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第22章 二次函数单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·重庆·期末）已知抛物线C 的顶点坐标为(2,3)，且与抛物线C ：y=x2的开口方
1 2
向、形状大小完全相同，则抛物线C 的解析式为（ ）
1
A．y=(x+2) 2−3 B．y=−(x−2) 2−3
C．y=−(x−2) 2+3 D．y=(x−2) 2+3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．由顶点坐标可设解析式为y=a(x−2) 2+3，再根据抛物线C 与
1
抛物线C ：y=x2的开口方向、形状大小完全相同，得到a=1即可．
2
【详解】解：∵抛物线C 的顶点坐标为(2,3)
1
∴可设其解析式为y=a(x−2) 2+3
∵抛物线C 与抛物线C ：y=x2的开口方向、形状大小完全相同
1 2
∴a=1
∴抛物线C 的解析式为y=(x−2) 2+3．
1
故选：D．
2．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）已知抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，则代数
式m2−m+2024的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】C
【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特
征是解决问题的关键．把点(m，0)代入抛物线的解析式可得m2−m−1=0,，再整体代入代数式求值即可．
【详解】解∶∵抛物线y=x2−x−1与x轴的一个交点为(m,0)，
∴m2−m−1=0,
∴m2−m=1,
∴m2−m+2024=1+2024=2025，故选C．
3．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）将抛物线y=(x−2) 2+1向左平移2个单位，得到的新抛物线的
顶点坐标是（ ）
A．(0,1) B．(1,0) C．(2,3) D．(2,−1)
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，顶点坐标．熟练掌握二次函数图象的平移，顶点坐标是解题的
关键．
由题意知，新抛物线的解析式为y=x2+1，进而可得新抛物线顶点坐标为(0,1)．
【详解】解：由题意知，抛物线y=(x−2) 2+1向左平移2个单位后，新抛物线的解析式为y=x2+1，
∴新抛物线顶点坐标为(0,1)，
故选：A．
4．（3分）（23-24九年级·全国·专题练习）下表给出了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中x，y的一些对应
值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x 的范围为（ ）
1
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … −1.16 −0.71 −0.24 0.25 0.76 …
A．1.20”，结合二次函数与一元二次方程的关系可得答案．
【详解】解：由表可得x=1.4时y=−0.24<0，x=1.5时y=0.25>0，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴的一个交点的横坐标在1.4和1.5之间，
∴ ax2+bx+c=0(a≠0)的一个近似解x 的范围为1.40，n<0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向上，对称轴x=− >0，故符
2m
合要求；
C中y=mx+n的m>0，n>0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求；n
D中y=mx+n的m<0，n<0，此时y=mx2+nx(m≠0)的图象应该开口向下，对称轴x=− <0，此时
2m
矛盾，故不符合要求；
故选：B．
7．（3分）（23-24九年级·四川广安·期末）二次函数y=mx2+2mx−(3−m)的图像如图所示，则m的取
值范围是( )
A．m<3 B．m>3 C．m>0 D．00，由二次函数与y轴交于负
半轴可以推出m−3<0，又抛物线与x轴有两个交点(b2−4ac>0)，然后利用前面的结论即可确定m的取
值范围．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴m>0，①
∵二次函数与y轴交于负半轴，
∴m−3<0，②
∵抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，
∴(2m) 2−4m(m−3)>0，③，
联立①②③解之得：0a ，
1 2
故A选项错误；
如图所示，若m<1a 或a 0，其中正确的是（
）
A．①②④ B．①② C．②③④ D．③④⑤
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图像与性质，解题关键是掌握抛物线的对称性，结合图像和解析式列方程与不
等式．①由抛物线对称轴的位置可得结论；②由抛物线对称轴x=1可得结论；③结合②得到的结论即可判
断；④根据在对称轴处取得最值判断即可；⑤根据图像与x轴的交点得到结论即可．
【详解】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab<0，故正确；b
②∵对称轴x=− =1，
2a
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故正确；
③∵2a+b=0，a≠0
∴3a+b≠0，故错误；
④根据图象知，当x=1时；y有最大值，
当m为实数时，有am2+bm+c≤a+b+c，
∴a+b≥m(am+b)（m为实数），故正确；
⑤如图，抛物线与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间，
故无法确定y>0时，x的取值范围，故错误；
故选：A．
10．（3分）（23-24九年级·内蒙古乌海·期末）在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)，B(2,0)，若点C
1
在一次函数y=− x2+2的图象上，且△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有（ ）
2
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论
的思想思考问题，属于中考常考题型．
( 1 )
设C m,− m+2 ．构建方程即可解决问题．
2
( 1 )
【详解】解：设C m,− m+2 ．
2( 5)
①当CA=CB时，点C在线段AB的垂直平分线上，此时C −1, ．
2
1 2
②当AC=AB时，(m+4) 2+(− m+2) =36，
2
−12±4❑√29
解得：m= ，
5
(−12+4❑√29 16−2❑√29) (−12−4❑√29 16+2❑√29)
∴C , 或 , ，
5 5 5 5
③当BC=AB时，(m+2) 2+ ( − 1 m+2 ) 2 =36，
2
12±8❑√11
解得m= ，
5
(12+8❑√11 4−4❑√11) (12−8❑√11 4+4❑√11)
∴C , 或 , ；
5 5 5 5
综上所述，满足条件的点有5个，
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·重庆江北·期末）当x取一切实数时，二次函数y=2x2+4x+m的最小4，则
常数m的值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了二次函数的最值．熟练掌握二次函数的最值是解题的关键．
由y=2x2+4x+m=2(x+1) 2+m−2，2>0，可知当x=−1时，二次函数y=2x2+4x+m的值最小，为
4，则m−2=4，计算求解即可．
【详解】解：∵y=2x2+4x+m=2(x+1) 2+m−2，2>0，
∴当x=−1时，二次函数y=2x2+4x+m的值最小，为4，
∴m−2=4，解得，m=6，
故答案为：6．
12．（3分）（23-24九年级·浙江宁波·期末）无论 m 为何实数，二次函数 y=x2+(m−1)x+m 的图象
总是过定点 ．
【答案】(−1,2)
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征先把解析式变形为y=x2+m(x+1)−x，利用m有无数
个解得到x+1=0，然后解出x和y，即可得到定点坐标．
【详解】解：y=x2+(m−1)x+m
=x2+mx−x+m
=x2+m(x+1)−x，
∵无论 m 为何实数，二次函数 y=x2+(m−1)x+m 的图象总是过定点
∴当x+1=0，即x=−1时，m可以任意实数，
此时y=(−1) 2−(−1)=2，
即无论 m 为何实数，二次函数 y=x2+(m−1)x+m 的图象总是过定点(−1,2)．
故答案为：(−1,2)
13．（3分）（23-24·江苏无锡·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2(a<0)，点
A(k,y )，B(6,y )，C(k+4,y )均在该二次函数的图象上，且26
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据点A(k,y )，C(k+4,y )，可得二次函数图象的
1 1
对称轴，从而得到点B(6,y )关于对称轴的对称点为(2k−2,y )，再分两种情况：当点B(6,y )在对称轴
2 2 2
的左侧时；当点B(6,y )在对称轴的右侧时，即可求解．
2
【详解】解：∵点A(k,y )，C(k+4,y )均在该二次函数的图象上，且关于对称轴对称，
1 1
k+k+4
∴二次函数图象的对称轴为直线 =k+2，
2
∴点B(6,y )关于对称轴的对称点为(2k−2,y )，
2 2当x=0时，y=2，
∴二次函数的图象与y轴的交点为(0,2)，
∵26；
2
当点B(6,y )在对称轴的右侧时，k+4<6，且2k−2>0，
2
解得：16．
故答案为：16．
14．（3分）（23-24九年级·江苏泰州·期末）如图，已知抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，且
与y轴交于点C，若抛物线上存在点P，使得△PAB的面积为1，则点P的坐标是 ．
【答案】(0,2)，(3,2)
【分析】本题考查二次函数图像及性质，三角形面积等．根据题意先在二次函数中随机画出点P，过点P
作PD⊥x轴，再求出二次函数和x轴交点即可得知AB的长，设点P的坐标为(x,x2−3x+2)，在根据题
意列出方程求解即可．
【详解】解：过点P作PD⊥x轴，设点P的坐标为(x,x2−3x+2)，，
∴PD=|x2−3x+2|，
∵抛物线y=x2−3x+2与x轴交于A、B两点，
∴令y=0，0=x2−3x+2，
∴x =1,x =2，
1 2
∴A(1,0),B(2,0)，
∴AB=1，
∵△PAB的面积为1，
1 1
∴S = ·AB·PD= ×1·|x2−3x+2|=1，
△PAB 2 2
解得：x =0,x =3，
1 2
∴点P的坐标为：(0,2)，(3,2)，
故答案为：(0,2)，(3,2)．
15．（3分）（23-24·湖北襄阳·一模）已知抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
则m的值为 ．
1−❑√21
【答案】3或
2
【分析】先求出抛物线对称轴为直线x=−m，然后分当−m<−2，即m>2时，当−2≤−m≤2，即
−2≤m≤2时，当−m>2，即m<−2时，三种情况利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2+2mx+m+2=(x+m) 2−m2+m+2，
∴抛物线对称轴为直线x=−m，
∵1>0，
∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，
当−m<−2，即m>2时，
∵抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
∴当x=−2时，y=−3，∴4−4m+m+2=−3，
解得m=3；
当−2≤−m≤2，即−2≤m≤2时，
∵抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
∴当x=−m时，y=−3，
∴m2−2m2+m+2=−3，
∴m2−m−5=0，
1−❑√21
解得m= （不符合题意的值舍去）；
2
当−m>2，即m<−2时，
∵抛物线y=x2+2mx+m+2在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，
∴当x=2时，y=−3，
∴4+4m+m+2=−3，
9
解得m= （舍去）；
5
1−❑√21
综上所述，m=3或m= ，
2
1−❑√21
故答案为：3或 ．
2
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且ab≠0)经过
(1,0),(x ,0)，一次函数y=|a)x+c经过(x ,0)，一次函数y=|b)x+c经过(x ,0)．已知
1 2 3
−50,b>0时，
c c −a−b b c c −a−b a
x =− =− =− =1+ ，x =− =− =− = +1，
2 |a) a a a 3 |b) b b b
b 5 a 4
∴45；
(3)DP=DE，理由见解析；
4 4+❑√13
(4)m的值为 或 ．
3 3
【分析】（1）把B(5,0)，C(0,5)代入y=x2+bx+c即可求解；
（2）当y=0时，x2−6x+5=0，解出方程，再根据图象即可求解；
（3）由题意得：点P(0,−3)，点D、E的纵坐标为−3，当y=−3时，x2−6x+5=−3，即
x2−6x+8=0，则有D(2,−3)，E(4,−3)，然后用两点间的距离即可求解；
（4）分①当N在对称轴左侧，即2m<3，此时14，即25；
（3）DP=DE，理由：
如图，
由题意得：点P(0,−3)，点D、E的纵坐标为−3，
∴当y=−3时，x2−6x+5=−3，即x2−6x+8=0，
解得：x =2，x =4，
1 2
∴D(2,−3)，E(4,−3)，
∴DP=2，DE=2，
∴DP=DE；
（4）∵y=x2−6x+5=(x−3) 2−4，
∴抛物线对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3,−4)，抛物线开口向上，
由（3）可得D(2,−3)，
∵M、N在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m，
∴M(m,m2−6m+5)，N(2m,4m2−12m+5)，
①当N在对称轴左侧，即2m<3，此时14，即2
