北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题综合练
3
1.(2024农大附中月考,7)函数f(x)= x2-27ln x在区间[1,2]上的最大值是 ( )
2
1
A.0 B.
2
3
C.1 D.
2
答案 D
2.(2025届北京大峪中学开学定位考试,9)函数f(x)是定义在(-4,4)上的偶函数,其图象如
图所示,f(3)=0.设f'(x)是f(x)的导函数,则关于x的不等式f(x+1)·f'(x)≥0的解集是 (
)
A.[0,2] B.[-3,0]∪[3,4)
C.(-5,0]∪[2,4) D.(-4,0]∪[2,3)
答案 D
1
3.(2024北京市中关村中学开学考试,10)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在R上单调递增,
3
则a的取值范围是 ( )
[ 1]
A.[-1,1] B. -1,
3
[ 1 1] [ 1]
C. - , D. -1,-
3 3 3
答案 C
4.(2025届北京一零一中学开学测试,10)已知M={α|f(α)=0},N={β|g(β)=0},若存在
α∈M,β∈N,使得|α-β|<n,则称函数f(x)与g(x)互为“n度零点函数”.若f(x)=32-x-1与
g(x)=x2-aex互为“1度零点函数”,则实数a的取值范围为 ( )
( 1 4] (1 4 ]
A. , B. ,
e2 e e e2
[ 4 2) [ 4 2 )
C. , D. ,
e2 e e3 e2
答案 B
5.(2024北京一零一中学统考一,15)已知函数f(x)=x2-2x+2t,g(x)=ex-t.给出下列四个结论:
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①当t=0时,函数y=f(x)g(x)有最小值;
②∃t∈R,使得函数y=f(x)g(x)在区间[1,+∞)上单调递增;
③∃t∈R,使得函数y=f(x)+g(x)没有最小值;
④∃t∈R,使得方程f(x)+g(x)=0有两个根且两根之和小于2.
其中所有正确结论的序号是 .
答案 ①②④
6.(2024北京陈经纶中学月考,20)已知函数f(x)=ex-ax+cos x-2.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)当a>1时,判断f(x)在(0,+∞)上零点的个数,并说明理由.
解析 (1)f'(x)=ex-a-sin x,
所以f'(0)=e0-a-sin 0=1-a,
又f(0)=e0-0+cos 0-2=0,
所以切线方程为y-0=(1-a)(x-0),即y=(1-a)x.
故曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=(1-a)x.
(2)若f(x)在(0,+∞)上单调递增,
则f'(x)=ex-a-sin x≥0在(0,+∞)上恒成立,
即a≤ex-sin x恒成立.
令g(x)=ex-sin x,x∈(0,+∞),
则g'(x)=ex-cos x,x∈(0,+∞).
显然在x∈(0,+∞)上,y=ex>e0=1,而y=cos x≤1恒成立,所以g'(x)=ex-cos x>0在
x∈(0,+∞)上恒成立,
即g(x)=ex-sin x在x∈(0,+∞)上单调递增,
所以g(x)>g(0)=1.所以a≤1,
所以实数a的取值范围为(-∞,1].
(3)令f(x)=ex-ax+cos x-2=0,得ex+cos x=ax+2.
设m(x)=ex+cos x,x∈(0,+∞),m'(x)=ex-sin x>0在(0,+∞)上恒成立,
即m(x)在(0,+∞)上单调递增,如图:
函数y=ax+2的图象恒过点(0,2),且m(0)=e0+cos 0=2,
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易知m'(0)=e0-sin 0=1,所以曲线m(x)在(0,2)处的切线方程为y=x+2.
又a>1,所以直线y=ax+2(图中虚线)在(0,+∞)内恒在直线y=x+2(图中实直线)的上方.
所以由图知函数y=ax+2与m(x)=ex+cos x的图象在(0,+∞)范围内仅有一个交点,
即函数f(x)在(0,+∞)内仅有一个零点.
7.(2025届北京市回民学校统测一,21)已知函数f(x)=xln(2x+1)-ax2.
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)当a<0时,求证:函数f(x)存在极小值.
2x
解析 (1)f'(x)=ln(2x+1)+ -2ax,
2x+1
所以f'(0)=0,又f(0)=0,
所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=0.
( 1 )
(2)证明:函数f(x)的定义域为 - ,+∞ ,
2
2x
由(1)知,f'(x)=ln(2x+1)+ -2ax,且a<0,
2x+1
1 2x
当- <x<0时,ln(2x+1)<0, <0,-2ax<0,
2 2x+1
( 1 )
所以f'(x)<0,即函数f(x)在 - ,0 上单调递减,
2
2x
当x>0时,ln(2x+1)>0, >0,-2ax>0,
2x+1
所以f'(x)>0,即函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以当x=0时,函数f(x)取极小值.
综上,当a<0时,函数f(x)存在极小值.
1
8.(2025届海淀期中,20)已知函数f(x)=aln(x-a)+ x2-(2a+1)x,a>0.
2
(1)若f(x)在x=4处取得极大值,求f(4)的值;
(2)求f(x)的零点个数.
解析 (1)f(x)的定义域为(a,+∞).
a x2-(3a+1)x+2a2+2a (x-2a)[x-(a+1)]
f'(x)= +x-(2a+1)= = .
x-a x-a x-a
因为4是f(x)的极大值点,
所以f'(4)=0,即(4-2a)(3-a)=0,解得a=2或a=3,
①当a=2时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x (2,3) 3 (3,4) 4 (4,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
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f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
此时,4是f(x)的极小值点,不符合题意;
②当a=3时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x (3,4) 4 (4,6) 6 (6,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
此时4是f(x)的极大值点,符合题意.
因此a=3,此时f(4)=-20.
(2)①当0<a<1时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x (a,2a) 2a (2a,a+1) a+1 (a+1,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
f(2a)=aln a-2a2-2a<0,所以x∈(a,a+1]时,f(x)<0,
又f(4a+2)=aln(3a+2)>0,所以f(x)在(a+1,+∞)上有且仅有一个零点,
故f(x)的零点个数是1.
②当a=1时,对任意x>1,f'(x)≥0,f(x)在(1,+∞)上单调递增,
又f(2)=-4<0,f(6)=ln 5>0,所以由函数零点存在定理知,f(x)有1个零点,
故f(x)的零点个数是1.
③当a>1时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表:
x (a,a+1) a+1 (a+1,2a) 2a (2a,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
( 3 1)
f(a+1)= - a- (a+1)<0,所以x∈(a,2a]时,f(x)<0,
2 2
又f(4a+2)=aln(3a+2)>0,所以f(x)在(2a,+∞)上有且仅有1个零点,
因此f(x)的零点个数是1.
综上,当a>0时,f(x)的零点个数是1.
9.(2025届理工大附中开学测试,20)已知函数f(x)=x-ln(x+a),其中a>0.
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)的极小值为0,求a的值;
(3)在(2)的条件下,若对任意的x∈[0,+∞),f(x)≤kx2成立,求实数k的最小值.
1
解析 (1)当a=2时,f(x)=x-ln(x+2),则f'(x)=1- ,
x+2
1
故f'(-1)=1- =0,又f(-1)=-1,
-1+2
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所以曲线y=f(x)在点(-1,f(-1))处的切线方程为y=-1.
1 x+a-1
(2)f'(x)=1- = (x>-a),
x+a x+a
当-a<x<1-a时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x>1-a时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故当x=1-a时,
f(x)取极小值,
故f(1-a)=1-a-ln 1=0,所以a=1.
(3)由(2)知a=1,故f(x)=x-ln(x+1),
若∀x∈[0,+∞),f(x)≤kx2成立,则只需∀x∈[0,+∞),kx2+ln(x+1)-x≥0,
令g(x)=kx2+ln(x+1)-x,
[ ( 1 )]
2kx x- -1
则g'(x)=2kx+ 1 x(2kx+2k-1) 2k ,
-1= =
x+1 x+1 x+1
1
①当k<0时, -1<0,2k<0,
2k
故当x>0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
g(x)<g(0)=0,不符合题意.
-x
②当k=0时,g'(x)= ,故当x>0时,g'(x)<0,g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,不符合题意.
x+1
1 1
③当0<k< 时, -1>0,
2 2k
1
故当0<x< -1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
2k
1
当x> -1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
2k
1
故当x= -1时,g(x)取极小值也是最小值,
2k
( 1 )
g(x) =g -1 <g(0)=0,不符合题意.
min 2k
1 1
④当k≥ 时,此时 -1<0,
2 2k
故当x>0时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
g(x)>g(0)=0,符合题意.
1 1
综上,k≥ ,所以实数k的最小值为 .
2 2
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