北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.4 二次函数与幂函数
考点1 二次函数
1.(2023天津,15,5分)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围
为 .
答案 (-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,
即方程ax2-2x=|x2-ax+1|有两个不等实根,
即函数g(x)=ax2-2x与h(x)=|x2-ax+1|的图象有两个交点.
(1)当a2-4≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
∴h(x)=|x2-ax+1|=x2-ax+1,
f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1,
①当a-1=0,即a=1时, f(x)有一个零点,不合题意;
②当a-1≠0,即a≠1时,Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2,
当a2=0,即a=0时, f(x)有一个零点,不合题意;
当a2>0,即a≠0且a≠1时, f(x)有两个零点.
∴-2≤a≤2且a≠0且a≠1.
2 a
(2)当a<-2时,-1< <0, <-1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图.
a 2
设y=h(x)的两个零点为x ,x ,且x <x ,
1 2 1 2
a a
∵x x =1,y=h(x)图象的对称轴为直线x= ,且 <-1,∴x <x <0.
1 2 1 2
2 2
令k(x)=x2-ax+1,则k(2) 4 -2+1<0,
=
a a2
∴
2
<x <0 由k
(2)
<g
(2)可知x
在
2
右侧 ,
2 2
a a a a
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∴由图可得,当a<-2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个不同的交点.
2 a
(3)当a>2时,0< <1, >1,作出y=g(x)与y=h(x)的图象如图.
a 2
设y=h(x)的两个零点为x ,x ,且x <x ,
1 2 1 2
k(2)
=
4 -2+1<0,∴x
1
<2,
a a2 a
a 2
∵x x =1, >1,∴0<x < .
1 2 1
2 a
∵g(x)的二次项系数a>2,k(x)的二次项系数为1,
∴g(x)的图象的开口小于k(x)的图象的开口.
∴由图可得,当a>2时,g(x)的图象与h(x)的图象有两个交点.
综上,a的取值范围为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).
2.(2022北京,14,5分)设函数f(x)={−ax+1,x<a,若f(x)存在最小值,则a的一个取值为
;a
(x−2) 2,x≥a.
的最大值为 .
1
答案 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1
2
解析 当a<0时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值为0,所
以f(x)不存在最小值.当a=0时, f(x)={ 1,x<0, 此时f(x)存在最小值,最小值为0.当0<a≤1时,
(x−2) 2,x≥0,
f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.因为a∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而
f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最小值.当a>1时, f(x)=-ax+1在(-∞,
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a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R
上不存在最小值.综上,a的取值范围为[0,1],a的最大值为1.
考点2幂函数
1.(2023天津,3,5分)设a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 ( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
答案 D ∵f(x)=1.01x 单调递增,∴f(0.5)<f(0.6),即 a<b.∵g(x)=x0.5 单调递增,
∴g(1.01)>g(0.6),即a>c,
∴b>a>c,故选D.
4 2 1
2.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则( )
23 45 53
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
4 2 1 2 2 2 2
答案 A 因为a= = ,c=2 = ,函数y= 在(0,+∞)上单调递增,所以 < ,即a<c,
23 43 53 53 x3 43 53
又因为函数y=4x在R上单调递增,所以 2 < 2 ,即b<a,
45 43
所以b<a<c,故选A.
3.(2015天津文,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记
a=f(log 3),b=f(log5),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
0.5 2
A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.c<b<a
答案 B 因为f(x)是偶函数,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上为增函数,由题意得a=f(log 3)=f(-
0.5
log3)=f(log3),因为log5>log3>0,所以f(log5)>f(log3)>f(0),即b>a>c,故选B.
2 2 2 2 2 2
4.(2013课标Ⅱ文,12,5分)若存在正数x使2x(x-a)<1成立,则a的取值范围是( )
A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞)
C.(0,+∞) D.(-1,+∞)
1 1
答案 D 由2x(x-a)<1得a>x- ,令f(x)=x- ,即a>f(x)有解,则a>f(x) ,又y=f(x)在(0,+∞)上递增,所以
2x 2x min
f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,选D.
评析 本题考查了函数的值域与最值的求法,考查了分离参变量的方法,熟悉基本初等函数的单调性是解题
关键.
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