北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3.3函数的奇偶性、周期性和对称性
考点1 函数的奇偶性
2x−1
1.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( )
2x+1
1
A.-1 B.0 C. D.1
2
1
答案 B 解法一:∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),又 f(1)=(a+1)ln =-(a+1)ln 3,
3
f(-1)=(a-1)ln 3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0.
−2x−1 2x+1 2x−1
解法二:f(-x)=(-x+a)ln =(-x+a)ln =(x-a)ln ,∵f(x)为偶函数,
−2x+1 2x−1 2x+1
∴f(x)=f(-x),∴x+a=x-a,即a=0.
2.(2023全国乙理,4,5分,中)已知f(x)= xex 是偶函数,则a= ( )
eax−1
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 D 解法一(特值法):f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函数,可得f(x)=f(-x),
令x=1,得f(1)=f(-1),
e 1
即
=−
,化简得e=ea-1,
ea−1 e(e−a−1)
a-1=1,所以a=2.
解法二: f(x)= xex 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
eax−1
由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x),
即 xex −xe−x ,即 ex 1 ,
= =−
eax−1 e−ax−1 eax−1 ex (e−ax−1)
化简得e2x=eax,所以a=2.
3.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),
则 ( )
A.f(0)=0北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
答案 ABC 令x=y=0,则f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正确.
令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正确.
令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,
令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,故C正确.
取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,
故选ABC.
4.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是( )
A.y=x2sin x B.y=x2cos x
C.y=|ln x| D.y=2-x
答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
5.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正
确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数
B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数
D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C 由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A
项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C, f(-x)|g(-
x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是
偶函数,故D项错误,选C.
评析 本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数
奇偶性的定义是解决本题的关键.
1−x
7.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是 ( )
1+x
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
答案 B 解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此
函数即为奇函数;
思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2
解析 解法一:f(x)=-1+ ,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿
x+1
y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.
2 2
解法二:选项A, f(x-1)-1= -2,此函数为非奇非偶函数;选项B, f(x-1)+1= ,此函数为奇函数;选项C,
x x
−2x−2 2
f(x+1)-1= ,此函数为非奇非偶函数;选项D, f(x+1)+1= ,此函数为非奇非偶函数,故选B.
x+2 x+2
8.(2023全国甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin( π)为偶函数,则a= .
x+
2
答案 2
解析 解法一:由题意知f(x)的定义域为R,
∵f(x)=(x-1)2+ax+sin( π)=x2+(a-2)x+cos x+1,
x+
2
∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cos x+1.
∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即 x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,即(a-2)x=-
(a-2)x,
∴a-2=0,∴a=2.
解法二:由题意知 f(x)的定义域为 R.∵函数 f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos
1=a+cos 1,∴a=2.
9.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a= .
答案 1
解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.
解析 ∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,
∴f(1)=f(-1),
∴2a-1 (1 ),
=− a−2
2 2
∴a=1.
当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.
一题多解 y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
10.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln| 1 |+b是奇函数,则a= ,b= .
a+
1−x
1
答案 - ;ln 2
2
解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.
由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时,| 1 |=0,∴a+1=0,∴a=-1,此时f(x)=ln| 1+x |+b,
a+
1−x 2 2 2(1−x)
∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义,∴f(0)=0,即ln| 1+0 | 1+b=0,∴b=-ln1=ln 2.
+b=ln
2(1−0) 2 2
1
综上可知,a=- ,b=ln 2.
2
11.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,则f(2)=
.
答案 12
解析 本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.
由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时, f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.
12.(2015课标Ⅰ理,13,5分)若函数f(x)=xln(x+ )为偶函数,则a= .
√a+x2
答案 1
解析 由已知得f(-x)=f(x),即-xln( -x)=xln(x+ ),则ln(x+ )+ln( -x)=0,
√a+x2 √a+x2 √a+x2 √a+x2
∴ln[( )2-x2]=0,得ln a=0,∴a=1.
√a+x2
13.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(x+1) 2+sinx
的最大值为M,最小值为m,则M+m= .
x2+1
答案 2
解析
f(x)=x2+1+2x+sinx=1+2x+sinx,令g(x)=2x+sinx,则g(x)为奇函数,有g(x)
+g(x) =0,
max min
x2+1 x2+1 x2+1
故M+m=2.
考点2 函数的周期性北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,
f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f(9)=( )
2
9 3 7 5
A.- B.− C. D.
4 2 4 2
9
答案 D 解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3, 对应的函数值转化为[1,2]内自
2
变量对应的函数值,进而得到a,b以及f(9)的值.
2
解析
由题知{f(−x+1)=−f(x+1), {f(−x)=−f(x+2),
即
f(−x+2)=f(x+2), f(−x)=f(x+4),
从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),
所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①
又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②
{a=−2,
由①②得 从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].
b=2,
所以f(9)
=f
(5
+2
)
=−f
(5)
=f
(1)
=−f
(3)
=−
[
(−2)×
(3) 2
+2
]
=
5 .故选D.
2 2 2 2 2 2 2
一题多解 因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,
且f(x)为周期函数,周期T=4,
从而f(0)=-f(2),①
f(3)=f(1)=0,②
f(9) (1) (3),
=f =−f
2 2 2
由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,
所以f(9)
=−
[
(−2)×
(3) 2
+2
]
=
5
.
2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1
2.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x> 时, f
2
( 1)=f( 1).则f(6)=( )
x+ x−
2 2
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D 当x>1时,由f( 1)=f( 1)可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1), f(-1)=(-1)3-1=-2,
x+ x−
2 2 2
所以f(6)=f(1)=2,故选D.
3.(2021全国甲文,12,5分)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f( 1) 1,则f(5)= (
− =
3 3 3
)
5 1 1 5
A.- B.− C. D.
3 3 3 3
答案 C 解题指导:求出函数f(x)的周期再进行转化,即可求解.
解析 由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),
所以f(x)的周期为2,则f(5) (5 ) ( 1) 1,故选C.
=f −2 =f − =
3 3 3 3
a
知识延伸:若函数f(x)为奇函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x= ,周期为2a;若函数
2
a
f(x)为偶函数,且满足f(a+x)=f(-x),则f(x)图象的对称轴为直线x= ,周期为a.
2
22
4.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则∑❑f(k)=
k=1
( )
A.-3 B.-2 C.0 D.1
答案 A 令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-
f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)的周期为6.
令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,
同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;
令x=2,y=1,得f(3)=-2;北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;
令x=5,y=1,得f(6)=2.
故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,
22
所以
∑❑f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A.
k=1
5.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)
22
的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑❑f(k)= ( )
k=1
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
答案 D 由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得
g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2④,所以由
④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数.
对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.
对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,则g(1)-f(1)=7⑦,
对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,
由⑦⑧,得f(1)=-1.对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,
又g(2)=4,所以f(0)=1，对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3.
22
则
∑❑f(k)=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D.
i=1
6.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f ( 5)+
−
2
f(1)= .
答案 -2
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,
∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f( 5)=f( 1)=-f(1)
− −
2 2 2
=- 1=-2,∴f( 5)+f(1)=-2.
−
42
2
考点3函数的对称性北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=f '(x).若f
(3 ),g(2+x)均为偶函数,则 ( )
−2x
2
A. f(0)=0 B.g( 1)=0
−
2
C. f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)
答案 BC 解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.
设f(x)=sin(πx),则g(x)=f '(x)=πcos(πx),
(3 ) (3 ) (3π )
由于f −2x =sin π −2x =sin −2πx =-cos(2πx),
2 2 2
g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),
所以f(3 ),g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.
−2x
2
于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.
由于f(3 )是偶函数,所以f '(3 )是奇函数,
−2x −2x
2 2
即g(3 )是奇函数,则g(3)=0,注意到g(2+x)是偶函数,于是g
−2x
2 2
( 1) (3 ) (3 )
− =g −2 =−g +2
2 2 2
=-g( 3 ) (1) (3 1)
− +2 =−g =−g −2×
2 2 2 2
=g(3 1) ( 1) ( 1) (3)=0,
+2× =g 2+ =g 2− =g
2 2 2 2 2
故选项B正确.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
由f(3 ) (3 ),取x=5,则f(-1)=f(4),故选项C正确.
−2x =f +2x
2 2 4
故选BC.
解法二:由题意知f(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) f(-x)=f(3+x)①,
−2x =f +2x ⇔f −x =f +x
2 2 2 2
⇔
取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.
对①两边求导知-f '(-x)=f '(3+x) f '(-x)=-f '(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,
⇔
取x=-3,知g(3)=0.
2 2
g(2+x)=g(2-x) g(-x)=g(x+4)③,
由②③知g(x+4⇔)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).
从而g( 1) ( 1) (3)=0,B正确.
− =g 2− =g
2 2 2
同解法一可判断A,D错误.故选BC.
2.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, f(3)=3,则f(-1)= .
答案 3
解析 ∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,
令x=1,得f(1)=f(3)=3,
∴f(-1)=f(1)=3.
