北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题综合练
1.(2024北京市八一学校开学考试,5)埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一,它的形状
√5-1
可视为一个正四棱锥,其侧面与底面所成角的余弦值为 ,则侧面三角形的底角的
2
正切值为 ( )
A.2 B.3
√5-1 √5+1
C. D.
2 2
答案 D
5π
2.(2025届北京东方红学校开学测试,7)若一圆锥的侧面展开图的圆心角为 ,则该圆锥
6
的母线与底面所成角的余弦值为 ( )
4 3 5 5
A. B. C. D.
5 5 12 13
答案 C
3.(2025届朝阳期中,9)在三棱锥O-ABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,点P在底面ABC内,
已知点P到OA,OB,OC所在直线的距离分别为1,2,2,则线段OP的长为 ( )
3√2 3√3 9
A. B. C.3D.
2 2 2
答案 A
4.(2024房山入学考试,10)点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD-A B C D 的棱BC,CC
1 1 1 1 1
的中点,动点P在正方形BCC B (包括边界)内运动.若PA ∥平面AMN,则PA 的长度的
1 1 1 1
取值范围是 ( )
[3√2 ]
A.[2,√5] B. ,√5
2
[3√2 ]
C. ,3 D.[2,3]
2
答案 B
5.(2024北京四中开学测试,15)如图,在长方体ABCD-A B C D 中,AB=2,AA =AD=1,动点
1 1 1 1 1
E,F分别在线段AB和CC 上.给出下列四个结论:
1
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1
①V = ;
D 1 -DEF 3
②△D EF不可能是等边三角形;
1
③当D E⊥DF时,D F=EF;
1 1
④至少存在两组E,F,使得三棱锥D -DEF的四个面均为直角三角形.
1
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
6.(2024北京一七一中学开学考试,15)如图,正方体ABCD-A B C D 的棱长为2,点O为底
1 1 1 1
面ABCD的中心,点P在侧面BB C C的边界及其内部运动.给出下列四个结论:
1 1
①D O⊥AC;
1
②存在一点P,使得D O∥B P;
1 1
③若D O⊥OP,则△D C P面积的最大值为√5;
1 1 1
④若P到直线D C 的距离与到点B的距离相等,则P的轨迹为抛物线的一部分.
1 1
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①③
7.(2025届北京八中测试,15)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A B C D 中,E、F分别为
1 1 1 1
棱A D 、AA 的中点,G为面对角线B C上一个动点,则下列选项中正确的是 .
1 1 1 1
1
①三棱锥A -EFG的体积为定值 .
1 3
②存在G∈线段B C,使得平面EFG∥平面BDC .
1 1
③G为B C上靠近B 的四等分点时,直线EG与BC 所成角最小.
1 1 1
④若平面EFG与棱AB,BC有交点,记交点分别为M,N,则MF+MN的取值范围是[
√5,√13].
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答案 ①③④
8.(2025届朝阳期末,15)在棱长为1的正方体ABCD-A B C D 中,点E在线段AC 上(不与
1 1 1 1 1
A,C 重合),EF⊥AC于F,FG⊥BC于G,以下四个结论:
1
①BC⊥平面EFG;
②线段EF与线段FG的长度之和为定值;
1
③△EFG面积的最大值为 ;
4
√2
④线段EG长度的最小值为 .
2
其中所有正确的结论的序号是 .
答案 ①②④
9.(2024北京一六六中学开学测试,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,
3
PD⊥平面ABCD,PD=AD=2,AB=4,点E在线段AB上,且AE= AB.
4
(1)求证:CE⊥平面PBD;
(2)求二面角P-CE-A的余弦值.
解析 (1)证明:因为PD⊥平面ABCD,CE 平面ABCD,
3 AB BC
所以PD⊥CE.因为AB=4,AE= AB,所以A⊂E=3,BE=1.所以 = =2.
4 AD BE
所以Rt BAD∽Rt CBE,所以∠BDA=∠CEB,
又∠BDA+∠DBA=90°,
△ △
所以∠CEB+∠DBA=90°,所以BD⊥CE.
又PD⊥CE,PD∩BD=D,PD,BD 平面PBD,
所以CE⊥平面PBD.
⊂
(2)因为PD⊥平面ABCD,AD 平面ABCD,CD 平面ABCD,所以PD⊥AD,PD⊥CD.
又四边形ABCD是矩形,所以AD⊥CD,
⊂ ⊂
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所以AD,CD,PD两两垂直,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则
C(0,4,0),P(0,0,2),E(2,3,0),
所以⃗PC=(0,4,-2),⃗CE=(2,-1,0).
设平面PCE的法向量为m=(x,y,z),
{ m·⃗CE=2x- y=0,
则
m·⃗PC=4 y-2z=0,
令y=2,则x=1,z=4,则m=(1,2,4).
因为PD⊥平面ABCD,
故可取平面ACE的一个法向量为n=(0,0,1),
m·n 4 4√21
则cos<m,n>= = = .
|m||n| √1+4+16×1 21
由图可知二面角P-CE-A为锐二面角,
4√21
所以二面角P-CE-A的余弦值是 .
21
10.(2025届北京市铁路第二中学期中,18)如图,在三棱锥V-ABC中,平面VAC⊥平面
ABC, ABC和△VAC均是等腰直角三角形,AB=BC,AC=CV=2,M,N分别为VA,VB的中
点.
△
(1)求证:AB∥平面CMN;
(2)求证:AB⊥VC;
(3)求直线VB与平面ABC所成角的正弦值.
解析 (1)证明:在△VAB中,M,N分别为VA,VB的中点,
所以MN为△VAB的中位线,所以MN∥AB.
又因为MN 平面CMN,AB 平面CMN,
所以AB∥平面CMN.
⊂ ⊄
(2)证明:在等腰直角△VAC中,AC=CV,所以AC⊥VC.
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因为平面VAC⊥平面ABC,平面VAC∩平面ABC=AC,VC 平面VAC,所以VC⊥平面
ABC(面面垂直的性质定理),
⊂
又因为AB 平面ABC,所以AB⊥VC.
(3)由(2)知,VC⊥平面ABC,
⊂
所以直线VB与平面ABC所成角为∠VBC,
因为△ABC是等腰直角三角形,AC=2,所以AB=BC=√2,
所以VB=√22+(√2) 2=√6,
VC 2 √6
所以sin∠VBC= = = ,
VB √6 3
√6
故直线VB与平面ABC所成角的正弦值为 .
3
11.(2025届北京三中期中,17)如图,在三棱柱ABC-A B C 中,正方形AA C C的边长为4,
1 1 1 1 1
平面ABC⊥平面AA C C,AB=3,BC=5.
1 1
(1)求证:AA ⊥平面ABC;
1
(2)求二面角A -BC -B 的余弦值;
1 1 1
BD
(3)证明:在线段BC 上存在点D,使得AD⊥A B,并求 的值.
1 1 BC
1
解析 (1)证明:因为四边形AA C C为正方形,所以AA ⊥AC.
1 1 1
因为平面ABC⊥平面AA C C,且平面ABC∩平面AA C C=AC,
1 1 1 1
所以AA ⊥平面ABC(面面垂直的性质定理).
1
(2)由(1)知,AA ⊥AC,AA ⊥AB.
1 1
因为AB=3,BC=5,AC=4,所以AB2+AC2=BC2,则AB⊥AC.
以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz如图,则
B(0,3,0),A (0,0,4),B (0,3,4),C (4,0,4),则⃗A B=(0,3,-4),⃗A C =(4,0,0),⃗BB
1 1 1 1 1 1 1
=(0,0,4),⃗BC =(4,-3,4),
1
设平面A BC 的法向量为m=(x ,y ,z ),
1 1 1 1 1
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{m·⃗A B=3 y -4z =0,
则 1 1 1
m·⃗A C =4x =0,
1 1 1
令z =3,得y =4,则m=(0,4,3).
1 1
设平面BC B 的法向量为n=(x ,y ,z ),
1 1 2 2 2
{n·⃗BC =4x -3 y +4z =0,
则 1 2 2 2
n·⃗BB =4z =0,
1 2
令y =4,得x =3,则n=(3,4,0),
2 2
m·n 16
所以cos<m,n>= = .
|m|·|n| 25
由题图知二面角A -BC -B 为锐二面角,
1 1 1
16
所以二面角A -BC -B 的余弦值为 .
1 1 1 25
(3)设D(x,y,z)是直线BC 上的一点,且⃗BD=λ⃗BC (0≤λ≤1).
1 1
所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4),解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,所以⃗AD=(4λ,3-3λ,4λ).
9
由题意得⃗AD·⃗A B=0,即9-25λ=0,解得λ= .
1 25
9 BD 9
=
因为 ∈[0,1],所以在线段BC 上存在点D,使得AD⊥A B,此时 .
25 1 1 BC 25
1
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