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专题22.16 二次函数图象的平移（分层练习）
【知识要点】
(1)图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上
“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法
如下：
一、单选题
1．将抛物线 向下平移 个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．将抛物线 向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
3．将抛物线 的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解
析式为（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线 平移后得到抛物线 ，则平移方式为（ ）A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
5．将关于x的函数 的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．与y轴的交点不变 D．自变量x的取值范围不变
6．将二次函数 的图象向左平移 （ ）个单位后过点 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如果一种变换是将抛物线向右平移2个单位或向上平移1个单位，我们把这种变换称为抛物线的简
单变换．已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 ，则原抛物线的解析式不可能是（
）
A． B．
C． D．
8．抛物线 经过平移得到 ，则平移方法是（ ）
A．向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度
D．向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度
9．将二次函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数图象的表达式是（
）
A． B．
C． D．
10．关于二次函数 的图象与性质，下列结论错误的是（ ）A．抛物线开口方向向下 B．当 时，函数有最大值
C．当 时， 随 的增大而减小 D．该抛物线可由 经过平移得到
11．将抛物线 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点是
（ ）
A． B． C． D．
12．将抛物线 （a、b是常数， ）向下平移2个单位长度后，得到的新抛物线恰好
和抛物线 关于y轴对称，则a、b的值为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
13．已知抛物线的解析式为 ．若抛物线经过 ， ， 三个点
中的其中两个点，平移该抛物线，使其顶点始终在直线 上，若 ，则平移后所得抛物线与 轴
交点纵坐标的（ ）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
14．抛物线G： 与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线G沿直线 平移得
到抛物线H，若抛物线H与y轴交于点D，则点D的纵坐标的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
15．已知抛物线 与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛
物线 ， ，其中 的顶点为点B， 的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的
面积为（ ）A．8 B．16 C．32 D．无法计算
二、填空题
16．若抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是
．
17．如果一个二次函数的图像顶点是原点，且它经过平移后能与 的图像重合，那么这
个二次函数的解析式是 ．
18．抛物线 可以由抛物线 向 平移 个单位长度得到．
19．把抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移 个单位后，得到抛物线 ，则n
的值是 ．
20．将一个抛物线沿x轴的正方向平移1个单位后能与抛物线 重合，则这个抛物线的解
析式是 ．
21．将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函
数表达式为 ，则k的值为 ．
22．点 是抛物线 ： 上一点，将抛物线 平移，得到抛物线 ：
，点P平移后的对应点为点 ，则点 坐标为 ．
23．如图，点 在抛物线C： 上，且在 的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为 ， ．平移该胶片，使 所在抛物线对应的函数恰
为 ．则点 移动的最短路程是 ．
24．二次函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的顶
点坐标为 ．
25．若将二次函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位，所得图象的函数表
达式为 ，则h= ；k= ．
26．抛物线 沿直线 斜向下平移 个单位长度，得到的新抛物线的解析
式是 ；
27．已知抛物线 与 轴有两个交点 ，抛物线 与 轴
的一个交点是 ，则 的值是 ．
28．如图，抛物线 截得坐标轴上的线段长 ，D为 的顶点，抛物线 由 平移得到，
截得 轴上的线段长 ．若过原点的直线被抛物线 ， 所截得的线段长相等，则这条直线的解
析式为 ．29．若将抛物线 向右平移2个单位长度得到抛物线 ，则 ．
30．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形 ，点 在 轴的正半轴上，点 在 轴的
正半轴上，抛物线 经过点 与点 ．现将抛物线向左平移 （ ）个单位，向上平移
（ ）个单位，若平移后的抛物线恰好经过点 与点 ，则 、 的值分别是 ．
三、解答题
31．已知把二次函数 的图像先向左平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得
到抛物线 ．
（1）试确定 的值；
（2）指出二次函数 图像的开口方向、对称轴和顶点坐标．32．一条抛物线由抛物线 平移得到，对称轴为直线 ，并且经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式，并指出其顶点坐标；
（2）该抛物线由抛物线 经过怎样平移得到？
33．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和 ，与 轴交
于点 ．
（1）求此抛物线的表达式及点 的坐标；
（2）将此抛物线沿 轴向左平移 个单位得到新抛物线，且新抛物线仍经过点 ，求 的值．34．已知二次函数 ．
（1）用配方法把二次函数 化为 的形式，并指出这个函数图像的开口
方向、对称轴和顶点的坐标；
（2）如果将该函数图像向右平移 2个单位，所得的新函数的图像与 轴交于点 （点 在点 左
侧），与 轴交于点 ，顶点为 ，求四边形 的面积．
35．如图，二次函数的图象经过点 ，顶点坐标为 ．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当 时，y的取值范围为 ；
（3）直接写出该二次函数的图象经过怎样的平移恰好过点 ，且与x轴只有一个公共点．36．如图，抛物线 与x轴交于点 ， 和点 ， ，与 轴交于点 ．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点 为抛物线位于第一象限上一个动点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 ，求线
段 的最大值；
（3）点 ， ， ， ，将抛物线向上平移 个单位，若平移后的抛物线与线段 只有一个
公共点，直接写出 的取值范围．参考答案
1．B
【分析】根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
解：将抛物线 向下平移 个单位，则所得抛物线的表达式为 ，
故选：B．
【点拨】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规
律求函数解析式．
2．B
【分析】二次函数图象的平移中解析式的变化规律：左加右减，上加下减；据此即可求解．
解：由题意得
，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移中解析式的变化规律，掌握变化规律是解题的关键．
3．A
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
解：将抛物线 向左平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后所得抛物线的解析式
为 ，
即 ，
故选：A．
【点拨】本题考查的是二次函数图象平移变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式是解题的关键．
4．B
【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减，即可判定．
解：∵将抛物线 平移后得到抛物线 ，
∴平移方式为：向右平移1个单位，
故选：B．
【点拨】此题主要考查抛物线的平移，熟练掌握，即可解题．
5．C
【分析】二次函数的图像向下平移两个单位时，函数解析式变为 ，图像开口方
向不变，但顶点坐标、与坐标轴的交点均发生变化．
解：将抛物线 向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、自变量x的取值
范围不变，与y轴的交点改变，故选项C符合条件，选项A、B、D均不符合条件，
故选：C．
【点拨】此题主要考查二次函数的函数与图像，解题的关键是熟知二次函数图像平移的特点．
6．B
【分析】根据函数图象平移规则“左加右减，上加下减”得到平移后的函数解析式，再将 代入平
移后的函数解析式，求出 的值即可．
解： ，
将二次函数 的图象向左平移 个单位后所得二次函数解析式为： ，
平移后的图象过点 ， ，
将 代入 ，
得： ，
，
，，
（舍去）， ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图象平移、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象平移规则是解
题的关键．
7．B
【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案．
解：A、 ，先向上平移1个单位得到 ，再向上平移1个单位可以得到 ，故此选
项不符合题意；
B、 ，右移3个单位，再上移5得到 ，故此选项符合题意；
C、 ，先向右平移2个单位得到 ，再向上平移1个单位得到
，故此选项不符合题意；
D、 ，先向右平移2个单位得到 ，再向右平移2个单位得
到 ，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求
得平移后的函数解析式，注意由目标函数图象到原函数图象方向正好相反．
8．D
【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，写出顶点坐标，再根据函数图象的平移法则：左平移横坐标
加，右平移横坐标减，上平移纵坐标加，下平移纵坐标减，即可得到答案．
解： ，
的顶点坐标为 ，
向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 ，故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握平移的法则是解题的关键．
9．C
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可求解．
解：将二次函数 的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数图象的表达式是
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
10．B
【分析】根据二次函数的性质和二次函数图象的平移规律进行求解即可．
解：∵二次函数解析式为 中， ，
∴二次函数开口向下，对称轴为直线 ，故A结论正确，不符合题意；
∴当 时，函数有最大值 ，当 时， 随 的增大而减小，故B结论错误，符合题意，C结
论正确，不符合题意；
抛物线 向左移动3个单位长度，向下移动2个单位长度得到抛物线 ，故D
结论正确，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象的平移，对于二次函数
，当 时，二次函数开口向上，当 时，y随x增大而增大，当 时，y随
x增大而减小，当 时，函数有最小值k；当 时，二次函数开口向上，当 时，y随x增大而减小，
当 时，y随x增大而增大，当 时，函数有最大值k．
11．D
【分析】根据二次函数平移性质“左加右减，上加下减”，得出将抛物线 的图象向右平
移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的解析式，求顶点坐标即可.
解：将抛物线 化为顶点式，即：
，
将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
根据函数图像平移性质：左加右减，上加下减得：
，
顶点坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题主要考查函数图像平移的性质，一般先将函数化为顶点式：即 的形式，
然后按照“上加下减，左加右减”的方式写出平移后的解析式，能够根据平移方式写出平移后的解析式是
解题关键．
12．C
【分析】先求出抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，再根据抛物线平移的
性质得出抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，即可得出a和b的值．
解：∵ ，
∴抛物线 关于y轴对称的抛物线为 ，
∵抛物线 向下平移2个单位长度后为 ，
∵ 与 关于y轴对称，
∴ ，
整理得： ，
∴ ， ，故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的平移规律，解题的关键是掌握将二次函数化为顶点式的方法和步
骤，以及二次函数的平移规律：上加下减，左加右减．
13．C
【分析】分二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C三种情况讨论求解即可．
解：∵
∴抛物线的解析式为 ，
由题意得，二次函数的图象经过点A，B或B、C或点A，C，
①若经过点A和点B，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∵平移该抛物线，使其顶点始终在直线 上，
∴设平移后函数表达式为 ，
当 时， ，
∴当 时，y有最小值 ；
②∵ ， ，
∴抛物线也不同时经过点B，点C，
③经过点A、点C，如图，∴
解得，
∴ ，
当 时， ，
则点 是 的顶点，
此时二次函数的顶点在 上，且与y轴交点，此时纵坐标为 ；
而 经过平移，顶点始终在直线 上，
故平移后函数表达式为 ，
当 时， ，
当 时，y有最大值，为： ，
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的
条件，利用二次函数的性质解答．
14．B
【分析】先求出 ，进而求出直线 的解析式为 ，再推出抛物线G沿直线
平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线 上，设抛物线H的顶点坐标为 ，
则抛物线H的解析式为 ，进而求出 ，则 的最大值为 ．
解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ，设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
∵抛物线 的顶点坐标为 ，即抛物线 的顶点在直线 上，
∴抛物线G沿直线 平移得到抛物线H，则抛物线H的顶点坐标一定在直线 上，
设抛物线H的顶点坐标为 ，
∴抛物线H的解析式为 ，
在 中，令 ，则 ，
∴ 的最大值为 ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了一次函数与二次函数综合，二次函数图象的平移，推出抛物线H的顶点坐标
一定在直线 上是解题的关键．
15．B
【分析】根据平移的性质和抛物线的对称性可知图中阴影部分的面积 的面积．
解：】解：∵ ，
∴ ， ，
则 ．
又当 时， ，
则 ，
故 ．∴抛物线 是由抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线
由抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象平移问题，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移
后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求
出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式，根据二次函数图象平移，利用割补法求解．
16．
【分析】根据二次函数图象的平移变换规律即可得．
解：将抛物线 向下平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度，则平移后的抛物线的解析式
为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
17．
【分析】根据二次函数平移前后的形状和开口方向不变，即二次项系数不变进行求解即可．
解：∵平移后的二次函数解析式为 ，
∴原二次函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的图像与几何变换，熟知二次函数图像平移中不变的性质是解答的关键．
18． 上 3
【分析】根据二次函数上加下减，左加右减的平移规律求解即可．
解：抛物线 可以由抛物线 向上平移3个单位长度得到，故答案为：上，3．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
19．2
【分析】根据函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”进行解答即可．
解：把抛物线 先向右平移1个单位，再向上平移 个单位后，得到抛物线
，即 ，
∴ ，
故答案为：2．
【点拨】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握图象平移规律是解答的关键．
20．
【分析】将一个抛物线沿x轴的正方向平移1个单位后能与抛物线 重合，可理解为把抛
物线 沿x轴的负方向平移1个单位，从而可解决问题．
解：∵
∴把 向左平移1个单位后对应的解析式为：
∴把 向右平移1个单位后得到 ，
故答案为：
【点拨】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的平移规律”是解本题的关键．
21．
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律，得到平移的解析式，后建立等式计算即可．
解：将抛物线 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线对应
的函数表达式为： ，∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了抛物线的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
22．
【分析】根据顶点式得到平移规律，即可求解．
解：将抛物线 ： 平移，得到抛物线 ： ，
平移规律为向左平移4个单位，向下平移3个单位，
则点 平移后的对应点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数图象的平移确定平移是解答此题的
关键．
23．5
【分析】先求出平移后的顶点 ，结合平移前的顶点 ，求出这两点间的距离即为所求．
解： 平移后的抛物线的解析式为 ，
平移后的顶点 ，
平移前抛物线的顶点 ，
点 移动的最短路程 ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键．
24．
【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式，进而求出
顶点坐标．
解：∵∴图象先向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后的解析式为 ，
∴所得图象的顶点坐标为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象二次函数图象的平移，熟练掌握平移规律是解答本题的关键．
25． 1 3
【分析】根据函数图象的平移规则：左加右减、上加下减，即可得到答案．
解： 二次函数 的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位，所得图象的函数表达
式为 ，
，
故答案为：1，3．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规则：左加右减、上加下减
是解题的关键．
26．
【分析】先求出斜向下平移 个单位长度相当于向右，向下平移3个单位长度，然后根据平移规律
得出答案．
解：∵直线 与x轴的夹角为 ，
∴沿直线 斜向下平移 个单位长度即是向右，向下平移 个单位长度，
∴得到的新抛物线的解析式是 ，即 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，解直角三角形，二次函数图象的平移，熟练掌握“左加
右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．
27．5或1/1或5【分析】抛物线 通过左右平移可得抛物线 ，分点 与 为
对应点，点 与 为对应点两种情况，分别求解即可．
解：抛物线 与 轴有两个交点 ，
当点 与 为对应点时，由于 ，
抛物线 是由抛物线 向右平移5个单位得到，
；
当点 与 为对应点时，由于 ，
抛物线 是由抛物线 向右平移1个单位得到，
，
综上 的值是5或1．
故答案为：5或1．
【点拨】本题考查二次函数图象的平移，解题的关键是掌握平移的规律，注意分情况讨论．
28．
【分析】根据已知条件，待定系数求得抛物线 ， 的解析式，设过原点的直线解析式为 ，过
原点的直线被抛物线 ， 所截得的线段长相等，即可求解．
解：∵抛物线 截得坐标轴上的线段长 ，D为 的顶点，
， ，
设 的解析式为 ，代入 ，得，
，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，∵抛物线 由 平移得到， 截得 轴上的线段长 ．
∴ ，
则 的解析式为 ，
即
设过原点的直线解析式为 ，与 ， 分别交于点 ，如图所示，
联立 ，
即 ，
∴ ， ，
∴ 、 两点横坐标之差为 ，
联立 ，
即 ，
∴ ， ，
∴ 、 两点横坐标之差为 ，
∵∴ ，
解得 ，故直线解析式为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，将一次函数与二次
函数联立求得交点横坐标之差是解决本题的关键.
29．
【分析】先根据左加右减、上加下减的规律得出平移后的抛物线顶点式，再化为一般式，求出 、
的值，再代入求值即可．
解： 抛物线 向右平移2个单位长度得 ，即
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
30．
【分析】先根据图象，求出抛物线的解析式，再根据平移后的抛物线经过点 与点 ，利用对称性求
出 ，再用待定系数法求出 即可．
解：由题意，得： ，
∵抛物线 经过点 与点 ，
则： ，解得： ，
∴ ，
将抛物线向左平移 （ ）个单位，向上平移 （ ）个单位，得：，
∵平移后的抛物线恰好经过点 与点 ，
∵ 的纵坐标相同，
∴点 与点 关于对称轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
把 代入得： ，解得： ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键．
31．（1） ， ， ；（2）开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为
【分析】（1）根据平移的性质，平移改变了函数图像的顶点，二次项系数不变，由此即可求解；
（2）由（1）可求出二次函数的图像，根据系数的特点即可求解．
（1）解：二次函数 的图像的顶点坐标为 ，把点 先向右平移2个单位长
度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为 ，
∴原二次函数的解析式为 ，
∴ ， ， ．
（2）解：由（1）可知，二次函数 ，即 ，
∴二次函数的图像开口向下，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的变换，掌握平移的性质，二次函数顶点式的含义是解题的关键．
32．（1）抛物线为y =2（x+1）2-7，顶点坐标是（-1，-7）；（2）向左平移1个单位长度，再向下平
移7个单位长度【分析】（1）根据平移的规律平移后的抛物线为y＝2（x+1）2+k，代入点（1，1），即可求出解析式；
（2）由抛物线的顶点式，根据左加右减，上加下减可得出答案．
（1）解：设所求抛物线为y =2（x+1）2+k过（1,1）
则1 =2（1+1）2+k ，
解得k=-7，
∴所求抛物线为y =2（x+1）2-7.
顶点坐标是（-1，-7）
（2）解：所求抛物线y =2（x+1）2-7是由抛物线y =2x2
向左平移1个单位长度，再向下平移7个单位长度得到
【点拨】此题考查了待定系数法求二次函数解析式及图象的平移，掌握二次函数的顶点式y＝a（x﹣
h）2+k对应的开口方向、对称轴、顶点坐标是解题的关键．
33．（1） ，点 的坐标是 ；（2）6
【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式，进而求出点C的坐标；
（2）把二次函数配方得到顶点式，根据题目进行平移解题即可．
（1）解：把 和 代入
，解得
∴抛物线的表达式为
∴当 时，
∴点 的坐标是
（2）
设平移后的抛物线表达式为
把 代入得
解得
∵ ，∴
【点拨】本题考查二次函数的解析式和抛物线的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
34．（1） ，开口方向向下，对称轴为直线 ，顶点的坐标为 ；（2）
【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；
（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出 坐标即可求
解．
（1）解：
∴该二次函数的顶点式为 ，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线
，顶点的坐标为 ；
（2）解：平移后的新抛物线的解析式为 ，得到顶点 ，
当 时，由 得： ， ，
即点 ，即 ，
当 时，由
即点 ，
∴四边形 的面积
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的
交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．
35．（1） ；（2） ；（3）该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左
平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点 ，且与x轴只有一个公共点
【分析】（1）由题意设二次函数的顶点式，代入 进行计算即可得到答案；
（2）由函数表达式可知：二次函数 的图象有最高点 ，对称轴是直线 ，从而可得此时y的取值范围；
（3）该二次函数的图象平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为 ，再把点 代入，
求出 的值，即可得出结论．
（1）解： 二次函数的图像经过点 ，顶点坐标为 ，
设这个二次函数的表达式为： ，
把 代入得：
，，
解得： ，
这个二次函数的表达式为： ；
（2）解： ，二次函数的表达式为 ，
二次函数 的图象有最高点 ，对称轴是直线 ，
当 时， ，
当 时， ，
的取值范围为： ，
故答案为： ；
（3）解： 该二次函数的图象经过平移后，与x轴只有一个公共点，
该二次函数的图形平移后的顶点在x轴上，设它的表达式为 ，
该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点 ，
，
解得： ，
即该函数的图象平移后的表达式为： 或 ，该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好
经过点 ，且与x轴只有一个公共点．
【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、求二次函数的函数值的取值范围、二次函
数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与特征是解题的关键
36．（1） ；（2） 的最大值是 ；（3） 或
【分析】（1）将 ， ， ， 分别代入抛物线 ，待定系数法求解析式即可求
解；
（2）由 ，当 时， ，则 ， ，直线 的解析式为 ．设
，则 ， ，求得 ，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）抛物线 向上平移 个单位后解析式为 ，平
移后的抛物线的顶点坐标为 ，①当抛物线顶点落在 上时，②当抛物线经过点 ， 时，
分别代入即可求解．
（1）解：将 ， ， ， 分别代入抛物线 得，
解得
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图所示：由 ，当 时， ，则 ， ，
， ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
设 ，则 ， ，
∴ ，
当 时， 的最大值是 ．
（3）解：抛物线 向上平移 个单位后解析式为 ，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为 ，
①当抛物线顶点落在 上时，则 ，解得 ．
②当抛物线经过点 ， 时， ，解得 ；
当抛物线经过点 ， 时， ，解得 ，
∴ 时，满足题意．
综上所述， 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直线和抛物线的交点问题，二次函数的平移，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
