北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题十一 概率与统计
11.1 随机事件、古典概型
基础篇
考点一 随机事件的概率
考向一 事件的关系及运算
1.(2023届山东潍坊五县联考,4)已知A,B是一次随机试验中的两个事件,若满足
2
P(A)=P(B)= ,则 ( )
3
A.事件A,B互斥
B.事件A,B相互独立
C.事件A,B不互斥
D.事件A,B不相互独立
答案 C
2.(2022福建南平三模,5)抛掷两枚质地均匀的硬币,下列事件与事件“至少一枚硬币正
面朝上”互为对立的是 ( )
A.至多一枚硬币正面朝上
B.只有一枚硬币正面朝上
C.两枚硬币反面朝上
D.两枚硬币正面朝上
答案 C
3.(2022河北邯郸3月模拟,6)袋内有3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用A表示
“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为B,“第二次摸得黑球”记为C,那
么事件A与B,A与C间的关系是 ( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
答案 A
4.(多选)(2023届吉林省吉林市调研,11)抛掷两枚质地均匀的骰子,设事件A=“第一枚
出现奇数点”,事件B=“第二枚出现偶数点”,事件C=“两枚骰子出现点数和为8”,
事件D=“两枚骰子出现点数和为9”,则 ( )
A.A与B互斥 B.C与D互斥北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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C.A与D独立 D.B与C独立
答案 BC
考向二 频率与概率
1.(2018课标Ⅲ文,5,5分)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付
也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ( )
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案 B
2.(2014课标Ⅰ,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周
六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ( )
1 3 5 7
A. B. C. D.
8 8 8 8
答案 D
3.(2019课标Ⅲ,3,5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典
文学瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,
随机调查了100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过
《红楼梦》的学生共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,
则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为( )
A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8
答案 C
4.(2022海南海口质量检测,13)已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随
机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间
取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每
三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421
292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965
据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为 .
答案 0.3
5.(2020课标Ⅰ文,17,12分)某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标
准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别
收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、
乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20
元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并
统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应
选哪个分厂承接加工业务?
解析 (1)由试加工产品等级的频数分布表知,
40
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =0.4;
100
28
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =0.28.
100
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 65 25 -5 -75
频数 40 20 20 20
65×40+25×20−5×20−75×20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
100
=15(元).
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润 70 30 0 -70
频数 28 17 34 21
70×28+30×17+0×34−70×21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
100
=10(元).
比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
考点二 古典概型
1.(2023届广东东莞四中月考,6)已知在多项选择题的四个选项A、B、C、D中,有至少
两项且至多三项符合题目要求.规定:全部选对得5分,部分选对得2分,有选错得0分.若
某题的正确答案是CD,某考生随机选了至少一个选项且至多三个选项,则该考生能得分
的概率为 ( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
14 7 14 7
答案 C
2.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,5)同时掷两枚骰子,向上的点数之和是
3的倍数的概率是 ( )
13 5 1 1
A. B. C. D.
36 18 3 4北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 C
3.(2022新高考Ⅰ,5,5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质
的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案 D
4.(2022全国甲文,6,5分)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
答案 C
5.(2023届长沙雅礼实验中学入学考,5)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天
实验舱和梦天实验舱,假设空间站要安排甲,乙,丙,丁4名航天员开展实验,其中天和核
心舱安排2人,问天实验舱与梦天实验舱各安排1人,则甲乙两人安排在同一个舱内的
概率为( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
6 4 3 2
答案 A
6.(2021全国甲理,10,5分)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为(
)
1 2 2 4
A. B. C. D.
3 5 3 5
答案 C
7.(2020课标Ⅰ文,4,5分)设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则
取到的3点共线的概率为 ( )
1 2 1 4
A. B. C. D.
5 5 2 5
答案 A北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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综合篇
考法 古典概型概率的求法
考向一 古典概型的综合应用
1.(2023届浙江嘉兴基础测试,4)从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角
形,则所得的三角形是直角三角形的概率是 ( )
1 3 7 3
A. B. C. D.
14 14 20 7
答案 D
2. (2019课标Ⅰ理,6,5分)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重
卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图所示的
图形是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 (
)
5 11 21 11
A. B. C. D.
16 32 32 16
答案 A
3.(2019课标Ⅱ文,4,5分)生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这
5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( )
2 3 2 1
A. B. C. D.
3 5 5 5
答案 B
4.(2018课标Ⅱ理,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先
的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.
在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是 ( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
12 14 15 18
答案 C
a
5.(2023届河北唐山海港中学开学检测,7)已知函数f(x)= x3+bx2+x+2.若a,b分别是从
3
1,2,3中任取的一个数,则函数f(x)有两个极值点的概率为 ( )
1 1 2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 C
6.(2023届江苏常州一中检测,15)现有5名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、
乙、丙三校支教,每个学校至少去1人,则恰好有2名大学生分配到甲校的概率为
.
2
答案
5
7.(2022全国甲理,15,5分)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面
的概率为 .
6
答案
35
8.(2022全国乙,理13,文14,5分)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,
则甲、乙都入选的概率为 .
3
答案
10
9.(2022南京一中期初测试,17)某校高一年级1 000名学生期中考试生物学科成绩的频
率分布直方图如图所示,其中成绩分组情况如表.
组
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组
号
分 [60,70
[50,60) [70,80)[80,90)[90,100]
组 )
(1)求生物成绩在[50,60)内的人数;
(2)若同组中的每个数据用该组区间中点值代替,根据频率分布直方图,估计这1 000名
学生生物成绩的平均分;
(3)现有5名同学,其中3人的成绩在第三组内,2人的成绩在第四组内,从这5名同学中
随机抽取2名,求这2名同学来自不同组的概率.
解析 (1)由题意,知生物成绩在[50,60)内的频率为
1-(0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10)=0.05,
所以生物成绩在[50,60)内的人数为0.05×1 000=50.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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(2)由(1)及频率分布直方图,知分数在[50,60)内的频率为0.05,在[60,70)内的频率为
0.35,在[70,80)内的频率为0.3,在[80,90)内的频率为0.2,在[90,100]内的频率为0.1,
所以估计这1 000名学生生物成绩的平均分为
55×0.05+65×0.35+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74.5.
(3)设“这2名同学来自不同组”为事件A,设第三组的3名同学为a,b,c,第四组的2
名同学为x,y,则样本空间为Ω={(a,b),(a,c),(a,x),(a,y),(b,c),(b,x),(b,y),(c,x),
6 3
(c,y),(x,y)},事件A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)},所以P(A)= = .
10 5
考向二 求复杂的互斥事件的概率
1.(2022江苏百校联考,6)一次劳动实践活动中,某同学不慎将两件次品混入三件正品中,
它们形状、大小完全相同,该同学采用技术手段进行检测,恰好三次检测出两件次品的
概率为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
5 4 5 10
答案 D
2.(2022江苏如东中学等三校阶段考,5)在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一
个高度为7毫米的零件50次时,所得数据如下:
测量值6.8毫米6.9毫米7.0毫米7.1毫米7.2毫米
次数 5 15 10 15 5
根据此数据推测,假如再用游标卡尺测量该零件2次,则2次测得的平均值为7.1毫米的
概率为( )
A.0.04 B.0.11 C.0.13 D.0.26
答案 C
1
3.(多选)(2022江苏新高考月考一,10)从甲袋中摸出一个红球的概率是 ,从乙袋中摸出
3
1
一个红球的概率是 ,从两袋各摸出一个球,下列结论正确的是 ( )
2
1
A.2个球都是红球的概率为
6
1
B.2个球中恰有1个红球的概率为
2
5
C.至少有1个红球的概率为
6
1
D.2个球不都是红球的概率为
3
答案 AB
