北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题综合练
{(3a−1)x+4a,x<1,
1.(2025届理工大附中高三开学测试,5)已知f(x)= 是(-∞,+∞)上的
log x,x≥1
a
减函数,那么a的取值范围是 ( )
( 1) [1 1) [1 )
A.(0,1) B. 0, C. , D. ,1
3 7 3 7
答案 C
2.(2025届北京一零一中学开学测试,5)若函数y=
5 48
√a−ax (a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则loga +loga = ( )
6 5
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
3.(2025届人大附中开学检测,9)某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,
而需求量相应减少,具体调查结果如下表:
表1 市场供给表
单价/(元/kg) 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
供给量/t 50 60 70 75 80 90
表2 市场需求表
单价/(元/kg) 4 3.4 2.9 2.6 2.3 2
需求量/t 50 60 65 70 75 80
根据以上提供的信息,市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间 (
)
A.(2.3,2.4)内 B.(2.4,2.6)内
C.(2.6,2.8)内 D.(2.8,2.9)内
答案 C
a
4.(2024北师大二附中月考,6)已知函数f(x)=x+ ,给出下列结论:
x
①∀a∈R,f(x)是奇函数;
②∃a∈R,f(x)不是奇函数;
③∀a∈R,方程f(x)=-x有实根;
④∃a∈R,方程f(x)=-x有实根.
其中,所有正确结论的序号是 ( )
A.①③ B.①④
C.①②④ D.②③④
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答案 B
5.(2024北京景山学校开学考试,6)教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空
气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国
家标准,教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定,刚下课时,教室内空气中
含有0.25%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:
t
分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ
e
−
10
(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达
到国家标准需要的时间t(单位:分钟)的最小整数值为 ( )
(参考数据ln 2≈0.693,ln 3≈1.098)
A.5 B.7
C.9 D.10
答案 B
6.(2024北京一七一中学开学考试,8)已知函数f(x)=x|x|.若存在x∈[1,+∞),使得f(x-2k)-
k<0,则k的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
(1 ) (1 )
C. ,+∞ D. ,+∞
2 4
答案 D
√x+1
7.(2025届北京十五中开学测试,13)函数y= 的定义域是 .
x−1
答案 {x|x≥-1且x≠1}
1
8.(2024北京景山学校开学考试,11)函数y=ln(x-1)+ 的定义域为 .
√3−x
答案 (1,3)
4
9.(2024北京景山学校月考,12)已知函数f(x)=x+ (2<x<4),则f(x)的值域为 .
x−1
答案 [5,6)
{ ex−kx,x≥0,
10.(2024北京东直门中学开学测试,14)已知函数f(x)= 若k=0,则不等
kx2−x+1,x<0,
式f(x)<2的解集为 ;若f(x)恰有两个零点,则k的取值范围为 .
答案 (-1,ln 2);(e,+∞)
11.(2024农大附中月考,15)设函数f(x)的定义域为D,如果对任意x ∈D,都存在唯一的
1
x ∈D,使得f(x )+f(x )=m(m为常数)成立,那么称函数f(x)在D上具有性质ψ .现有函
2 1 2 m
数:
①f(x)=3x;②f(x)=3x;③f(x)=log x;④f(x)=tan x.
3
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其中,在其定义域上具有性质ψ 的函数是 .(请填写序号)
m
答案 ①③
12.(2024北京景山学校开学考试,15)太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,俗称阴阳鱼,
太极图展现了一种互相转化,相对统一的和谐美.定义:能够将圆O的周长和面积同时等
分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.则下列有关说法中:
①函数f(x)=sin x+1是圆O:x2+(y-1)2=1的一个太极函数;
②对于圆O:x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中,一定不能为偶函数;
ex+1
③存在圆O,使得f(x)= 是圆O的一个太极函数;
ex−1
④函数f(x)是奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=k·
(| 1| 1)
x− − ,若f(x)是圆O:x2+ y2=1的太极函数,则k∈(−√3,√3).
2 2
所有正确说法的序号是 .
答案 ①④
ln(x+1)
13.(2025届海淀期中,15)已知函数f(x)= ,其定义域记为集合D,a,b∈D,给出下
lnx
列四个结论:
①D={x|x>0且x≠1};
②若ab=1,则|f(a)-f(b)|>1;
③存在a≠b,使得f(a)=f(b);
④对任意a,存在b使得f(a)+f(b)=1.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
14.(2025届北京三十五中月考,19)现有一张长为40 cm,宽为30 cm的长方形铁皮ABCD,
准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒,要求材料利用率为100%,不考虑焊接处损失.如图,
在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮,作为铁皮盒的底面,用余下材料剪拼后
作为铁皮盒的侧面(侧面可随意剪拼),设长方体的底面边长为x cm,高为y cm,体积为V
cm3.
(1)求出x与y的关系式;
(2)求该铁皮盒体积V的最大值.
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解析 (1)因为材料利用率为100%,
1200−x2
所以x2+4xy=40×30,即y= ,
4x
因为长方形铁皮ABCD长为40 cm,宽为30 cm,故0<x≤30,
1200−x2
综上,y= ,0<x≤30.
4x
1200−x2 1
(2)因为铁皮盒体积V(x)=x2y=x2· = (1 200x-x3),
4x 4
1
所以V'(x)= (1 200-3x2),令V'(x)=0,得x=20,
4
x变化时,V'(x),V(x)的变化情况如表,
x (0,20) 20 (20,30]
V'(x) + 0 -
V(x) ↗ 极大值 ↘
则V(x)在(0,20)上单调递增,在(20,30]上单调递减,
当x=20时,V(x)取最大值,
1
最大值为 ×(1 200×20-203)=4 000 cm3.
4
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