的直线方程为 +y=1,即x+3y-3=0.
3
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{2x+ y−1=0, { x=1,
以(3,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线的方程为3x-y-4=0,联立 解得
3x−y−4=0, y=−1,
所以圆心为(1,-1),则所求圆的半径r= ,所以☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
√(1−3) 2+(−1−0) 2=√5
6.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,√5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距
4√5
离为 ,则圆C的方程为 .
5
答案 (x-2)2+y2=9
解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),
{ |2a| 4√5
由题意可得 √5
=
5
,
解得
{a=2,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
r2=9,
(−a) 2+(√5) 2=r2,
方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并
求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求
解.
评析 本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应
用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.
x2 y2
7.(2015课标Ⅰ理,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准
16 4
方程为 .
答案 ( 3) 2 +y2=25
x−
2 4
解析 由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平分线的方程为2x-
y-3=0.令y=0,得x=3,所以圆心坐标为(3 ),则半径r=4-3=5.故该圆的标准方程为( 3) 2 +y2=25.
,0 x−
2 2 2 2 2 4
评析 本题考查圆和椭圆的方程,求出圆心坐标是解题关键.
8.(2014陕西理,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为
.
答案 x2+(y-1)2=1
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解析 根据题意得点(1,0)关于直线y=x对称的点(0,1)为圆心,又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1.
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