北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题综合练
1.(2025届北师大二附中月考,7)大运河文化带、长城文化带和西山永定河文化带作为北
京历史文化名城保护体系的重要内容,高度凝练了北京旧城以外的文化遗产,对于建设
北京全国文化中心、满足人民对美好生活的需要,起到关键的支撑作用.为了把握好三个
文化带的文化精髓,做好保护与传承,某课外研究小组决定从三个文化带中随机选取两
个文化带进行研究,那么所选的两个文化带中包含大运河文化带的概率是 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 C
2.(2025届北师大二附中统练一,7)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱
好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪,在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同
学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ( )
A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1
答案 A
3.(2025届丰台怡海中学开学检测,7)一个盒中有10个球,其中红球7个,黄球3个,随机
抽取两个,则至少有一个黄球的概率为 ( )
3 1 7 8
A. B. C. D.
5 15 15 15
答案 D
4.(2023海淀二模,7)芯片是科技产品中的重要元件,其形状通常为正方形.生产芯片的原
材料中可能会存在坏点,而芯片中出现坏点即报废,通过技术革新可以减小单个芯片的
面积,这样在同样的原材料中可以切割出更多的芯片,同时可以提高芯片生产的产品良
率.
切割得到的无坏点的芯片数
产品良率= ×100%
切割得到的所有芯片数
1
在芯片迭代升级过程中,每一代芯片的面积为上一代的 .图1是一块形状为正方形的芯
2
片原材料,上面有4个坏点,若将其按照图2的方式切割成4个大小相同的正方形,得到
4块第3代芯片,其中只有一块无坏点,则由这块原材料切割得到第3代芯片的产品良率
为25%.若将这块原材料切割成16个大小相同的正方形,得到16块第5代芯片,则由这
块原材料切割得到第5代芯片的产品良率为 ( )
A.50% B.62.5% C.75% D.87.5%
第1页共7页第1页共7页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 C
5.(2025届北师大二附中月考,13)紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号,让搜救
人员可以定位找到飞机的特有装置.根据某机构对失事飞机的调查得知:失踪飞机中有
70%后来被找到,在被找到的飞机中,有60%安装有紧急定位传送器;而未被找到的失踪
飞机中,有90%未安装紧急定位传送器.则在失踪飞机中,装有紧急定位传送器飞机的比
例为 (填写百分数);现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪,则它被找到
的概率为 .
14
答案 45%;
15
6.(2025届北师大二附中统练一,16)“稻草很轻,但是它迎着风仍然坚韧,这就是生命的力
量,意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候,那些你觉得看不到的人和遇
不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时,你会切身体会到读书破万卷
给予我们的力量.为了解某普通高中学生的阅读时间,从该校随机抽取了800名学生进行
调查,得到了这800名学生一周的平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成九组,
绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值;
(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况,从周平均阅读时间在(12,14],
(14,16],(16,18]三组内的学生中,采用分层抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随
机抽取3人,记周平均阅读时间在(14,16]内的学生人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)以样本的频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取20名学生,用P(k)表示这20名
学生中恰有k名学生周平均阅读时间在(8,12]内的概率,其中k=0,1,2,…,20.当P(k)最
大时,写出k的值.
解析 (1)∵(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)×2=1,∴a=0.10.
(2)由题图知,周平均阅读时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组的频率之比为
0.05∶0.04∶0.01=5∶4∶1,
5 4
∴10人中,周平均阅读时间在(12,14]的人数为10× =5,在(14,16]的人数为10×
10 10
1
=4,在(16,18]的人数为10× =1,
10
则X所有可能的取值为0,1,2,3,
第2页共7页第2页共7页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
C3
1
C2C1
1
C1C2
3
C3
1
∴P(X=0)= 6 = ,P(X=1)= 6 4= ,P(X=2)= 6 4= ,P(X=3)= 4 = ,
C3 6 C3 2 C3 10 C3 30
10 10 10 10
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
1 1 3 1
P
6 2 10 30
1 1 3 1 6
∴数学期望E(X)=0× +1× +2× +3× = .
6 2 10 30 5
(3)用频率估计概率,从该校所有学生中随机抽取1名学生,周平均阅读时间在(8,12]内
1
的概率p=(0.15+0.10)×2=0.5= ,
2
1 1
Ck
则P(k)=Ck pk(1-p)20-k=Ck × × = 20,其中k=0,1,2,…,20,
20 20 2k 220-k 220
若P(k)最大,则Ck 最大,
20
∴当k=10时,P(k)取得最大值.
7.(2024北京东直门中学开学测试,18)根据Z市2020年人口普查的数据,在该市15岁及
以上常住人口中,各种受教育程度人口所占比例(精确到0.01)如下表所示:
受教育程度
性别
未 大学 大学 硕士 博士
小学 初中 高中
上学 专科 本科 研究生 研究生
男 0.00 0.03 0.14 0.11 0.07 0.11 0.03 0.01
女 0.01 0.04 0.11 0.11 0.08 0.12 0.03 0.00
合计 0.01 0.07 0.25 0.22 0.15 0.23 0.06 0.01
(1)已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%,从全市常住人
口中随机选取1人,试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概
率;
(2)从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人,记这2人中受教育程度为大学本科及
以上的人数为X,求X的分布列和数学期望;
(3)若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记
为0年、6年、9年、12年、16年,设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教
育年限分别为a年和b年,依据表中的数据直接写出a与b的大小关系.(结论不要求证
明)
解析 (1)因为该市15岁及以上常住人口中,受教育程度为硕士研究生的人口所占比例
为0.06,
第3页共7页第3页共7页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率为
85%×0.06=0.051.
(2)该市15岁及以上常住人口中,受教育程度为大学本科及以上的人口所占比例为
0.23+0.06+0.01=0.3,
X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=C0 ×(0.3)0×(1-0.3)2=0.49.
2
P(X=1)=C1 ×0.3×(1-0.3)=0.42,
2
P(X=2)=C2 ×(0.3)2×(1-0.3)0=0.09.
2
则X的分布列为
X 0 1 2
P 0.49 0.42 0.09
E(X)=0×0.49+1×0.42+2×0.09=0.6.
(3)a>b.
详解:因为男性平均受教育年限为
6×0.03+9×0.14+12×0.11+16×0.22
a= =12.56,
0.5
女性平均受教育年限为
0×0.01+6×0.04+9×0.11+12×0.11+16×0.23
b= =12.46,
0.5
所以a>b.
8.(2024北京五十五中月考,18)某闯关游戏必须闯过若干关口才能成功,其中第一关是答
题,分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目,规定有两
种答题方案:
方案一:答题3道,至少有2道答对;
方案二:在这3道题目中,随机选取2道,这2道都答对.
从方案一和方案二中选择一个完成,就能通过第一关,假设甲选择方案一,且答对每一道
1
题的概率是 ,乙选择方案二,且3道题中只能答对其中两道题.
3
(1)求甲答对题目数量X的分布列与数学期望;
(2)设甲和乙中通过第一关的人数为ξ,求ξ的分布列;
(3)若丙答对这3道题中每一道题的概率都是p(p∈(0,1)),且这3道题是否答对相互之
间没有影响,丙选择方案一通过第一关的概率为p ,选择方案二通过第一关的概率为p ,
1 2
直接比较p 与p 的大小.
1 2
( 1)
解析 (1)因为X~B 3, ,
3
第4页共7页第4页共7页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
所以P(X=0)=C0×
(2) 3
=
8
,P(X=1)=C1×
1
×
(2) 2
=
4
,
3 3 27 3 3 3 9
P(X=2)=C2×
(1) 2
×
2
=
2
,P(X=3)=C3×
(1) 3
=
1
,
3 3 3 9 3 3 27
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
8 4 2 1
P
27 9 9 27
8 4 2 1
所以E(X)=0× +1× +2× +3× =1.
27 9 9 27
(2)甲通过的概率P =C2×
(1) 2
×
2
+C3×
(1) 3
=
7
,
甲 3 3 3 3 3 27
C2
1
乙通过的概率P = 2= ,
乙 C2 3
3
ξ的所有可能取值为0,1,2,
( 7 ) ( 1) 40
则P(ξ=0)= 1- × 1- = ,
27 3 81
7 ( 1) ( 7 ) 1 34
P(ξ=1)= × 1- + 1- × = ,
27 3 27 3 81
7 1 7
P(ξ=2)= × = ,
27 3 81
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2
40 34 7
P
81 81 81
(3)p >p .
1 2
详解:因为p =C2 ·p2(1-p)+C3 ·p3=3p2-2p3,p =p2,
1 3 3 2
则p -p =2p2-2p3=2p2(1-p),又p∈(0,1),
1 2
所以p -p =2p2(1-p)>0,所以p >p .
1 2 1 2
9.(2024北京一六六中学期中,18)某学校组织高一、高二年级学生进行了“庆祝建党100
周年”的知识竞赛.从这两个年级各随机抽取了40名学生,对其成绩进行分析,得到了高
一年级成绩的频率分布直方图和高二年级成绩的频数分布表.
第5页共7页第5页共7页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
成绩分组 频数
[75,80) 2
[80,85) 6
[85,90) 16
[90,95) 14
[95,100] 2
高二
规定成绩不低于90分为“优秀”.
(1)估计高一年级知识竞赛的优秀率;
(2)将成绩位于某区间的频率作为成绩位于该区间的概率.在高一、高二年级学生中各选
出2名学生,记这4名学生中成绩优秀的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列;
(3)在高一、高二年级各随机选取1名学生,用X,Y分别表示所选高一、高二年级学生
成绩优秀的人数.写出方差D(X),D(Y)的大小关系.(只需写出结论)
解析 (1)高一年级知识竞赛的优秀率为5×(0.04+0.02)=0.3.
3 7
(2)在高一年级学生中选中成绩优秀学生的概率为 ,选中成绩非优秀学生的概率为 .
10 10
2 3
在高二年级学生中选中成绩优秀学生的概率为 ,选中成绩非优秀学生的概率为 .
5 5
ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4,
( 7 ) 2 (3) 2 441
P(ξ=0)= × = ,
10 5 2500
P(ξ=1)=C1× 3 × 7 × (3) 2 + ( 7 ) 2 ×C1× 2 × 3 = 483 ,
2 10 10 5 10 2 5 5 1250
P(ξ=2)= ( 3 ) 2 × (3) 2 +C1× 3 × 7 ×C1× 2 × 3 + ( 7 ) 2 × (2) 2 = 781 ,
10 5 2 10 10 2 5 5 10 5 2500
P(ξ=3)= ( 3 ) 2 ×C1× 2 × 3 +C1× 3 × 7 × (2) 2 = 69 ,
10 2 5 5 2 10 10 5 625
第6页共7页第6页共7页
北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
( 3 ) 2 (2) 2 9
P(ξ=4)= × = ,
10 5 625
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
441 483 781 69 9
P
2500 1250 2500 625 625
(3)D(X)<D(Y).
详解:因为X,Y均符合两点分布,
又P(X=0)=0.7,P(X=1)=0.3,P(Y=0)=0.6,P(Y=1)=0.4,
D(X)=0.3×0.7=0.21,D(Y)=0.6×0.4=0.24,
所以D(X)<D(Y).
第7页共7页
