第22章 二次函数单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·重庆·期末）已知抛物线C 的顶点坐标为(2,3)，且与抛物线C ：y=x2的开口方
1 2
向、形状大小完全相同，则抛物线C 的解析式为（ ）
1
A．y=(x+2) 2−3 B．y=−(x−2) 2−3
C．y=−(x−2) 2+3 D．y=(x−2) 2+3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为y=a(x−2) 2+3，再根据抛物线C 与
1
抛物线C ：y=x2的开口方向、形状大小完全相同，得到a=1即可．
2
【详解】解：∵抛物线C 的顶点坐标为(2,3)
1
∴可设其解析式为y=a(x−2) 2+3
∵抛物线C 与抛物线C ：y=x2的开口方向、形状大小完全相同
1 2
∴a=1
∴抛物线C 的解析式为y=(x−2) 2+3．
1
故选：D．
2．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数
式m2−m+2024的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特
征是解决问题的关键．把点(m，0)代入抛物线的解析式可得m2−m−1=0,，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解∶∵抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m2−m−1=0,
∴m2−m=1,
∴m2−m+2024=1+2024=2025，故选C．
3．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）将抛物线y=(x−2) 2+1向左平移2个单位，得到的新抛物线的
顶点坐标是（ ）
A．(0,1) B．(1,0) C．(2,3) D．(2,−1)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，顶点坐标．熟练掌握二次函数图象的平移，顶点坐标是解题的
关键．
由题意知，新抛物线的解析式为y=x2+1，进而可得新抛物线顶点坐标为(0,1)．
【详解】解：由题意知，抛物线y=(x−2) 2+1向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为y=x2+1，
∴新抛物线顶点坐标为(0,1)，
故选：A．
4．（3分）（23-24九年级·全国·专题练习）下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x，y的一些对应
值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x 的范围为（ ）
1
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … −1.16 −0.71 −0.24 0.25 0.76 …
A．1.2<x <1.3 B．1.3<x <1.4 C．1.4<x <1.5 D．1.5<x <1.6
1 1 1 1
【答案】C
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据“x=1.4时y=−0.24<0，x=1.5时
y=0.25>0”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】解：由表可得x=1.4时y=−0.24<0，x=1.5时y=0.25>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的一个交点的横坐标在1.4和1.5之间，
∴ ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x 的范围为1.4<x <1.5，
1 1
故选：C．
5．（3分）（23-24九年级·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度GDP总
值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率
为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.6(1+2x) B．y=2.6(1−x) 2C．y=2.6(1+x) 2 D．y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x) 2
【答案】C
【分析】第二季度GDP总值为2.6(1+x)，第三季度为2.6(1+x) 2，得解；
【详解】解：第三季度GDP总值为y=2.6(1+x)(1+x)=2.6(1+x) 2；
故选：C
【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键．
6．（3分）（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）函数y=mx2+nx(m≠0)与y=mx+n的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题
的关键．分别确定各选项中一次函数的m、n的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误
即可．
【详解】解：A中y=mx+n的m<0，n<0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向下，此时矛盾，
故不符合要求；
n
B中y=mx+n的m>0，n<0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向上，对称轴x=− >0，故符
2m
合要求；
C中y=mx+n的m>0，n>0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求；n
D中y=mx+n的m<0，n<0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向下，对称轴x=− <0，此时
2m
矛盾，故不符合要求；
故选：B．
7．（3分）（23-24九年级·四川广安·期末）二次函数y=mx2+2mx−(3−m)的图像如图所示，则m的取
值范围是( )
A．m<3 B．m>3 C．m>0 D．0<m<3
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口向上知m>0，由二次函数与y轴交于负
半轴可以推出m−3<0，又抛物线与x轴有两个交点(b2−4ac>0)，然后利用前面的结论即可确定m的取
值范围．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴m>0，①
∵二次函数与y轴交于负半轴，
∴m−3<0，②
∵抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，
∴(2m) 2−4m(m−3)>0，③，
联立①②③解之得：0<m<3．
∴m的取值范围是0<m<3．
故选：D．
8．（3分）（23-24九年级·浙江杭州·期末）设函数y =−(x−m) 2 ，y =−(x−n) 2，直线x=1与函数
1 2
y ,y 的图象分别交于点A(1,a )，B(1,a )，得（ ）
1 2 1 2A．若1<m<n，则a <a B．若m<n<1，则a <a
1 2 1 2
C．若m<1<n，则a <a D．若m<n<1，则a <a
1 2 2 1
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别
画出y ，y 的图象，继而根据图象即可求解．
1 2
【详解】解：如图所示，若1<m<n，则a >a ，
1 2
故A选项错误；
如图所示，若m<1<n，则a >a 或a <a ，
1 2 1 2
故C选项错误；
如图所示，若m<n<1，则a <a ，
1 2故B选项正确，D选项错误；
故选：B
9．（3分）（23-24九年级·广东湛江·期末）如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图
像的一部分，与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，对称轴是直线x=1．对于下列说法：①ab<0；②
2a+b=0；③3a+b=0；④a+b≥m(am+b)（m为实数）；⑤当−1<x<3时，y>0，其中正确的是（
）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列方程与不
等式．①由抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴x=1可得结论；③结合②得到的结论即可判
断；④根据在对称轴处取得最值判断即可；⑤根据图像与x轴的交点得到结论即可．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab<0，故正确；b
②∵对称轴x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故正确；
③∵2a+b=0，a≠0
∴3a+b≠0，故错误；
④根据图象知，当x=1时；y有最大值，
当m为实数时，有am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥m(am+b)（m为实数），故正确；
⑤如图，抛物线与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，
故无法确定y>0时，x的取值范围，故错误；
故选：A．
10．（3分）（23-24九年级·内蒙古乌海·期末）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(2,0)，若点C
1
在一次函数y=− x2+2的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，属于中考常考题型．
( 1 )
设C m,− m+2 ．构建方程即可解决问题．
2
( 1 )
【详解】解：设C m,− m+2 ．
2( 5)
①当CA=CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C −1, ．
2
1 2
②当AC=AB时，(m+4) 2+(− m+2) =36，
2
−12±4❑√29
解得：m= ，
5
(−12+4❑√29 16−2❑√29) (−12−4❑√29 16+2❑√29)
∴C , 或 , ，
5 5 5 5
③当BC=AB时，(m+2) 2+ ( − 1 m+2 ) 2 =36，
2
12±8❑√11
解得m= ，
5
(12+8❑√11 4−4❑√11) (12−8❑√11 4+4❑√11)
∴C , 或 , ；
5 5 5 5
综上所述，满足条件的点有5个，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数y=2x2+4x+m的最小4，则
常数m的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
由y=2x2+4x+m=2(x+1) 2+m−2，2>0，可知当x=−1时，二次函数y=2x2+4x+m的值最小，为
4，则m−2=4，计算求解即可．
【详解】解：∵y=2x2+4x+m=2(x+1) 2+m−2，2>0，
∴当x=−1时，二次函数y=2x2+4x+m的值最小，为4，
∴m−2=4，解得，m=6，
故答案为：6．
12．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）无论 m 为何实数，二次函数 y=x2+(m−1)x+m 的图象
总是过定点 ．
【答案】(−1,2)
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为y=x2+m(x+1)−x，利用m有无数
个解得到x+1=0，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：y=x2+(m−1)x+m
=x2+mx−x+m
=x2+m(x+1)−x，
∵无论 m 为何实数，二次函数 y=x2+(m−1)x+m 的图象总是过定点
∴当x+1=0，即x=−1时，m可以任意实数，
此时y=(−1) 2−(−1)=2，
即无论 m 为何实数，二次函数 y=x2+(m−1)x+m 的图象总是过定点(−1,2)．
故答案为：(−1,2)
13．（3分）（23-24·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2(a<0)，点
A(k,y )，B(6,y )，C(k+4,y )均在该二次函数的图象上，且2<y <y ，则k的取值范围为 ．
1 2 1 2 1
【答案】1<k<2或k>6
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点A(k,y )，C(k+4,y )，可得二次函数图象的
1 1
对称轴，从而得到点B(6,y )关于对称轴的对称点为(2k−2,y )，再分两种情况：当点B(6,y )在对称轴
2 2 2
的左侧时；当点B(6,y )在对称轴的右侧时，即可求解．
2
【详解】解：∵点A(k,y )，C(k+4,y )均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
1 1
k+k+4
∴二次函数图象的对称轴为直线 =k+2，
2
∴点B(6,y )关于对称轴的对称点为(2k−2,y )，
2 2当x=0时，y=2，
∴二次函数的图象与y轴的交点为(0,2)，
∵2<y <y ，
2 1
当点B(6,y )在对称轴的左侧时，k>6；
2
当点B(6,y )在对称轴的右侧时，k+4<6，且2k−2>0，
2
解得：1<k<2；
综上所述，k的取值范围为1<k<2或k>6．
故答案为：1<k<2或k>6．
14．（3分）（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，已知抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，且
与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是 ．
【答案】(0,2)，(3,2)
【分析】本题考查二次函数图像及性质，三角形面积等．根据题意先在二次函数中随机画出点P，过点P
作PD⊥x轴，再求出二次函数和x轴交点即可得知AB的长，设点P的坐标为(x,x2−3x+2)，在根据题
意列出方程求解即可．
【详解】解：过点P作PD⊥x轴，设点P的坐标为(x,x2−3x+2)，，
∴PD=|x2−3x+2|，
∵抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，0=x2−3x+2，
∴x =1,x =2，
1 2
∴A(1,0),B(2,0)，
∴AB=1，
∵△PAB的面积为1，
1 1
∴S = ·AB·PD= ×1·|x2−3x+2|=1，
△PAB 2 2
解得：x =0,x =3，
1 2
∴点P的坐标为：(0,2)，(3,2)，
故答案为：(0,2)，(3,2)．
15．（3分）（23-24·湖北襄阳·一模）已知抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
则m的值为 ．
1−❑√21
【答案】3或
2
【分析】先求出抛物线对称轴为直线x=−m，然后分当−m<−2，即m>2时，当−2≤−m≤2，即
−2≤m≤2时，当−m>2，即m<−2时，三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2+2mx+m+2=(x+m) 2−m2+m+2，
∴抛物线对称轴为直线x=−m，
∵1>0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
当−m<−2，即m>2时，
∵抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
∴当x=−2时，y=−3，∴4−4m+m+2=−3，
解得m=3；
当−2≤−m≤2，即−2≤m≤2时，
∵抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
∴当x=−m时，y=−3，
∴m2−2m2+m+2=−3，
∴m2−m−5=0，
1−❑√21
解得m= （不符合题意的值舍去）；
2
当−m>2，即m<−2时，
∵抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
∴当x=2时，y=−3，
∴4+4m+m+2=−3，
9
解得m= （舍去）；
5
1−❑√21
综上所述，m=3或m= ，
2
1−❑√21
故答案为：3或 ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且ab≠0)经过
(1,0),(x ,0)，一次函数y=|a)x+c经过(x ,0)，一次函数y=|b)x+c经过(x ,0)．已知
1 2 3
−5<x <−4,m<x <m+1，n<x <n+1，其中m,n为整数，则m+n的值为 ．
1 2 3
【答案】−7或5/5或−7
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．根据二次函数对称轴的性质，一次函数与坐标轴的交
点坐标列式计算即可．
【详解】解∶∵二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且ab≠0)经过(1,0),(x ,0)，
1
b 1+x 1 x
∴a+b+c=0，− = 1= + 1，
2a 2 2 2
∵−5<x <−4，
1b 1 x 3
∴−2<− = + 1<− ，
2a 2 2 2
b
∴−4<− <−3，
a
b 1 a 1
∴3< <4， < < ，
a 4 b 3
∵一次函数y=|a)x+c经过(x ,0)，一次函数y=|b)x+c经过(x ,0)．
2 3
c c
∴x =− ，x =− ，
2 |a) 3 |b)
当a>0,b>0时，
c c −a−b b c c −a−b a
x =− =− =− =1+ ，x =− =− =− = +1，
2 |a) a a a 3 |b) b b b
b 5 a 4
∴4<x =1+ <5， <x = +1< ，
2 a 4 3 b 3
∵m<x <m+1，n<x <n+1，m,n为整数，
2 3
∴m=4, n=1，
此时m+n=5；
b 1 a 1
当a<0,b<0时，3< <4， < < ，
a 4 b 3
c c −a−b b c c −a−b a
x =− = = =−1− ，x =− = = =− −1，
2 |a) a a a 3 |b) b b b
b 4 a 5
∴−5<x =−1− <−4，− <x =− −1<− ，
2 a 3 3 b 4
∵m<x <m+1，n<x <n+1，m,n为整数，
2 3
∴m=−5, n=−2，
此时m+n=−7；
故答案为：−7或5
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·北京大兴·期末）已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1,0)，(0,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点坐标．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)顶点坐标为(−1,−4)【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式；
（1）利用待定系数法把(1,0)，(0,−3)代入二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函
数解析式；
（2）将（1）中所得解析式化为顶点式，可得结果．
【详解】（1）∵抛物线y=x2+bx+c 经过点(1,0)，(0,−3)，
{1+b+c=0)
∴ ，
c=−3
{ b=2 )
解得 ，
c=−3
∴y=x2+2x−3；
（2）y=x2+2x−3=(x+1) 2−4
∴顶点坐标为(−1,−4)．
18．（6分）（23-24九年级·河南南阳·期末）已知二次函数y=x2−4x+5．
(1)用配方法将二次函数的表达式化为y=(x−ℎ) 2+k的形式，并写出顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中画出这个二次函数的图象；
(3)结合图象直接回答：当0<x<3时，则y的取值范围是____________．
【答案】(1)y=(x−2) 2+1，顶点坐标为(2,1)
(2)见解析
(3)1≤ y<5
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
（1）利用配方法把二次函数解析式配成顶点式；（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）利用二次函数的图象求解．
【详解】（1）解：∵y=x2−4x+5=(x−2) 2+1，
∴抛物线顶点坐标为(2,1)；
（2）解：列表：
x ⋯ 0 1 2 3 5 ⋯
y ⋯ 5 2 1 2 5 ⋯
根据描点法画二次函数图象如下：
；
（3）解：由图象可知：当0<x<3时，1≤ y<5．
故答案是：1≤ y<5．
19．（8分）（23-24九年级·全国·专题练习）某超市以每件10元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，
该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/
… 36 34 32 …
件
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−2x+60；
(2)销售单价应为18元或22元；
(3)当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元．【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式．
（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，然后用待定系数法求函数解析式；
（2）依据利润=单件利润×销售量列出方程，解答即可；
（3）根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最
值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
由所给函数图象可知：¿，
解得：¿，
故y与x的函数关系式为y=−2x+60；
（2）根据题意得：
(x−10)(−2x+60)=192，
解得：x =18，x =22，
1 2
答：销售单价应为18元或22元；
（3）由题意可知：w=(x−10)(−2x+60)
=−2x2+80x−600
=−2(x−20) 2+200，
∵a=−2<0，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x=20，
∴当x=20时，w有最大值，W =200．
最大
答：当销售单价为20元时，每天获利最大，最大利润是200元．
20．（8分）（23-24九年级·重庆·期末）如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点
C，连接AC，BC．(1)求△ABC的面积；
(2)直线y=2x−3与抛物线交于点C、D，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBD的周长最小？如
果存在，请求出点P坐标；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)存在，P(1,2)
【分析】本题主要考查二次函数、一次函数和几何的结合，解题的关键是熟悉二次函数的性质，
(1)根据二次函数的解析式求得点A和点B、点C的坐标，则AB=4，OC=3，利用三角形面积公式求解即
可；
(2)联立方程求得点D(4,5)，利用勾股定理即可求得BD=❑√26．连接PB、PA，结合对称性可知
C =PA+PD+❑√26，则P、A、D三点共线时，C 有最小值，利用待定系数法求得直线AD的解
△PBD △PBD
析式为：y=x+1，利用对称轴即可求得点P．
【详解】（1）解：令y=0，即x2−2x−3=0，
解得x=3或x=−1
∴A(−1,0)，B(3,0)，
则AB=4，
当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)，OC=3，
1 1
∴S = AB⋅OC= ×4×3=6．
△ABC 2 2
（2）存在这样的点P，理由如下，
{y=x2−2x−3)
联立 ，
y=2x−3
{ x =0 ) {x =4)
解得 1 或 2 ，
y =−3 y =5
1 2
∴D(4,5)，
∵B(3,0)，
∴BD=❑√26．
连接PB、PA，如图，则C =PB+PD+BD
△PBD
∵PB=PA
∴C =PA+PD+❑√26．
△PBD
∴当P、A、D三点共线时，C 有最小值，
△PBD
设直线AD的解析式为：y=kx+b，
{0=−k+b)
则 ，
5=4k+b
{k=1)
解得 ，
b=1
则直线AD的解析式为：y=x+1，
b −2
∵x=− =− =1时，y=x+1=2，
2a 2
∴P(1,2)．
21．（8分）（23-24九年级·河北承德·期末）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知
识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，D在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，AB=1.5m，
DA=2m，若在y轴P(0，c)处吊球，羽毛球的飞行路线C ：y=a(x−1) 2+3.2．小林分析此时羽毛球恰
1
1 n
好落在点D处；若在y轴E(0，c−1)处吊球，羽毛球的飞行路线C ：y=− x2+ x+c−1
2 7 7(1)写出C 的最高点坐标，并求a，c的值；
1
(2)小林分析，若羽毛球沿路线C 飞行落在AD之间，求符合条件的n的整数值．
2
【答案】(1)(1，3.2)，a=−0.2，c=3
(2)−1或0或1或2
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：
（1）根据解析式可求出C 的最高点坐标为(1，3.2)，再由待定系数法求出函数表达式，求出a和c即可；
1
（2）将点A、D的坐标分别代入C 的函数表达式，求出n即可．
2
【详解】（1）解：∵C ：y=a(x−1) 2+3.2，
1
∴C 的最高点坐标为(1，3.2)；
1
由题意得：点A、D的坐标分别为：(3，0)、(5，0)，
将点D的坐标代入函数C 的表达式得：0=a(5−1) 2+3.2．
1
解得：a=−0.2，
∴C 的表达式为：y=−0.2(x−1) 2+3.2，
1
当x=0时，y=−0.2(x−1) 2+3.2=3=c；
（2）解：由（1）得：c−1=2，
1 n
∴C 的函数表达式为：y=− x2+ x+2，
2 7 7
∵点A、D的坐标分别为：(3，0)、(5，0)，
将点A、D的坐标分别代入C 的函数表达式得：
2
1 3n 5
0=− ×9+ +2，解得：n=− ，
7 7 3
1 5n 11
0=− ×25+ +2，解得：n= ，
7 7 55 11
∴当− ≤n≤ 时，羽毛球沿路线C 飞行落在AD之间，
3 5 2
∴符合条件的n的整数值为−1或0或1或2．
22．（8分）（23-24九年级·甘肃平凉·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐
1
标分别为(6,0)和(0,8)，抛物线y= x2+bx+c经过点B和点G(−1,5)．
3
(1)求抛物线对应的函数解析式．
(2)将△ABO沿x轴向左平移得到△DCE，使得四边形ABCD是菱形，试判断点C、点D是否在该抛物线
上．
(3)在（2）的条件下，若点M是CD所在直线下方抛物线上的一个动点，当△CDM的面积最大时，求点
M的坐标，并求出此时的最大面积．
1 10
【答案】(1)y= x2+ x+8
3 3
(2)点C、点D均在该抛物线上
(3)(−7,1)；9
1
【分析】（1）将点B(0,8)和点G(−1,5)代入抛物线y= x2+bx+c，求出b、c的值即可得到抛物线对应
3
的函数解析式；
（2）由坐标两点距离公式可得AB=10，再根据菱形的性质，得到AD=CD=BC=AB=10，进而得出点
C、点D的坐标，即可求解；
4 16
（3）利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=− x− ，过点M作MH⊥x轴，设过点M且平行于
3 3
4
CD的直线m的解析式为y=− x+n，联立直线m与抛物线，得到关于x的一元二次方程，在利用一元二
3
次方程根的判别式，得出当x=−7时，过点M的直线与抛物线只有一个交点，点M到CD距离最大，△CDM的面积最大，进而得出点M的坐标，然后根据△CDM的最大面积=S −S −S ，
△CDE 梯形CEHM △DMH
即可求解．
1
【详解】（1）解：将点B(0,8)和点G(−1,5)代入抛物线y= x2+bx+c可得：
3
{ c=8 ) { b= 10 )
1 ，解得： 3 ，
−b+c=5
3 c=8
1 10
∴抛物线对应的函数解析式为y= x2+ x+8；
3 3
（2）解：点C、点D均在该抛物线上，理由如下：
∵A(6,0)，B(0,8)，
∴AB=❑√OA2+OB2=❑√62+82=10．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=BC=AB=10，
∴C(−10,8)，OD=AD−OA=10−6=4，
∴D(−4,0)．
1 10
当x=−4时，y= ×(−4) 2+ ×(−4)+8=0；
3 3
1 10
当x=−10时，y= ×(−10) 2+ ×(−10)+8=8．
3 3
∴点C、点D均在该抛物线上．
（3）解：设直线CD的解析式为y=kx+m．
∵直线CD经过点D(−4,0)和C(−10,8)点，
∴¿，解得¿，
4 16
∴直线CD的解析式为y=− x− ．
3 3
∵CD是定值，
∴要使△CDM的面积最大，则当点M到CD距离最大时，面积最大，
如图，过点M作MH⊥x轴，垂足为点H，
4
设过点M且平行于CD的直线m的解析式为y=− x+n，
3联立方程组，得¿，
消去y，整理得x2+14x+24−3n=0．
当直线与抛物线在点M处相切时，
25
Δ=142−4×1×(24−3n)=0，解得n=− ，
3
14
此时方程有两个相等的实数根x =x =− =−7，
1 2 2×1
此时过点M的直线与抛物线只有一个交点，点M到CD距离最大，△CDM的面积最大，
1 10
∴当x=−7时，y= ×(−7) 2+ ×(−7)+8=1，
3 3
∴点M的坐标为(−7,1)，
△CDM的最大面积=S −S −S
△CDE 梯形CEHM △DMH
1 1 1
= ×(10−4)×8− ×(1+8)×(10−7)− ×(7−4)×1
2 2 2
27 3
=24− −
2 2
=9．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数图象上点的坐标
特征，二次函数的交点问题等知识，掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．
23．（8分）（23-24九年级·吉林·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，且B(5,0)，C(0,5)．(1)求抛物线的解析式；
(2)当二次函数y=x2+bx+c的值大于0时，结合图象，直接写出自变量x的取值范围；
(3)点P为y轴负半轴上一点，点P的纵坐标为−3．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，E（点D在点E
的左边），判断DP与DE的数量关系，并说明理由；
(4)在（3）的条件下，点M，N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m(1<m<3)，设此抛物线在点D与
点M之间部分（包括点D和点M）的最高点与最低点的纵坐标的差为d ，在点D与点N之间部分（包括点
1
D和点N）的最高点与最低点的纵坐标的差为d ，若d +d =2m，请直接写出m的值．
2 1 2
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2−6x+5；
(2)x<1或x>5；
(3)DP=DE，理由见解析；
4 4+❑√13
(4)m的值为 或 ．
3 3
【分析】（1）把B(5,0)，C(0,5)代入y=x2+bx+c即可求解；
（2）当y=0时，x2−6x+5=0，解出方程，再根据图象即可求解；
（3）由题意得：点P(0,−3)，点D、E的纵坐标为−3，当y=−3时，x2−6x+5=−3，即
x2−6x+8=0，则有D(2,−3)，E(4,−3)，然后用两点间的距离即可求解；
（4）分①当N在对称轴左侧，即2m<3，此时1<m<1.5时，② D关于直线x=3的对称点为(4,−3)，
当3≤2m≤4，1.5≤m≤2时，③当2m>4，即2<m<3时三种情况，再根据图象及性质即可求解；
本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的
关键是熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想和方程思想的应用．
{25+5b+c=0)
【详解】（1）把B(5,0)，C(0,5)代入y=x2+bx+c得 ，
c=5
{b=−6)
解得 ，
c=5∴抛物线的解析式为y=x2−6x+5；
（2）由（1）得抛物线的解析式为y=x2−6x+5，
当y=0时，x2−6x+5=0，
解得：x =1，x =5，
1 2
∴二次函数y=x2+bx+c的值大于0时，
根据图象可知自变量x的取值范围为x<1或x>5；
（3）DP=DE，理由：
如图，
由题意得：点P(0,−3)，点D、E的纵坐标为−3，
∴当y=−3时，x2−6x+5=−3，即x2−6x+8=0，
解得：x =2，x =4，
1 2
∴D(2,−3)，E(4,−3)，
∴DP=2，DE=2，
∴DP=DE；
（4）∵y=x2−6x+5=(x−3) 2−4，
∴抛物线对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,−4)，抛物线开口向上，
由（3）可得D(2,−3)，
∵M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m，
∴M(m,m2−6m+5)，N(2m,4m2−12m+5)，
①当N在对称轴左侧，即2m<3，此时1<m<1.5时，则d =m2−6m+5−(−3)=m2−6m+8，d =−3−(4m2−12m+5)=−4m2+12m−8，
1 2
∴m2−6m+8−4m2+12m−8=2m，
4
解得m=0(舍去)或m= ；
3
② D关于直线x=3的对称点为(4,−3)，当3≤2m≤4，1.5≤m≤2时，
则d =m2−6m+5−(−3)=m2−6m+8，d =−3−(−4)=1，
1 2
∴m2−6m+8+1=2m，
解得m=4+❑√7（舍去）或 m=4−❑√7（舍去）；
③当2m>4，即2<m<3时，则d =−3−(m2−6m+5)=−m2+6m−8，d =4m2−12m+5−(−4)=4m2−12m+9，
1 2
∴−m2+6m−8+4m2−12m+9=2m，
4+❑√13 4−❑√13
解得m= 或 m= （舍去）；
3 3
综上所述，的值为或．
