北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3.6 函数与方程及函数的综合应用
基础篇 固本夯基
考点一 函数的零点
1.(2022届辽宁葫芦岛协作校10月第一次考试,7)已知a是函数f(x)=ln x+x2-2的零点,则ea-1+a-5的值为(
)
A.正数 B.0
C.负数 D.无法判断
答案 C
2.(2022届浙江百校联考,3)已知函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象为连续不断的一条曲线,则“f(a)·f(b)<0”是
“函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
{2√x,0≤x≤1,
3.(2019天津文,8,5分)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=-1x+a(a∈R)恰有两个互异的
1
,x>1. 4
x
实数解,则a的取值范围为( )
A.[5 9] B.(5 9]
, ,
4 4 4 4
C.(5 9]∪{1} D.[5 9]∪{1}
, ,
4 4 4 4
答案 D
{
x,x<0,
4.(2019浙江,9,4分)设a,b∈R,函数f(x)= 若函数y=f(x)-ax-b恰有3个零
1 1
x3- (a+1)x2+ax,x≥0.
3 2
点,则 ( )
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A.a<-1,b<0 B.a<-1,b>0
C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0
答案 C
5.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象有且只有一个交点,则正
实数m的取值范围是( )
A.(0,1]∪[2√3,+∞) B.(0,1]∪[3,+∞)
C.(0,√2]∪[2√3,+∞) D.(0,√2]∪[3,+∞)
答案 B
6.(2020长沙明德中学月考,10)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(2+x),当x≤2时, f(x)=xex,若关于x的
方程f(x)=k(x-2)+2有三个不相等的实数根,则实数k的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-e,0)∪(0,e) D.(-e,0)∪(e,+∞)
答案 A
{2x+2,-2≤x≤1,
7.(多选)(2021沈阳市郊联体一模,12)已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=m恰有两个
lnx-1,1<x≤e,
不同解x,x(x<x),则(x-x)f(x)的取值可能是( )
1 2 1 2 2 1 2
A.-3 B.-1 C.0 D.2
答案 BC
8.(2022届河北秦皇岛青龙高中测试,8)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且当x<0时,函数f(x)=xex+1,若
关于x的函数F(x)=[f(x)]2-(a+1)f(x)+a恰有2个零点,则实数a的取值范围为( )
A.( 1)
-∞,1-
e
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.( 1 )∪( 1 )
-1, -1 1- ,1
e e
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
答案 C
9.(2022届广东肇庆一中月考,14)若函数f(x)=x2-ax+1在区间(1 )上有零点,则实数a的取值范围是
,3
2
.
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答案 [ 10)
2,
3
10.(2021福建三明三模,15)函数f(x)=ln x+2x-6零点的一个近似值为 .(误差不超过0.25,自然对数的
底数e≈2.72)
答案 2.45(可填(2.36,2.54)中的任一实数)
考点二 函数模型及应用
1.(2022届辽宁葫芦岛协作校10月月考,8)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》,文化娱乐场所室内
甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂,处于良好的通风环
境下时,竣工1周后室内甲醛浓度为6.25 mg/m3,3周后室内甲醛浓度为1 mg/m3,且室内甲醛浓度ρ(t)(单
位:mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N*)(单位:周)近似满足函数关系式ρ(t)=eat+b,则该文化娱乐场所
竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准,至少需要放置的时间为( )
A.5周 B.6周 C.7周 D.8周
答案 B
2.(2022届广东珠海二中10月月考,6)衣柜里的樟脑丸,随着时间的推移会因挥发而使体积缩小,刚放进去的
4
新丸体积为a,经过t天后体积V与天数t的关系式为V=a·e-kt.已知新丸经过50天后,体积变为 a,若一个新
9
8
丸体积变为 a,则需经过的天数为( )
27
A.125 B.100 C.75 D.150
答案 C
3.(2020课标Ⅲ理,4,5分)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建
K
立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)= ,其中K为最大确
1+e-0.23(t-53)
诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3)( )
A.60 B.63 C.66 D.69
答案 C
4.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感
0
染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模
型:I(t)=ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律,指数增长率r与R,T近似满足R=1+rT.有学
0 0
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者基于已有数据估计出R=3.28,T=6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约
0
为(ln 2≈0.69)( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
答案 B
5.(2019北京,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m-m=
2 1
5lg E
1
,其中星等为m
k
的星的亮度为E
k
(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼
2 E
2
星的亮度的比值为 ( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
答案 A
6.(2019课标Ⅱ理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航
天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.
为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 点的轨道运行.L 点是平衡
2 2
点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M,月球质量为M,地月距离为R,L 点到月球的距离为r,根据牛
1 2 2
顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:
M M M
1 + 2=(R+r) 1.
(R+r) 2 r2 R3
设α=r .由于α的值很小,因此在近似计算中 3α3+3α4+α5 ≈3α3,则r的近似值为( )
R (1+α) 2
A.√M 2R B.√ M 2 R
M 2M
1 1
C.√ 3 3M 2R D.√ 3 M 2 R
M 3M
1 1
答案 D
7.(2021江苏联考二,6)香农定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香农公式C=Blog 2(
1+
S )来表示,
N
其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量,B是信道带宽(Hz),S是平均信号功率(W),N是平均噪声功率
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(W).已知平均信号功率为1 000 W,平均噪声功率为10 W,在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下,要
使信道容量增大到原来的2倍,则平均噪声功率约降为( )
A.0.1 W B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W
答案 A
8.(2020北京,15,5分)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企
f(b)-f(a)
业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用- 的大小评价在[a,b]这段
b-a
时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.
给出下列四个结论:
①在[t,t]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
1 2
②在t 时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强;
2
③在t 时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标;
3
④甲企业在[0,t],[t,t],[t,t]这三段时间中,在[0,t]的污水治理能力最强.
1 1 2 2 3 1
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②③
9.(2020山东菏泽一中2月自测)2019年7月,中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录,标志着中华五千年文
明史得到国际社会认可,良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例,实证了中华五千年文明史,考古科学家在
测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间
-t
t(单位:年)的衰变规律满足N=N· (N 表示碳14原有的质量),则经过5 730年后,碳14的质量变为原来
0 25 730 0
3 1
的 ;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的 至 ,据此推测良渚古城存在的时期
7 2
距今约在5 730年到 年之间.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 7≈0.85,lg 3≈0.48)
1
答案 ;7 067
2
10.(2022届百师联盟9月一轮复习联考,19)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以
及人口老龄化进程加快等因素的影响,医疗器械市场近年来一直保持持续增长的趋势.某医疗器械公司为了
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进一步增加市场竞争力,计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为
{
2x2+80x,0<x≤40,
100台.每生产x台,需另投入成本G(x)万元,且G(x)= 由市场调
3 600
201x+ -2 100,40<x≤100.
x
研知,该产品每台的售价为200万元,且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式(利润=销售收入-成本);
(2)当该产品的年产量为多少时,公司所获利润最大?最大利润是多少?
解析 (1)当0<x≤40时,W(x)=200x-(2x2+80x)-300=-2x2+120x-300,
当40<x≤100时,W(x)=200x-( 3 600 )-300=-( 3 600)+1 800,
201x+ -2 100 x+
x x
{-2x2+120x-300,0<x≤40,
所以W(x)=
( 3 600)
- x+ +1 800,40<x≤100.
x
(2)当0<x≤40时,W(x)=-2(x-30)2+1 500,
当x=30时,W(x) =1 500.
max
当40<x≤100时,W(x)=-( 3 600)+1 800≤-120+1 800=1 680,
x+
x
3 600
当且仅当x= ,即x=60时,W(x) =1 680.
max
x
则该产品的年产量为60台时,公司所获利润最大,最大利润是1 680万元.
11.(2022届山东烟台期中,19)首届中国(宁夏)国际葡萄酒文化旅游博览会于2021年9月25—27日在银川举
办,183家酒庄、企业携各类葡萄酒、葡萄酒加工机械设备、酒具等葡萄酒产业相关产品亮相.某酒庄带来
了2021年葡萄酒新品参展,供采购商洽谈采购,并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本为40万
元,每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x万箱且全部售完,每万箱的销售收入为H(x)
{
280-3x,0<x≤20,
万元,且H(x)= 3 000(x-1)
90+ ,x>20.
x(x+2)
(1)写出年利润M(x)(万元)关于年产量x(万箱)的函数解析式;(利润=销售收入-成本)
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(2)年产量为多少万箱时,该酒庄的利润最大?并求出最大利润.
解析 (1)当0<x≤20时,M(x)=xH(x)-100x-40=x(280-3x)-100x-40=-3x2+180x-40,
3 000(x-1) 3 000(x-1)
当x>20时,M(x)=xH(x)-100x-40=90x+ -100x-40=-10x+ -40,
x+2 x+2
{-3x2+180x-40,0<x≤20,
所以M(x)=
3 000(x-1)
-10x+ -40,x>20.
x+2
(2)当0<x≤20时,M(x)=-3x2+180x-40=-3(x-30)2+2 660,M(x)在(0,20]上单调递增,所以当x=20
时,M(x) =M(20)=2 360.
max
3 000(x-1) 3 000(x+2)-9 000 9 000
当x>20时,M(x)=-10x+ -40=-10x+ -40=-10x- +2
x+2 x+2 x+2
960=-10·[ 900 ]+2 980≤-20√ 900 +2 980=2 380.
(x+2)+ (x+2)·
x+2 x+2
900
当且仅当x+2= ,即x=28时,M(x)取最大值2 380.
x+2
因为2 380>2 360,所以当x=28时,M(x)取最大值2 380.
答:当年产量为28万箱时利润最大,最大利润为2 380万元.
12.(2022届山东济宁兖州期中,20)习总书记指出:“绿水青山就是金山银山”.某市一乡镇响应号召,因地制宜
将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某水果树的单株产量U(单位:千克)与施用发酵有机
{x2+3,0≤x≤2,
肥费用30x(单位:元)满足如下关系:U(x)= 这种水果树单株的其他成本总投入为100元.已
10x
,2<x≤5,
1+x
知该水果的市场售价为75元/千克,且销路畅通供不应求,记该种水果树的单株利润为f(x)(单位:元).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当投入的发酵有机肥费用为多少元时,该种水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少?
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{75x2-30x+125,0≤x≤2,
解析 (1)由题意得f(x)=75U(x)-30x-100,即f(x)= 化简得f(x)=
750x
-30x-100,2<x≤5,
1+x
{75x2-30x+125,0≤x≤2,
750
650- -30x,2<x≤5.
1+x
1
(2)当0≤x≤2时, f(x)=75x2-30x+125图象的对称轴为直线x= ,所以f(x) =f(2)=365;
max
5
当2<x≤5时, f(x)=680-30( 25 )≤680-60 =380,当且仅当 25 =1+x,即x=4时取等号.
+1+x √25
1+x 1+x
综上,当投入的发酵有机肥费用为30×4=120元时,该种水果树单株获得的利润最大,为380元.
13.(2022届山东德州一中期中,20)某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元,每生产x千件,需另投入成
1 7 200
本C(x)万元,当年产量不足50千件时,C(x)= x2+10x,当年产量不小于50千件时,C(x)=52x+ -1 200,
2 x+1
已知每千件商品售价为50万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;
(2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
解析 (1)当0<x<50时,L(x)=50x-(1 x2+10x )-200=-1x2+40x-200,
2 2
当x≥50时,L(x)=50x-52x-7 200+1 200-200=1 000-( 7 200),
2x+
x+1 x+1
1
{- x2+40x-200,0<x<50,
2
所以L(x)=
( 7 200)
1 000- 2x+ ,x≥50.
x+1
1 1
(2)当0<x<50时,L(x)=- x2+40x-200=- (x-40)2+600,
2 2
当x=40时,L(x)取得最大值,L(x) =600,
max
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当x≥50时,L(x)=1 000-( 7 200),其中2x+7 200=2(x+1)+7 200-2≥2√ 7 200
2x+ 2(x+1)·
x+1 x+1 x+1 x+1
7 200
-2=238,当且仅当2(x+1)= ,即x=59时,等号成立,
x+1
所以L(x)=1 000-( 7 200)≤1 000-238=762.
2x+
x+1
因为600<762,所以当年产量为59千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大,为762万元.
综合篇 知能转换
A组
考法一 判断函数零点所在区间和零点的个数
2
1.(2020江苏如皋中学期末,2)函数f(x)=ln x- +1的零点所在的大致区间是( )
x
A.(2,e) B.(1,2) C.(e,3) D.(3,+∞)
答案 B
2.(多选)(2021山东日照一模,11)已知函数f(x)对于任意x∈R,均满足f(x)=f(2-x).当x≤1时, f(x)=
{lnx,0<x≤1,若函数g(x)=m|x|-2-f(x),则下列结论正确的为(
)
ex,x≤0,
A.若m<0,则g(x)恰有两个零点
3
B.若 <m<e,则g(x)有三个零点
2
3
C.若0<m≤ ,则g(x)恰有四个零点
2
D.不存在m使得g(x)恰有四个零点
答案 ABC
3.(多选)(2021湖南衡阳联考(一),12)已知函数f(x)=esin|x|+e|sin x|,以下结论正确的是( )
A. f(x)是偶函数
B. f(x)的最小值为2
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C. f(x)在区间( π)上单调递减
-π,-
2
2
D.g(x)=f(x)- x的零点个数为5
π
答案 ABD
4.(多选)(2021山东枣庄三中月考一)已知函数f(x)={kx+1,x≤0,
下列是函数y=f(f(x))+1的零点个数的4
log x,x>0,
2
个判断,其中正确的是( )
A.当k>0时,有3个零点
B.当k<0时,有2个零点
C.当k>0时,有4个零点
D.当k<0时,有1个零点
答案 CD
5.(2021北京,15,5分)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论:
①当k=0时, f(x)恰有2个零点;
②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点;
③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点;
④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
考法二 已知函数有零点(方程有根)求参数值(或取值范围)
1.(2017课标Ⅲ,文12,理11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )
1 1 1
A.- B. C. D.1
2 3 2
答案 C
2.(2022届河北保定重点高中月考,11)已知函数f(x)={ ex,x≥0, 若关于x的方程f 2(x)+f(x)+t=0有三
lg(-x),x<0,
个不同的实根,则t的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[1,+∞)
C.[-2,1] D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
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答案 A
3.(2022届山东学情10月联考,8)已知函数f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,当x>0时, f(x)=
{e|x-2|-1,0<x≤4,
若函数g(x)=af(x)-e2+1的零点个数为8,则a的取值范围为( )
1
f(x-4),x>4,
2
A.{a|1<a<2} B.{a|2<a<4} C.{a|2≤a≤4} D.{a|2≤a<4}
答案 B
4.(多选)(2022届重庆八中摸底,12)已知函数f(x)=x2+2x-7,则下列结论正确的是(
)
ex
A.函数f(x)有极小值
B.曲线f(x)在x=0处的切线与直线9y-x+1=0垂直
C.若f(x)=k有三个实根,则k的取值范围为( -4e2, 8 )
e3
8
D.若x∈[0,t]时, f(x) = ,则t的最小值为3
max e3
答案 AD
5.(2020天津,9,5分)已知函数f(x)={x3,x≥0,若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范
-x,x<0.
围是( )
A.( 1)∪(2 ,+∞)
-∞,- √2
2
B.( 1)∪(0,2 )
-∞,- √2
2
C.(-∞,0)∪(0,2√2)
D.(-∞,0)∪(2√2,+∞)
答案 D
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6.(2020河北新时代NT教育模拟自测)已知函数f(x)={|lnx|,x>0,
若f(x)=kx有两个不等实根,则实
x2+2x+2,x≤0,
数k的取值范围是( )
1
A.2-2√2<k<0或k= B.k<2-2√2
e
1
C.2-2√2<k<0 D.k<2-2√2或k=
e
答案 D
{a,a-b≤1,
7.(2022届福建永安三中10月月考,16)对于实数a和b,定义运算“⊗”,a⊗b= 函数f(x)=(x2-
b,a-b>1,
2)⊗(x-x2),若函数y=f(x)-c恰有两个零点,则实数c的取值范围是 .
答案 (-∞,-2]∪( 3)
-1,-
4
8.(2021济南十一学校联考,16)如果两个函数存在零点,分别为α,β,且满足|α-β|<n,则称两个函数互为“n度零
点函数”.若f(x)=ln(x-2),g(x)=ax2-ln x互为“2度零点函数”,则实数a的取值范围为 .
答案 ( 1 ]
0,
2e
B组
1.(多选)(2022届湖北京山、安陆等百校联考10月月考,11)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)+f(-x)=0,
f(x+1)+f(3-x)=0,当0<x<2时, f(x)=x2-2x,则( )
A.f(x)=f(x+8)
B.f(x)的图象关于直线x=2对称
C.当4<x≤6时, f(x)=x2-10x+24
D.函数y=f(x)-lg x2有4个零点
答案 ACD
{ x+2,x≤0,
2.(多选)(2022届广东深圳外国语学校月考,10)已知函数f(x)= 方程f 2(x)-mf(x)-1=0有4个
|lgx|,x>0,
不同的实数根,则下列选项正确的是( )
A.函数f(x)的零点的个数为2
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B.实数m的取值范围为( 3]
-∞,
2
C.函数f(x)无最值
D.函数f(x)在(0,+∞)上单调递增
答案 ABC
3.(多选)(2022届广东阳江阳春一中月考,13)已知函数f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,对任意x∈R,都有f(1-
x)=f(1+x)成立,且当x≠x,x,x∈[0,1]时,都有(x-x)·[f(x)-f(x)]>0,则下列结论正确的有( )
1 2 1 2 1 2 1 2
A.f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)+f(2 020)=0
B.函数y=f(x+5)为偶函数
C.函数f(x)在[-2 020,0]上有1 011个零点
D.函数f(x)在[2 020,2 021]上为减函数
答案 ABC
{|log x|,0<x≤2,
4.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,15)已知函数f(x)= 2 函数g(x)=f(x)-a有四个
(x-3) 2,x>2,
不同零点,则这四个零点之积的取值范围是 .
答案 (8,9)
{-x2+4x,x≤4,
5.(2022届湖北京山、安陆等百校联考10月月考,16)设函数f(x)= 关于x的方程
|log (x-4)|,x>4,
2
1
f(x)=t有四个实根x,x,x,x(x<x<x<x),则x+x+x+ x 的最小值为 .
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
4
答案 10
应用篇 知行合一
应用 函数模型的实际应用
1.(2022届山东潍坊安丘等三县10月测试,6)某投资机构从事一项投资,先投入本金a(a>0)元,得到的利润是
b
b(b>0)元,收益率为 (%),假设在第一次投资的基础上,此机构每次都定期追加投资x(x>0)元,得到的利润也增
a
加了x元,若使得该项投资的总收益率是增加的,则( )
A.a≥b B.a≤b
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C.a>b D.a<b
答案 C
2.(2022届山东德州期中,6)声音大小(单位为分贝)取决于声波通过介质时,所产生的压力变化(简称声压,单位
为N/m2).已知声音大小y与声压x的关系式为y=10×lg( x ) 2 ,且根据我国《城市区域环境噪音标
2×10-5
准》规定,在居民区内,户外白昼噪声容许标准为50分贝,夜间噪声容许标准为40分贝,则居民区内,户外白昼
噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的( )
A.√10倍 B.2√10倍
C.10倍 D.20倍
答案 A
3.(2022届山东鱼台一中月考,21)某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k m2),这些凤眼
莲在湖中的蔓延速度越来越快,二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2,三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36
m2,凤眼莲的覆盖面积y(单位:m2)与月份x(单位:月)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=p 1
x2
+k(p>0,k>0)可供选择.
(1)试判断哪个函数模型更适合,并求出该模型的解析式;
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477
1)
解析 (1)函数y=kax(k>0,a>1)与y=p 1 +k(p>0,k>0)在(0,+∞)上都是增函数,随着x的增加,函数
x2
y=kax(k>0,a>1)的值增加得越来越快,而函数y=p 1 +k的值增加得越来越慢,由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越
x2
来越快,因此选择模型y=kax(k>0,a>1)符合要求.
根据题意可知当x=2时,y=24;
32
{k= ,
当x=3时,y=36,所以{ka2=24,解得 3 故该函数模型的解析式为y=32·(3) x ,1≤x≤12,x∈N*.
ka3=36, 3 3 2
a= .
2
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lg10
32 32 (3) x 32 (3) x g
(2)元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 m2,由 · >10× ,得 >10,∴x>lo 310= 3=
3 3 2 3 2 2 lg
2
1
≈5.7,∵x∈N*,∴x≥6.即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份.
lg3-lg2
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