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专题十一 概率与统计
11.1 随机事件与古典概型
考点1 随机事件的概率
1.(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标
有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡
片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所
选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 .
1
答案
14 2
解析 若甲总得分小于2,则甲得0分或1分,记甲、乙所选卡片数字大小为有序数对(a,b),可固定
甲卡片数字顺序为1,3,5,7,然后将乙所选卡片数字进行全排列,共A4=24种,
4
甲得0分时,一定是(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),
甲得1分时,符合条件的有
①(1,2),(3,4),(5,8),(7,6),
②(1,2),(3,6),(5,8),(7,4),
③(1,2),(3,6),(5,4),(7,8),
④(1,2),(3,8),(5,6),(7,4),
⑤(1,4),(3,2),(5,6),(7,8),
⑥(1,4),(3,6),(5,2),(7,8),
⑦(1,4),(3,6),(5,8),(7,2),
⑧(1,4),(3,8),(5,6),(7,2),
⑨(1,6),(3,4),(5,8),(7,2),
⑩(1,6),(3,4),(5,2),(7,8),
(1,8),(3,4),(5,6),(7,2),
共11种.
12 1
综上,符合条件的共12种,所以甲总得分不小于2的概率为1- = .
A4 2
4
2.(2023北京,18,13分,中)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连
续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示
“不变”,即当天价格与前一天价格相同.
时段 价格变化
第1天
到第 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
20天
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率.
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农
产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价
格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)
解析 (1)由题表得这40天内该农产品价格“上涨”的天数为 16,估计该农产品价格
16 2
“上涨”的概率为 = .
40 5
2
(2)由(1)估计该农产品价格“上涨”的概率为 ,
5
14 7 10 1
由题表估计该农产品价格“下跌”的概率为 = ,价格“不变”的概率为 = ,
40 20 40 4
所以所求概率为C2×
(2) 2
×C1×
7
×
1
=
21
.
4 5 2 20 4 125
(3)第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.
详解:因为该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响,且第40天的价格“上
涨”,所以只需统计前40天中价格“上涨”的次日的价格变化情况.由题表知价格“上
涨”的次日价格“上涨”的天数为4,价格“下跌”的天数为2,价格“不变”的天数为
9,所以第41天该农产品价格“不变”的概率估计值最大.
3.(2018北京文,17,13分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两
类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的
电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
解析 (1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000,
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
50
故所求概率为 =0.025.
2 000
(2)由题意知,样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
372
故所求概率估计为1- =0.814.
2 000
(3)增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.
4.(2015四川文,17,12分)一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客P,P,P,P,P 的座位号分别为
1 2 3 4 5
1,2,3,4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车.乘客P 因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要
1
求余下的乘客按以下规则就座:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就座,就
在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
(1)若乘客P 坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余
1
下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处);
(2)若乘客P 坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客P 坐到5号座位的概率.
1 5
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5
3 2 1 4 5
3 2 4 5 1
座位号
解析 (1)余下两种坐法如下表所示:
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
3 2 4 1 5
座位号
3 2 5 4 1
(2)若乘客P 坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为:
1
乘客 P P P P P
1 2 3 4 5
2 1 3 4 5
2 3 1 4 5
2 3 4 1 5
2 3 4 5 1
座位号
2 3 5 4 1
2 4 3 1 5
2 4 3 5 1
2 5 3 4 1
于是,所有可能的坐法共8种.
设“乘客P 坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.
5
4 1
所以P(A)= = .
8 2
1
答:乘客P 坐到5号座位的概率是 .
5
2
考点2 古典概型
1.(2021全国甲文,10,5分)将3个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 ( )
A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.8
答案 C 列举法:基本事件为(1,1,1,0,0),(1,1,0,1,0),(1,1,0,0,1),(1,0,1,1,0),(1,0,1,0,1),
(1,0,0,1,1),(0,1,1,1,0),(0,1,1,0,1),(0,1,0,1,1),(0,0,1,1,1),共10种情况,其中2个0不相邻的情
6
况有6种,故P= =0.6,故选C.
10
2.(2022全国甲文,6,5分)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片
上的数字之积是4的倍数的概率为 ( )
1 1 2 2
A. B. C. D.
5 3 5 3
答案 C 依题意知,总的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.其中符合数字之积是4的倍数的基本事件有6个,故所求
6 2
概率P= = .故选C.
15 5
3.(2021全国甲理,10,5分)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 ( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 2 2 4
A. B. C. D.
3 5 3 5
答案 C 解题指导:先求4个1和2个0的所有排列数,再利用插空法求2个0不相邻的种数.
解析 从6个位置中任选2个位置排2个0,其他4个位置排4个1,共有 =15种排法;先排4个1,再
C2C4
6 4
10 2
将2个0插空,共有C2=10种插法,故所求概率P= = .
5 15 3
一题多解 (捆绑法):由题意知2个0相邻共有 C2C1种排列方法,故所求概率P=1- C 2 2C 5 1 =1− 5 = 2 .
2 5 C2C4 15 3
6 4
易错提醒 本题是相同元素的排列问题,实际上元素之间无区别,是组合问题.
4.(2022新高考Ⅰ,5,5分)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 ( )
1 1 1 2
A. B. C. D.
6 3 2 3
答案 D 解法一:从7个整数中随机取2个不同的数共有 =21种取法.
C2
7
14 2
如图,所取的2个数互质的取法有3+4+2+3+1+1=14种,所以这2个数互质的概率为 = .
21 3
解法二(间接法):从7个数中任取2个数共有 =21种取法,2个数不互质的情况有两种:①从4个偶数中任
C2
7
取2个,有 =6种取法;②从偶数和奇数中各取一个,有1种取法,所以2个数不互质的取法有7种,所以取
C2
4
7 2
2个数互质的概率为1- = ,故选D.
21 3
5.(2018课标Ⅱ文,5,5分)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的
概率为( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
答案 D 设两名男生为A,B,三名女生为a,b,c,则从5人中任选2人有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(a,b),
3
(a,c),(b,c),(A,B),共10种.2人都是女同学的有(a,b),(a,c),(b,c),共3种,所以所求概率为 =0.3.
10
方法总结 古典概型概率的求法:北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
m
(1)应用公式P(A)= 求概率的关键是寻求基本事件的总数和待求事件包含的基本事件的个数.(2)基本事件
n
个数的确定方法:
①列举法:此法适用于基本事件较少的古典概型;
②列表法:此法适用于从多个元素中选定两个元素的试验,也可看成是坐标法;
③画树状图法:画树状图法是进行列举的一种常用方法,适用于有顺序的问题或较复杂问题中基本事件数的
探求.
6.(2017课标Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的
第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
10 5 10 5
答案 D 本题考查古典概型.
画出树状图如图:
10 2
可知所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率P= = .故选D.
25 5
思路分析 由树状图列出所有的基本事件,可知共有25个,满足题目要求的基本事件共有10个.由古典概型
10 2
概率公式可知所求概率P= = .
25 5
易错警示 本题易因忽略有放回的抽取而致错.
疑难突破 当利用古典概型求概率时,应区分有放回抽取与无放回抽取.有放回抽取一般采用画树状图法列
出所有的基本事件,而无放回抽取一般采用穷举法.
7.(2016课标Ⅰ文,3,5分)为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的
2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
1 1 2 5
A. B. C. D.
3 2 3 6
答案 C 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、
(白紫),共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种,所以所
4 2
求事件的概率P= = ,故选C.
6 3
解后反思 从4种颜色的花中任选2种共有6种情况,不重不漏地列举出所有情况是解题关键.
评析 本题主要考查了古典概型、不重不漏地将所有情况列举出来是解题关键.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
8.(2016课标Ⅲ文,5,5分)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是M,I,N中的一个字母,
第二位是1,2,3,4,5中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
8 1 1 1
A. B. C. D.
15 8 15 30
答案 C 小敏输入密码后两位的所有可能情况如下:
(M,1),(M,2),(M,3),(M,4),(M,5),
(I,1),(I,2),(I,3),(I,4),(I,5),
(N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种.
1
而能开机的密码只有一种,所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为 .
15
9.(2016北京文,6,5分)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为( )
1 2 8 9
A. B. C. D.
5 5 25 25
答案 B 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊,从中任选2人的所有情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),
(乙,丙),(乙,丁),(乙,戊),(丙,丁),(丙,戊),(丁,戊),
共4+3+2+1=10种.
其中甲被选中的情况有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(甲,戊),共4种,
4 2
故甲被选中的概率为 = .故选B.
10 5
易错警示 在列举基本事件时要不重不漏,可画树状图:
评析 本题考查古典概型,属中档题.
10.(2015课标Ⅰ文,4,5分)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.
从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
3 1 1 1
A. B. C. D.
10 5 10 20
答案 C 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数有10种取法:(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),
1
(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),其中能构成一组勾股数的有1种:(3,4,5),故所求事件的概率P= ,故选C.
10
11.(2015广东文,7,5分)已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次
品的概率为( )
A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
答案 B 记3件合格品分别为A,A,A,2件次品分别为B,B,从5件产品中任取2件,有(A,A),(A,A),
1 2 3 1 2 1 2 1 3
(A,B),(A,B),(A,A),(A,B),(A,B),(A,B),(A,B),(B,B),共10种可能.其中恰有一件次品有6种可能,由古
1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2 1 2
6
典概型概率公式得所求事件概率为 =0.6.选B.
10
12.(2014课标Ⅰ理,5,5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学
参加公益活动的概率为( )
1 3 5 7
A. B. C. D.
8 8 8 8
答案 D 由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况,而4位同学都选
周六有1种情况,4位同学都选周日有1种情况,故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P=
24−1−1=14=7,故选D.
24 16 8
13.(2014陕西文,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形
边长的概率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B 设正方形的四个顶点分别是A、B、C、D,中心为O,从这5个点中,任取两个点的事件分别为
AB、AC、AD、AO、BC、BD、BO、CD、CO、DO,共有10种,其中只有顶点到中心O的距离小于正方形
4 2
的边长,分别是AO、BO、CO、DO,共有4种.故满足条件的概率P= = .故选B.
10 5
评析 本题考查古典概型知识,考查分析问题及阅读理解的能力.理解只有顶点到中心的距离小于边长是解
题的关键.
14.(2013课标Ⅰ文,3,5分)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
2 3 4 6
答案 B 从1,2,3,4中任取2个不同的数,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,取出的2个数
1
之差的绝对值为2的有(1,3),(2,4)2种结果,概率为 ,故选B.
3
15.(2012安徽文,10,5分)袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球、2个白球和3个黑球.从
袋中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( )北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
1 2 3 4
A. B. C. D.
5 5 5 5
答案 B 将同色小球编号.从袋中任取两球,所有基本事件为(红,白 ),(红,白 ),(红,黑 ),(红,黑 ),(红,黑 ),(白
1 2 1 2 3
,白 ),(白 ,黑 ),(白 ,黑 ),(白 ,黑 ),(白 ,黑 ),(白 ,黑 ),(白 ,黑 ),(黑 ,黑 ),(黑 ,
1 2 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 2 1
6 2
黑 ),(黑 ,黑 ),共有15个基本事件,而一白一黑的共有6个,故所求概率P= = .故选B.
3 2 3
15 5
评析 本题主要考查古典概型概率的求解,同时考查了列举法.
16.(2011课标文,6,5分)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的
可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4
答案 A 甲、乙两人都有3种选择,共有3×3=9种情况,甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况.∴甲、
3 1
乙两人参加同一兴趣小组的概率P= = ,故选A.
9 3
评析 本题主要考查古典概型的概率运算,属容易题.
17.(2011浙江文,8,5分)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的
概率是( )
1 3 3 9
A. B. C. D.
10 10 5 10
答案 D 解法一(直接法):所取3个球中至少有1个白球的取法可分为互斥的两类:两红一白有6种取法,一
9
红两白有3种取法,而从5个球中任取3个球的取法共有10种,所以所求概率为 ,故选D.
10
解法二(间接法):至少有一个白球的对立事件为所取3个球中没有白球,即只有3个红球,共1种取法,故所求
1 9
概率为1- = ,故选D.
10 10
18.(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每
次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝
1
对值不大于 的概率为 .
2
7
答案
16 15北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
解析 记取出的三个球上的数字依次为a、b、c,a,b,c=1,2,3,4,5,6,a≠b≠c,则从中无放回地随机取
三次的所有数字情况共有 =120种.
A3
6
由|m-n|=|a+b a+b+c|≤1,
-
2 3 2
得|a+b-2c|≤3,即-3≤a+b-2c≤3,
∴-3+2c≤a+b≤3+2c.
当c=6时,9≤a+b≤15,则(a,b)的所有可能为(4,5),(5,4),共2种;
当c=5时,7≤a+b≤13,则(a,b)的所有可能为(1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(3,4),(4,3),(4,6),(6,4),共10
种;
当c=4时,5≤a+b≤11,则(a,b)的所有可能为(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(2,6),(6,2),(3,5),
(5,3),(3,6),(6,3),(5,6),(6,5),共16种;
当c=3时,3≤a+b≤9,则(a,b)的所有可能为(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,4),(4,2),(2,5),
(5,2),(2,6),(6,2),(4,5),(5,4),共16种;
当c=2时,1≤a+b≤7,则(a,b)的所有可能为(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3),共10
种;
当c=1时,-1≤a+b≤5,则(a,b)的所有可能为(2,3),(3,2),共2种.
故满足条件的a,b,c共有2+10+16+16+10+2=56种.
1 56 7
∴m与n之差的绝对值不大于 的概率P= = .
2 120 15
19.(2022全国甲理,15,5分)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 .
6
答案
35
解析 从正方体的8个顶点中任选4个顶点,共有 =70种选法,其中4个点在同一平面的选法共12种,即
C4
8
12 6
选正方体的 6 个表面和 6 个对角面的 4 个顶点 ,根据古典概型概率公式知所求概率P= = .
70 35
20.(2022全国乙,理13,文14,5分,应用性)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙
都入选的概率为 .
3
答案
10北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
解析 设“甲、乙都入选”为事件A,从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作包含的基本事件
有 C3个,事件A包含的基本事件有 C1个,所以P(A)=
C1
3= 3 .
5 3 C3 10
5
21.(2016四川文,13,5分)从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logb为整数的概率是 .
a
1
答案
6
解析 所有的基本事件有(2,3),(2,8),(2,9),(3,2),(3,8),(3,9),(8,2),(8,3),(8,9),(9,2),(9,3),(9,8),共12个.
记“logb为整数”为事件A,
a
则事件A包含的基本事件有(2,8),(3,9),共2个.
2 1
∴P(A)= = .
12 6
易错警示 对a,b取值时要注意顺序.
评析 本题考查了古典概型.正确列举出基本事件是解题的关键.
22.(2014课标Ⅰ文,13,5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的
概率为 .
2
答案
3
解析 设2本不同的数学书为a、a,1本语文书为b,在书架上的排法有aab,aba,aab,aba,baa,baa,共6
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1
4 2
种,其中2本数学书相邻的有aab,aab,baa,baa,共4种,因此2本数学书相邻的概率P= = .
1 2 2 1 1 2 2 1
6 3
23.(2014课标Ⅱ文,13,5分)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则
他们选择相同颜色运动服的概率为 .
1
答案
3
解析 甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种,其中颜色相
3 1
同的有3种,所以所求概率为 = .
9 3
24.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .
1
答案
3
解析 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况.
满足条件的有(2,3),(1,6),共2种情况.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
2 1
故P= = .
6 3
25.(2014浙江文,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖
的概率是 .
1
答案
3
解析 设A为一等奖奖券,B为二等奖奖券,C为无奖奖券,则甲、乙两人抽取的所有可能结果为AB、BA、
2 1
AC、CA、BC、CB,共6种.而甲、乙两人都中奖的情况有AB、BA,共2种.故所求概率为 = .
6 3
26.(2013课标Ⅱ文,13,5分)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是 .
答案 0.2
解析 任取两个不同的数的情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种,其中和为5
2
的有2种,所以所求概率为 =0.2.
10
26.(2018天津文,15,13分)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层
抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人?
(2)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示,现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作.
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”,求事件M发生的概率.
解析 本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式
等基本知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
(1)由已知,甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同
学,因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人,2人,2人.
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},
{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21种.
②由(1),不妨设抽出的7名同学中,来自甲年级的是A,B,C,来自乙年级的是D,E,来自丙年级的是F,G,则从抽
出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5
种.
5
所以,事件M发生的概率P(M)= .
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易错警示 解决古典概型问题时,需注意以下几点:
(1)忽视基本事件的等可能性导致错误;
(2)列举基本事件考虑不全面导致错误;
(3)在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时,一个按有序,一个按无序处理导致错误.
27.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A,A,A 和3个欧洲国家B,B,B 中选择2个国
1 2 3 1 2 3
家去旅游.
(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;
(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A 但不包括B 的概率.
1 1
解析 (1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A,A},{A,A},
1 2 1 3
{A,A},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{B,B},{B,B},{B,B},共
2 3 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 2 1 3 2 3
15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A,A},{A,A},{A,A},共3个,
1 2 1 3 2 3
3 1
则所求事件的概率P= = .
15 5
(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A,B},{A,B},{A,B},
1 1 1 2 1 3
{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},共9个.
2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
包括A 但不包括B 的事件所包含的基本事件有:{A,B},{A,B},共2个,
1 1 1 2 1 3
2
则所求事件的概率P= .
9
方法总结 求古典概型概率的一般步骤:
1.求出所有基本事件的个数n,常用的方法有列举法、列表法、画树状图法;
2.求出事件A所包含的基本事件的个数m;
m
3.代入公式P(A)= 求解.
n
28.(2015天津文,15,13分)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方
法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛.
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数;
(2)将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为A,A,A,A,A,A.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打
1 2 3 4 5 6
比赛.
(i)用所给编号列出所有可能的结果;
(ii)设A为事件“编号为A 和A 的两名运动员中至少有1人被抽到”,求事件A发生的概率.
5 6
解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
(2)(i)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},
1 2 1 3 1 4 1 5
{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},共15种.
1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6
(ii)编号为A 和A 的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},
5 6 1 5 1 6 2 5 2 6
{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},共9种.
3 5 3 6 4 5 4 6 5 6
9 3
因此,事件A发生的概率P(A)= = .
15 5
评析 本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式
等基础知识.考查运用概率、统计知识解决简单实际问题的能力.
29.(2015山东文,16,12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单
位:人)
参加书法社团 未参加书法社团
参加演讲社团 8 5
未参加演讲社团 2 30
(1)从该班随机选1名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中,有5名男同学A,A,A,A,A,3名女同学B,B,B.现从
1 2 3 4 5 1 2 3
这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,求A 被选中且B 未被选中的概率.
1 1
解析 (1)由调查数据可知,既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人,
故至少参加上述一个社团的共有45-30=15人,
15 1
所以从该班随机选1名同学,该同学至少参加上述一个社团的概率为P= = .
45 3
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2
{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},
2 3 3 1 3 2 3 3 4 1
{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},{A,B},
4 2 4 3 5 1 5 2 5 3
共15个.
根据题意,这些基本事件的出现是等可能的.
事件“A 被选中且B 未被选中”所包含的基本事件有:
1 1
{A,B},{A,B},共2个.
1 2 1 3
2
因此A 被选中且B 未被选中的概率为P= .
1 1
15
评析 本题考查随机事件的概率及其计算,考查运算求解能力及应用意识.
30.(2014四川文,16,12分)一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全
相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a,b,c.
