北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
9.4 抛物线及其性质
基础篇
考点一 抛物线的定义及标准方程
17
1.(2022重庆市涪陵高级中学质检,3)抛物线y=4x2上的A点到焦点F的距离为 ,则点
16
A的纵坐标为 ( )
17 1 9
A.1 B. C. D.
16 16 16
答案 A
2.(2022广州花都调研,3)已知抛物线x2=ay的焦点为F,且M(2,1)为抛物线上的点,则|
MF|= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
3.(2022全国乙,理5,文6,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),
若|AF|=|BF|,则|AB|= ( )
A.2 B.2√2C.3D.3√2
答案 B
x2 y2
4.(2019课标Ⅱ,文9,理8,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆 + =1的一个
3p p
焦点,则p= ( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
5.(2022河北邯郸二模,4)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,点B满足
|AB|
⃗OB=5⃗OF(O为坐标原点),且线段AB的中垂线经过点F,则 = ( )
|AF|
√3
A. B.1C.√2D.√3
2
答案 B
6.(2021石家庄3月质检,7)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,MF的延长
线交y轴于点N.若⃗MF=2⃗FN,则|MF|为( )
A.8 B.6 C.4 D.2
答案 A
第 1 页 共 9 页第 1 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
7.(2020课标Ⅰ理,4,5分)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距
离为12,到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3 C.6 D.9
答案 C
8.(2021北京,12,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于
点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ; MNF的面积为 .
答案 5 4√5
△
考点二 抛物线的几何性质
4
1.(2023届辽宁鞍山质量监测,4)抛物线y= x2的焦点坐标为 ( )
3
( 1) (1 )
A. 0, B. ,0
3 3
( 3 ) ( 2)
C. 0, D. 0,
16 3
答案 C
4
2.(2022广东茂名测试,2)抛物线x= y2的焦点坐标为( )
3
(1 ) ( 1) ( 3 ) ( 2)
A. ,0 B. 0, C. ,0 D. 0,
3 3 16 3
答案 C
3.(2021山东枣庄二模,4)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则C的焦点到其准线
的距离为 ( )
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
答案 B
4.(2020课标Ⅲ,文7,理5,5分)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于
D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
(1 ) (1 )
A. ,0 B. ,0 C.(1,0) D.(2,0)
4 2
答案 B
5.(2021辽宁朝阳一模,8)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F与x轴垂直的直线交C
于点M,N,有下列四个命题:
甲:点F的坐标为(1,0);
乙:抛物线C的准线方程为x=-2;
丙:线段MN的长为4;
第 2 页 共 9 页第 2 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
丁:直线y=x+1与抛物线C相切.
如果只有一个命题是假命题,则该命题是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
答案 B
6.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为
C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为
.
3
答案 x=-
2
考点三 直线与抛物线的位置关系
1.(2023届海南琼海嘉积中学月考,6)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,A为抛物线C上
一点,直线AF交抛物线C的准线l于点B,且⃗FA+2⃗FB=0,则|AF|= ( )
10 11
A. B.4C. D.6
3 2
答案 D
2.(2022广东深圳三中检测,7)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于
|BF|
A,B两点,延长FB交准线于点C,若|BC|=2|BF|,则 = ( )
|AF|
1 1 1 2
A. B. C. D.
4 3 2 3
答案 B
3.(多选)(2023届浙江嘉兴一中期中,10)直线l与抛物线y2=2x相交于
A(x ,y ),B(x ,y ),若OA⊥OB,则 ( )
1 1 2 2
A.直线l的斜率为定值
B.直线l过定点
C. OAB面积的最小值为4
D.y y =-4
△1 2
答案 BCD
4.(多选)(2023届湖湘名校教育联合体大联考,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0),直线l与
抛物线C交于A,B两点,且A(x ,y ),B(x ,y ),O为坐标原点,且OA⊥OB,若直线l恒过
1 1 2 2
点(4,0),则下列说法正确的是( )
A.抛物线方程为y2=4x
B.x x =16,y y =-16
1 2 1 2
C. OAB面积的最小值为32
D.弦AB中点的轨迹为一条抛物线
△
第 3 页 共 9 页第 3 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
答案 ABD
5.(多选)(2022山东师大附中开学考试,11)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于
A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是 ( )
1
A.以线段AB为直径的圆与直线x=- 相交
2
B.以线段BM为直径的圆与y轴相切
9
C.当⃗AF=2⃗FB时,|AB|=
2
D.|AB|的最小值为4
答案 ACD
6.(2021济南二模,7)已知抛物线x2=2py(p>0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点
√3 3
(点A在第一象限).若直线AB的斜率为 ,点A的纵坐标为 ,则p的值为 ( )
3 2
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
答案 C
3
7.(2019课标Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为 的直线l与C的交
2
点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若⃗AP=3⃗PB,求|AB|.
3
解析 设直线l:y= x+t,A(x ,y ),B(x ,y ).
2 1 1 2 2
(3 ) 3
(1)由题设得F ,0 ,故|AF|+|BF|=x +x + ,
4 1 2 2
5
由题设可得x +x = .
1 2 2
{ 3
y= x+t,
由 2 可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
y2=3x
12(t-1)
则x +x =- .
1 2 9
12(t-1) 5 7
从而- = ,得t=- .
9 2 8
3 7
所以l的方程为y= x- .
2 8
第 4 页 共 9 页第 4 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
{ 3
y= x+t,
(2)由⃗AP=3⃗PB可得y =-3y .由 2 可得y2-2y+2t=0.所以y +y =2.从而-3y +y =2,
1 2 1 2 2 2
y2=3x
故y =-1,y =3.
2 1
1 4√13
代入C的方程得x =3,x = .故|AB|= .
1 2 3 3
第 5 页 共 9 页第 5 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
综合篇
考法一 利用抛物线的定义解题
1.(2023届山西长治质量检测,4)抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的
纵坐标为 ( )
17 15 7
A. B. C. D.0
16 16 8
答案 B
2.(2022福建莆田华侨中学月考,4)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P为抛物线C上
一点,点A(2,2),则|PA|+|PF|的最小值为 ( )
A.√5B.2C.√10 D.3
答案 D
3.(2022辽宁辽阳模拟,14)已知P为抛物线y2=4x上的一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上
的一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是
.
答案 √17-1
考法二 直线与抛物线的位置关系问题
1.(2023届广东六校联考一,3)直线y=x-1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于
A、B两点,则|AB|= ( )
A.6 B.8 C.2 D.4
答案 B
2.(2023届河南安阳调研,11)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A,B在C上(A
在第四象限,B在第一象限),满足AF⊥BF,且2|AF|=|BF|,则直线AB的斜率为 (
)
A.2 B.√3C.√2 D.1
答案 A
3.(2022湖北部分学校质检,6)已知抛物线y2=4x,直线l与抛物线交于A,B两点,若线段
AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为 ( )
√3
A.2 B.√3C. D.1
3
答案 D
4.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线
C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
第 6 页 共 9 页第 6 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
5.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F
的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2√6
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
(p )
答案 ACD 由题意得F ,0 ,如图,设FM的中点为N,连接AN,则AN与x轴垂直,
2
(3p ) 3p √6 (3p √6 )
且N ,0 ,将x= 代入y2=2px,解得y= p(舍负),故A , p ,故直线AB的
4 4 2 4 2
√6
p-0
2 ( p)
斜率为 =2√6,选项A正确.对于B,直线AB的方程为y=2√6· x- ,与抛物线
3p p 2
-
4 2
方程联立并整理得12x2-13px+3p2=0,
3p 13p p
设B(x ,y ),则x + = ,解得x = ,
1 1 1 4 12 1 3
(p √6 ) √7p 13p 25
则B ,- p ,所以|OB|= ≠|OF|,故B错误.对于C,因为|AB|= +p= p,|OF|
3 3 3 12 12
p
= ,
2
所以|AB|>4|OF|成立,故C正确.对于D,因为
(3 √6 ) (p √6 ) ( p √6 ) ( 2 √6 )
⃗OA= p, p ,⃗OB= ,- p ,⃗MA= - , p ,⃗MB= - p,- p ,
4 2 3 3 4 2 3 3
p2 3
所以⃗OA·⃗OB= -p2=- p2<0,
4 4
第 7 页 共 9 页第 7 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
p2 5
⃗MA·⃗MB= -p2=- p2<0,所以∠AOB与∠AMB均为钝角,即∠AOB+∠AMB>180°.
6 6
所以在四边形OAMB中,∠OAM+∠OBM<180°,故D正确,故选ACD.
6.(多选)(2021湖南衡阳联考一,11)已知抛物线C:x2=2py(p>0),过其准线上的点T(1,-
1)作C的两条切线,切点分别为A、B,下列说法正确的是 ( )
A.p=1
B.TA⊥TB
1
C.直线AB的斜率为
2
D.线段AB中点的横坐标为1
答案 BCD
7.(2023届重庆南开中学月考,14)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A为抛物线上第
一象限内一点,直线AF与y轴交于点B,且⃗AF=⃗FB,则直线AB的斜率为 .
答案 2√2
8.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B
两点,则|AB|= .
16
答案
3
9.(2022全国甲,理20,文21,12分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F
的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.
(1)求C的方程;
(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.
当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.
p
解析 (1)当直线MD垂直于x轴时,|MF|=p+ =3,∴p=2,∴C的方程为y2=4x.
2
(2)设M(x ,y ),N(x ,y ),A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2 3 3 4 4
易知直线MN不可能与x轴重合,∴设直线MN的方程为x=ny+1,与y2=4x联立,得y2-
4ny-4=0,
{y + y =4n, 1
1 2
∴ 且tan α=k = ,
y y =-4, MN n
1 2
易知直线MA不可能与x轴重合,∴设直线MA的方程为x=my+2,与y2=4x联立,得y2-
4my-8=0,
-8 -8
∴y y =-8,即y = ,同理y = ,
1 3 3 y 4 y
1 2
第 8 页 共 9 页第 8 页 共 9 页
北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
y - y y - y 4 4
4 3= 4 3 = =
∴tan β=k AB =x 4 -x 3 y2 4- y 3 2 y 3 + y 4 -8 ( 1 + 1 )=
4 4 y y
1 2
y y 1
1 2 = ,
-2(y + y ) 2n
1 2
1 1
-
tanα-tanβ n 2n 1 √2 √2
∴tan(α-β)= = = ≤ ,当且仅当n= 时,等号成立,此时
1+tanαtanβ 1 1 1 4 2
1+ · 2n+
n 2n n
√2
k = .
AB 2
{y + y =2√2,
不妨设M位于第一象限,由 1 2 解得y =√6+√2,则y =2(√2-√6),则A(8-4
y y =-4, 1 3
1 2
√3,2(√2-√6)),
√2 √2 √2
又k = ,∴直线AB的方程为y+2(√6-√2)= [x-(8-4√3)],整理得y= x-2√2.
AB 2 2 2
10.(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程;
(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足⃗PQ=9⃗QF,求直线OQ斜率的最大值.
解析 (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2,∴p=2.∴抛物线C的方程
为y2=4x.
(2)由已知不妨设点P(4x2,4x ),Q(x ,y ),
0 0 1 1
则⃗PQ=(x -4x2,y -4x ),
1 0 1 0
∵F(1,0),∴⃗QF=(1-x ,-y ),
1 1
{x -4x2=9(1-x ),
∵⃗PQ=9⃗QF,∴ 1 0 1
y -4x =9(- y ),
1 0 1
1
{x = (9+4x2 ),
1 10 0 y 4x
整理得 ∴kOQ= 1= 0 ,
4 x 9+4x2
y = x , 1 0
1 10 0
4 4 1
≤ = 9 3
当k 最大时,x >0,∴k = 9 2√36 3,当且仅当4x = 时取“=”,此时x = ,
OQ 0 OQ +4x 0 x 0 2
x 0 0
0
1
点P的坐标为(9,6),因此k 的最大值为 .
OQ 3
第 9 页 共 9 页
