北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
9.6 抛物线及其性质
五年高考
1.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的
距离为5,则|MF|= ( )
A.7 B.6 C.5 D.4
答案 D
2.(2020北京,7,4分,中)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P是抛物线上异于O的
一点,过P作PQ⊥l于Q,则线段FQ的垂直平分线 ( )
A.经过点O B.经过点P
C.平行于直线OP D.垂直于直线OP
答案 B
3.(2024北京,11,5分,易)抛物线y2=16x的焦点坐标为 .
答案 (4,0)
4.(2021北京,12,5分,中)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于
点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ; MNF的面积为 .
答案 5;4√5
△
5.(2019北京理,18,14分,难)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).
(1)求抛物线C的方程及其准线方程;
(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线
y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
解析 (1)由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其
准线方程为y=1.
{y=kx-1,
(2)证明:抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).由 得
x2=-4 y
y
x2+4kx-4=0.设M(x ,y ),N(x ,y ),则x x =-4,直线OM的方程为y= 1 x.令y=-1,得点A的
1 1 2 2 1 2 x
1
x x
横坐标x =- 1 .同理得点B的横坐标x =- 2 .设点D(0,n),则
A y B y
1 2
x x
1 2
x x x x
( ) ( )
⃗DA= - 1 ,-1-n ,⃗DB= - 2 ,-1-n ,所以⃗DA·⃗DB= 1 2 +(n+1)2=( x2 )( x2 )+
y y y y - 1 - 2
1 2 1 2
4 4
16
(n+1)2= +(n+1)2=-4+(n+1)2.令⃗DA·⃗DB=0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.
x x
1 2
综上,以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)和(0,-3).
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三年模拟
基础强化练
1.(2023海淀一模,4)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P在该抛物线上,且P的横坐标为
4,则|PF|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 D
x2
2.(2024北京市中关村中学开学考试,5)若抛物线y2=2px的焦点与双曲线 -y2=1的右焦
3
点重合,则p的值为 ( )
A.4 B.2 C.√2D.2√2
答案 A
3.(2025届海淀精华学校入学考试(一),3)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,则F到其准线的
距离为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
4.(2025届朝阳期末,3)已知抛物线C:y2=2px(p>0).若其焦点到准线的距离为4,则抛物线
C的焦点坐标为 ( )
A.(-2,0) B.(1,0)
C.(2,0) D.(4,0)
答案 C
5.(2025届海淀期末,4)抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(x ,2√3)在C上,则|PF|= (
0
)
A.2 B.3
C.4 D.5
答案 C
6.(2025届清华附中开学考试,6)已知抛物线x2=4y的焦点为F,点A在抛物线上,|AF|=6,
则线段AF的中点的纵坐标为 ( )
5 7
A. B.
2 2
C.3 D.4
答案 C
7.(2024北京市育英中学统练一,6)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点,交C
的准线于D、E两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C的焦点到准线的距离为 ( )
A.8 B.6
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C.4 D.2
答案 C
8.(2025届西城期末,11)抛物线y2=8x的准线方程为 .
答案 x=-2
9.(2025届房山入学测试,11)抛物线x2=4y的准线方程是 .
答案 y=-1
10.(2025届北师大实验中学统练,11)抛物线y2=2x的焦点坐标为 .
(1 )
答案 ,0
2
11.(2025届海淀精华学校入学考试(二),12)抛物线y2=4x上与焦点距离等于3的点的横坐
标是 .
答案 2
12.(2024北京市八一学校开学考试,14)已知抛物线C的方程为y2=2px(p>0),若倾斜角为
锐角的直线l过抛物线的焦点F,与抛物线交于A,B两点,且|AF|=3|BF|,则直线l的倾斜
角为 .
答案 60°
能力拔高练
1.(2025届北京市回民学校统测一,8)设M是抛物线y2=4x上的一点,F是抛物线的焦点,O
是坐标原点,若∠OFM=120°,则|FM|= ( )
A.5 B.4
C.3 D.2
答案 B
2.(2025届北京八中测试,10)已知抛物线x2=4y,P为直线y=-1上一点,过P作抛物线的两
条切线,切点分别为A,B,则⃗PA·⃗PB的值为( )
A.0 B.1
C.-2 D.-1
答案 A
3.(2024北京交大附中开学考试,8)已知点M(2,0),点P在曲线y2=4x上运动,点F为抛物
|PM|2
线y2=4x的焦点,则 的最小值为( )
|PF|-1
A.√3 B.2(√5-1)
C.4√5 D.4
答案 D
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4.(2024清华附中开学考试,8)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点P是抛物线准线上
一动点,作线段PF的垂直平分线l,则直线l与抛物线公共点个数的可能值构成的集合为
( )
A.{0} B.{1}
C.{0,1} D.{1,2}
答案 B
x2 y2
5.(2024北京四中开学测试,14)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线 -
3 3
=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
答案 6
6.(2025届北京大峪中学开学定位考试,13)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的
直线与该抛物线交于A,B两点,|AB|=10,AB的中点横坐标为4,则p= .
答案 2
1
7.(2025届北京一六六中学阶段测试,14)过抛物线y= x2的焦点F的直线交抛物线于A,B
4
两点,若弦AB中点纵坐标为2,则|AB|= .
答案 6
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