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专题 06 二次函数中面积问题的两种考法
类型一、面积最值问题
例．抛物线 交x轴于点 ，交y轴于点 ．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的对称轴和另一个与x轴交点C的坐标；
(2)直接写出当 时，x的取值范围．
(3)如图，点P是线段 上方抛物线上一动点，当P点的坐标为_______时， 的面积
最大．
【答案】(1) ； ；对称轴直线
(2) 或
(3)
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据函数图象即可得出结论；
（3）过点 作 轴交 于点 ，设 ，则 ，则
，再由此求解即可．
【详解】（1）将点 ， 代入 ，
，
解得 ，
；
令 ，得
解得：
∴ ，
对称轴直线（2）由（1）得： ，
∴当 或 时，
（3）设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
过点 作 轴交 于点 ，
设 ，则 ，
，
，
当 时， 的面积有最大值 ，
此时 ， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，胡不归求最
短距离的方法是解题的关键．
【变式训练1】如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴相交于点
．(1)求抛物线的对称轴及 值；
(2)抛物线的对称轴上存在一点 ，使得 的值最小，求此时点 的坐标；
(3)点 是抛物线上一动点，且在第三象限，当 点运动到何处时，四边形 的面积
最大？求出四边形 的最大面积．
【答案】(1)
(2)
(3) ， 最大，最大值为
【分析】（1）根据解析式可得抛物线的对称轴为直线 ，将点 代入解析式，
待定系数法即可求解；
（2）连接 ，交对称轴于点 ，根据两点之间，线段最短可得点 即为所求，求得直线
的解析式，令 ，即可求解；
（3）连接 ，如图1，设 点坐标为 ，根据
，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为直线 ，
把 代入
得 ，
；
（2）连接 ，交对称轴于点 ，
∵两点之间，线段最短，
∴ 的最小值为 的长，则点 即为所求
对于 ，令 ，则 ，解得 ， ，
点坐标为 ， 点坐标为 ，设直线 的关系式为： ，
把 ， 代入 ，得 ，解得 ，
直线 的关系式为 ，
当 时， ，
点坐标为 ；
（3）连接 ，如图1，设 点坐标为 ，
，
当 时， 最大，最大值为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，面积问题，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交与 ， 两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在第二象限内的抛物线上的是否存在一点P，使 的面积最大？若存在，求出点P
的坐标及 的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在， ；(3)存在， ， 的面积最大值是
【分析】（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可知，边 的长是定值，要想 的周长最小，即是 最小所
以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A关于对称轴的对称点B，利用待定系数法求出
直线 的解析式，直线 与对称轴的交点即是所求的点Q；
（3）首先求得 的坐标，然后设P的横坐标是x，利用a表示出 的面积，利用二次
函数的性质求解；
【详解】（1）根据题意得： ，解得 ，
则抛物线的解析式是 ；
（2）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴 对称，
∴直线 与 的交点即为Q点，此时 周长最小，
对于 ，令 ，则 ，
故点 ，
设 的解析式是 ，则 ，解得 ，
则 的解析式是 ． 时， ，
∴点Q的坐标是 ；
（3）过点P作y轴的平行线交 于点D，
设P的横坐标是x，则P的坐标是 ，对称轴与 的交点D是 ．
则 ．则 ，
∵ ，故 的面积有最大值是 ．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，求最值问题一般是
转化为函数最值问题求解
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象与x轴交
于点 和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图1，求 周长的最小值；
(3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与
的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3) ，
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为 ，将 代入求解即可；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，根据点坐特点及正方形的判定得出
四边形 为正方形， ，连接AE，交 于点D，由对称性 ，此时
有最小值为AE的长，再由勾股定理求解即可；
（3）由待定系数法确定直线 的表达式为 ，直线 的表达式为 ，
设 ，然后结合图形及面积之间的关系求解即可．【详解】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为 ，
将 代入上式得： ，
所以抛物线的表达式为 ；
（2）作点O关于直线 的对称点E，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵O、E关于直线 对称，
∴四边形 为正方形，
∴ ，
连接 ，交 于点D，由对称性 ，
此时 有最小值为 的长，
∵ 的周长为 ，
， 的最小值为10，
∴ 的周长的最小值为 ；
（3）由已知点 ， ， ，设直线 的表达式为 ，
将 ， 代入 中， ，解得 ，
∴直线 的表达式为 ，
同理可得：直线 的表达式为 ，
∵ ，∴设直线 表达式为 ，由（1）设 ，代入直线 的表达式得： ，
∴直线 的表达式为： ，
由 ，得 ，∴ ，
∵P，D都在第一象限，∴
，
∴当 时，此时P点为 . ．
【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，周长最短
问题及面积问题，理解题意，熟练掌握运用二次函数的综合性质是解题关键．
类型二、求面积问题
例．已知： ， 是方程 的两个实数根，且 ，抛物线 的
图象经过点 ．
(1)求这个抛物线的解析式；(2)设（1）中的抛物线与 轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求 的面积；
(3) 是线段 上的一点，过点 作 轴，与抛物线交于 点，若直线 把
分成面积之比为 的两部分，请求出 点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点 或
【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，从而得到点 的坐标，再代入
抛物线解析式即可解答；
（2）令抛物线解析式中 ，可求得点 坐标，利用公式法求出顶点 的坐标，过点
作 轴的垂线，垂足为点 ，分别求出 、梯形 、 的面积，利用 =
解答即可；
（3）先利用待定系数法求得直线 的解析式，再设直线 与 相交于点 ，点
，则点 ，从而求得 ，最后
分两种情况讨论①当 时或②当 时，分别计算解答即可．
【详解】（1）解：
， 是方程 的两个实数根，且 ，
把点 代入抛物线解析式得
，解得 ，
；
（2）解：
令
如图，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，=
；
（3）解：如图，
设直线 的解析式为 ，代入点 得，
设直线 与 相交于点 ，点
则点
直线 把 分成面积之比为 的两部分，分两种情况讨论：
①当 时
，（ 舍去），
②当 时
，
综上所述，点 或 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式、待定系数
法求二次函数解析式、配方法求二次函数顶点坐标、解析法求线段的长等知识，利用等高
三角形面积比等于底边比，掌握相关知识是解题关键．
【变式训练1】如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的
左侧），与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为 ，连接 ．
(1)当 时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若 ，
①求m的值；
②点P是x轴上方的抛物线上的一动点，连结 ．设 的面积为S．若S为正偶
数，试求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)① ；② 或 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）①根据题意得到 ， ， ，然后表示出 ，
， ，根据 利用勾股定理列方程求
解即可；②过点P作 轴于H，交 于点Q，先求出 的解析式，设点 ，
则点 ，由三角形面积公式可得 ，由二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：∵点 ，在抛物线 图象上， ，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ,
∴抛物线的顶点坐标为 ；
（2）①解：当 时，即
∴设
∵
∴
∴
∴ ，
当 时，
∴
∴
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴
∴整理得，
将 代入 得，可得， ，
∴将 代入 ，得
∴解得 或0（舍去）
∴ ；
②∵
∴ ， ，抛物线解析式为 ，
∴设直线 的解析式为 ，代入B、C坐标得 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
过点P作 轴于点H，交 于点Q，如图，
设 ，则 ，
∴ ，
∴
；
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴
∵S为正偶数∴ 或4，
∴当 时，即 ，解得
∴ 或 ；
当 时，即 ，解得
∴
综上所述，点P的坐标为 或 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，一次函
数的性质，两点距离公式，利用参数列方程是本题的关键．
【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ，点 是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 在直线 下方运动，且满足 时，求点 的坐标；
(3)设 的面积为 ，当 为某值时，满足条件的点 有且只有三个，不妨设为 ， ，
，求 的面积．
【答案】(1)
(2) 的坐标为
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）作 关于 轴的对称点 ，连接 ，根据 ， 关于 轴对称，则
，结合已知条件得出 '，得出 ，求得直线 的
解析式为 ，直线 解析式为 ，联立抛物线解析式，进而即可求
解．（3）过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交 于 ，求得直线
解析式为 ，设 ，则 ，当 在 下方时，
，此时 ，当 在 上方时，
，得出 ，
进而求得直线 解析式为 ，得出 ，则 ，进而根据三角形面积公
式即可求解．
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）作 关于 轴的对称点 ，连接 ，如图：
在 中，令 得 ，
，
， 关于 轴对称，
， ，
，
'，
，由 ， ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得：
直线 的解析式为 ，
设直线 解析式为 ，把 ， 代入得：
，
直线 解析式为 ，
联立 得：
或 ，
的坐标为 ；
（3）过点 作 轴交直线 于点 ，过 作 轴交 于 ，如图：
由 ， ， ，
设直线 的解析式为 ，
则
解得：
直线 解析式为设 ，则
当 在 下方时， ，
，
，
当 时， 取最大值 ，
此时 ；
当 在 上方时，
，
解得 或
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
直线 解析式为 ，
在 ，令 得 ，
，
，
的面积为 ，
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，面积问题，扎实的计算是解题的关
键．
课后训练
1．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴分别交于 ，
两点，其中点 在原点左侧，与 轴交于点 ．(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线顶点为 ，点 在第三象限的抛物线上，
①若直线 与直线 关于直线 对称，求点 的坐标；
②如图2，若直线 与抛物线交于点 ， ， ，与抛物线线的对称轴 交
于点 ，若 ，连接 ， ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)① ②
【分析】（1）根据点 可求出 ，根据点 可求出 ，即可求解；（2）①先求出直线
的解析式，根据题意即可得出直线 的解析式，进而可求出点 的坐标；②建立
与 的关系即可求解．
【详解】（1）解：由 ， 可得抛物线的对称轴为：直线
又对称轴为：直线
故 ，解得
又抛物线与 轴交于点
所以抛物线的解析式为：
（2）①解：令 ，则
解得：
故设直线 的解析式为：
故有： ，解得：
所以直线 的解析式为：
因为直线 与直线 关于直线 对称
所以直线 的解析式为：
联立直线 与抛物线的解析式：
解得：
当
故点
②解：由题意得： ，解得
故
因为直线 与抛物线对称轴 交于点
结合（1）可得：
因为点 ，点 关于抛物线对称轴 对称
故 的横坐标
解得：
【点睛】本题以二次函数作为背景，综合考查了二次函数的对称性、一次函数的解析式等
相关知识点．最后一小问的数学建模思想是学生应该具备的能力．
2．已知： 关于 的函数 ．(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且 ，则 的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与 轴有两个公共点 ， ，并与动直线
交于点 ，连接 ， ， ， ，其中 交 轴于点 ，交 于
点 ．设 的面积为 ， 的面积为 ．
①当点 为抛物线顶点时，求 的面积；
②探究直线 在运动过程中， 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，
说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，
按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出 值．
（2）①根据 和 的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标 ，从而求出
长度，再利用 和 的坐标点即可求出 的直线解析式，结合 即可求出 点
坐标，从而求出 长度，最后利用面积法即可求出 的面积．
②观察图形，用 值表示出点 坐标，再根据平行线分线段成比例求出 长度，利用割
补法表示出 和 ，将二者相减转化成关于 的二次函数的顶点式，利用 取值范围即可
求出 的最小值．
【详解】（1）解： 函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时， ，．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与 轴， 轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述， 或0．
故答案为：0或2或 ．
（2）解：①如图所示，设直线 与 交于点 ，直线 与 交于点 ．
依题意得： ，解得：
抛物线的解析式为： ．
点 为抛物线顶点时， ， ，
， ，
由 ， 得直线 的解析式为 ，
在直线 上，且在直线 上，则 的横坐标等于 的横坐标，
，
， ，
，．
故答案为：6．
② 存在最大值，理由如下：
如图，设直线 交 轴于 ．
由①得： ， ， ， ， ，
，
， ，
，
，
即 ，
， ，
，
，
， ，
当 时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面
积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及
二次函数最值问题．
3．如图1，经过原点O的抛物线 （a、b为常数， ）与x轴相交于另一
点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为C点．(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存
在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动
点，EF与直线OB交于点G．设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】（1）先求得点 ，再利用待定系数法即可求解；
（2）分点D在直线 下方、上方两种情况，分别求解即可；
（3）如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线 于点M，N，则 ，
，设 ，可表达 ，再利用二次函数的性质可得出结论．
【详解】（1）解：∵直线 经过点 ，
∴ ，
∴点 ，
∵抛物线 经过点 和点 以及原点，∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）解：∵抛物线 ，
∴顶点C的坐标为 ，
设直线 的解析式为： ，
则将 ， 代入 得，
，解得 ，
∴直线 的解析式为： ．
①当点D在直线 的下方时，过点B作 轴，交x轴于点F，延长 ，交 于
G，设 交x轴于点E，如图，
∵ ，
∴ ，即 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
在 中，当 时， ，得： ，
∴ ，则 ，
∴ ，
同理求得直线 的解析式为： ，
联立： ，解得 或 （舍去），
∴ ；
②当点D在直线 的上方时，
∵ ，
∴ ，
∵直线 的解析式为： ，
∴直线 的解析式为： ，
联立： ，解得： 或 （舍去），
∴ ．
综上，当点D的坐标为 或 时，使得 ；
（3）解：∵点 与点E关于对称轴直线 对称，
∴ ，
如图，分别过点E，F作y轴的平行线，交直线 于点M，N，∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴当 时， 的最大值为 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标
特征，三角形的面积和全等三角形的判定及性质，解题的关键正确表达两个三角形面积的
比．
