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专题第 01 讲 二次函数的图像与性质（30 题）
1．（2023•怀集县一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+c，点A（﹣2，y ），B（4，y ）是抛物线上两点，若a
1 2
＜0，则y ，y 的大小关系是（ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y ＝y D．无法比较
1 2 1 2 1 2
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线 x＝2，得出a＜0，得出抛物线开口向下，则抛物线上的点距离
对称轴越近，对应的函数值越大，最后求出结果即可．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，对应的函数值越大，
∵点A（﹣2，y ）到对称轴的距离为2﹣（﹣2）＝4，点B（4，y ）到对称轴的距离为4﹣2＝2，
1 2
又∵2＜4，
∴点B（4，y ）到对称轴的距离近．
2
∴y ＜y ，
1 2
故选：B．
2．（2023•南湖区校级开学）若点A（﹣3，y ），B（ ，y ），C（2，y ）在二次函数y＝x2+2x+1的图
1 2 3
象上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
2 1 3 1 3 2 1 2 3 3 2 1
【分析】根据抛物线的对称轴和开口方向，再由A，B，C三个点离对称轴的远近，即可解决问题．
【解答】解：由题知，
抛物线y＝x2+2x+1的开口向上，且对称轴是直线x＝﹣1，
所以函数图象上的点，离对称轴越近，函数值越小．
又 ，
所以y ＜y ＜y ．
2 1 3
故选：A．
3．（2022秋•华容区期末）若点A（2，y ）、B（3，y ）、C（﹣1，y ）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的
1 2 3
图象上，则y 、y 、y 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 1 3 2 3 1 3 2 1
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y ，y ，y 的值，比较后即可得出结论（利用二次函
1 2 3
数的性质解决问题亦可（离对称轴越远，y值越大））．
【解答】解：∵点A（2，y ）、B（3，y ）、C（﹣1，y ）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，
1 2 3
∴y ＝﹣4﹣m，y ＝﹣3﹣m，y ＝5﹣m．
1 2 3
∵5﹣m＞﹣3﹣m＞﹣4﹣m，∴y ＞y ＞y ．
3 2 1
故选：D．
4．（2023•宝鸡一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x ，x ，x 对应的函数值分别为y ，y ，y .当
1 2 3 1 2 3
﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ，y ，y 三者之间的大小关系是（ ）
1 2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 2 1 3 3 1 2 2 3 1
【分析】首先求出抛物线开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性即可解决问题．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴x＝1，顶点坐标为（1，﹣4），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣4＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x ＜0，1＜x ＜2，x ＞3时，y ＜y ＜y ，
1 2 3 2 1 3
故选：B．
5．（2022秋•法库县期末）已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（2，y ）、B（﹣1，y ）两点，则下列关系式
1 2
一定正确的是（ ）
A．y ＞0＞y B．y ＞0＞y C．y ＞y ＞0 D．y ＞y ＞0
1 2 2 1 1 2 2 1
【分析】依据抛物线的对称性可知：（﹣2，y ）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
1
【解答】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴A（2，y ）关于y轴对称点的坐标为（﹣2，y ），
1 1
∵a＞0，
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y ＞y ＞0；
1 2
故选：C．
6．（2023•温州模拟）若点A（﹣3，y ），B（1，y ），C（2，y ）是抛物线y＝﹣x2+2x上的三点，则
1 2 1
y ，y ，y 的大小关系为（ ）
1 2 3A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 2 3 1 3 2 1 2 1 3
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣x2+2x的开口向下，对称轴为直线x＝1，然后根据三个
点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
而A（﹣3，y ）离直线x＝1的距离最远，B（1，y ）在直线x＝1上，
1 2
∴y ＜y ＜y ．
1 3 2
故选：B．
7．（2023•西安二模）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y ），
1
B（2，y ），C（3，y ），则y ，y ，y 的大小关系为（ ）
2 3 1 2 3
A．y ＜y ＜y B．y ＜y ＜y C．y ＜y ＜y D．y ＜y ＜y
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的对称性和增减性解答即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a为常数，且a＞0），
∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣ ＝2，当x＞2时，y随x的增大而增大，
∴当x＝﹣2与x＝6的函数值相同，
即抛物线经过（6，y ），
1
∵2＜3＜6，
∴y ＜y ＜y ．
2 3 1
故选：D．
8．（2023•上城区模拟）已知抛物线y＝ （x﹣2）2﹣1上的两点P（x ，y ），Q（x ，y ）满足x ﹣x ＝
1 1 2 2 2 1
3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x ＜ ，则y ＞y ＞0 B．若 ＜x ＜2，则y ＞y ＞0
1 1 2 1 2 1
C．若x ＜ ，则y ＞0＞y D．若 ＜x ＜2，则y ＞0＞y
1 1 2 1 2 1
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将 x＝ 代入解析式可得y的值，通过抛
物线的对称性及x ﹣x ＝3求解．
2 1
【解答】解：∵y＝ （x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
当x ＝ 时，x ＝3+ ＝ ，
1 2∴ ＝2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y ＝y ，
1 2
将x＝ 代入y＝ （x﹣2）2﹣1得y＝0，
当x ＜ 时，当x ＞ 时，y ＞0＞y ，
1 2 1 2
当x ＜ 时，y ＞y2＞0，故选项A，C不符合题意，
2 1
∵x ﹣x ＝3，
2 1
∴x ＝x +3，
2 1
∵y＝ （x﹣2）2﹣1，
∴y ＝ （x ﹣2）2﹣1，y ＝ （x +1）2﹣1，
1 1 2 1
当 ＜x ＜2时，﹣ ＜x ﹣2＜0， ＜x +1＜3，
1 1 1
∴﹣1＜ （x ﹣2）2﹣1＜0，0＜ （x +1）2﹣1＜3，
1 1
∴y ＞0＞y ．
2 1
故选：D．
9．（2023春•灌云县期中）已知y＝x2+（m﹣1）x+1，当0≤x≤5且x为整数时，y随x的增大而减小，则
m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣8 B．m≤﹣8 C．m＜﹣9 D．m≤﹣9
【分析】可先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，可求得答案．
【解答】解：∵y＝x2+（m﹣1）x+1，
∴对称轴为x＝﹣ ，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∵当0≤x≤5且x为整数时，y随x的增大而减小，
∴﹣ ≥5，
解得m≤﹣9，
故选：D．
10．（2023•西湖区校级二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞n时，x的取值范围是m﹣3＜x＜1﹣m，
且该二次函数的图象经过点P（3，t2+5），Q（d，4t）两点，则d的值可能是（ ）A．0 B．﹣1 C．﹣4 D．﹣6
【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近
关系，由此可列不等式，求出d范围，进而选出符合条件的选项．
【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下．
对称轴为x＝ ＝﹣1，
∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0，
∴与点Q相比，点P更靠近对称轴，
即3﹣（﹣1）＜|d﹣（﹣1）|，整理得|d+1|＞4．
∴当d+1≥0时，有d+1＞4，
解得d＞3；
当d+1＜0时，有﹣（d+1）＞4，
解得d＜﹣5．
综上，d＞3或d＜﹣5．
故选：D．
11．（2023春•鼓楼区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，
2），D（6，4），那么a﹣b+c的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．t
【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到 D（6，4）关于对称轴对称的点为（﹣
1，4），故当x＝﹣1时可求得y值为4，即可求得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝ ，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝ ，
∴D（6，4）对称点坐标为（﹣1，4），
∴当x＝﹣1时，y＝4，
即a﹣b+c＝4，
故选：C．
12．（2023•全椒县一模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y
＝acx+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y＝acx+b的图象相比较
看是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项
不合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．
故选：B．
13．（2023春•青秀区校级期末）在同一坐标系中，一次函数 y＝﹣mx+1与二次函数y＝x2+m的图象可能
是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据一次函数的b＝1和二次函数的a＝1即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过y轴正半轴，从而排除A和C，分情况探讨m的情况，即可求出答案．
【解答】解：∵二次函数为y＝x2+m，
∴a＝1＞0，
∴二次函数的开口方向向上，
∴排除C选项．
∵一次函数y＝﹣mx+1，
∴b＝1＞0，
∵一次函数经过y轴正半轴，
∴排除A选项．
当m＞0时，则﹣m＜0，
一次函数经过一、二、四象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴正半轴，
∴排除B选项．
当m＜0时，则﹣m＞0
一次函数经过一、二、三象限，
二次函数y＝x2+m经过y轴负半轴，
∴D选项符合题意．
故选：D．
14．（2022秋•滨城区校级期末）在同一坐标系中一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【分析】可先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比较看
是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，矛盾，不合题意；
B、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣ ＞0，得b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，一致，符合题意；
C、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣ ＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，不合题意；D、由y＝ax2+bx可知，抛物线经过原点，不合题意；
故选：B．
15．（2023•濉溪县模拟）已知二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c与
正比例函数y＝﹣x的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2+（b+1）x+c图象得出a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c与x轴
的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），从而判断出二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半
轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣x的交点的横坐标为﹣1，3，即可得出答案．
【解答】解：由二次函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可知，a＞0，c＜0，二次函数y＝ax2+（b+1）x+c
与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0），
∴二次函数y＝ax2+bx+c的开口向上，与y轴交于负半轴，且二次函数y＝ax2+bx+c与正比例函数y＝﹣
x的交点的横坐标为﹣1，3，故B正确．
故选：B．
16．（2023春•鼓楼区校级期末）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直
角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y＝ax2+bx+c的图象相比较
看是否一致．
【解答】解：由 ，解得 或 ，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（ ，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x
（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，
故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
17．（2023春•惠民县期末）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝ax+b在同一坐标系中图象大
致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别根据两个函数的图象得出系数的取值范围，一致的就是符合题意，否则就是不符合题意的．
【解答】解：A：根据一次函数的图象得：a＞0，b＜0，
根据二次函数的图象得：a＞0，b＜0，
故A符合题意；
B：根据一次函数的图象得：a＜0，b＞0，
根据二次函数的图象得：a＞0，b＞0，
故B不符合题意；C：根据一次函数的图象得：a＜0，b＜0，
根据二次函数的图象得：a＜0，b＞0，
故C不符合题意；
D：根据一次函数的图象得：a＞0，b＞0，
根据二次函数的图象得：a＜0，b＜0，
故D不符合题意；
故选：A．
18．（2023•盘龙区校级开学）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④4ac﹣b2＜0；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称轴为直线x＝﹣1和开口向
下，即可解决问题．
【解答】解：由图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①错误．
因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，
所以x＝﹣2时与x＝0时的函数值相等．
又由图象可知，
x＝0时，函数值大于0．
所以x＝﹣2时，函数值也大于0．
即4a﹣2b+c＞0．
故②正确．
因为抛物线开口向下，且对称轴为直线x＝﹣1，
所以当x＝﹣1时，函数有最大值a﹣b+c．
则当x＝m（m为任意实数）时，总有a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣b≥m（am+b）．
故③错误．
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0．
故④正确．
故选：B．
19．（2022秋•玉泉区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，
0），对称轴为直线x＝2，下列结论：（1）abc＜0；（2）4a+c＞2b；（3）3b﹣2c＞0；（4）若点A
（﹣2，y ）、点 、点 在该函数图象上，则 y ＜y ＜y ；（5）4a+2b≥m
1 1 2 3
（am+b）（m为常数）．其中正确的结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据抛物线的对称轴方程和开口方向以及与y轴的交点，可得a＜0，b＞0，c＞0，由对称轴为
直线x＝2，可得b＝﹣4a，当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c；由经过点（﹣1，0），可得a﹣b+c＝
0，c＝﹣5a；再由a＜0，可知图象上的点离对称轴越近对应的函数值越大；再结合所给选项进行判断
即可．
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝2，
∴b＞0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以（1）正确；
∵对称轴为直线x＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b＝﹣4a，
∴b+4a＝0，
∴b＝﹣4a，
∵经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣a＝﹣4a﹣a＝﹣5a，
∴4a+c﹣2b＝4a﹣5a+8a＝7a，
∵a＜0，
∴4a+c﹣2b＜0，
∴4a+c＜2b，故（2）不正确；
∵3b﹣2c＝﹣12a+10a＝﹣2a＞0，故（3）正确；
∵|﹣2﹣2|＝4，|﹣ ﹣2|＝ ，| ﹣2|＝ ，
∴y ＜y ＜y ，故（4）正确；
1 2 3
当x＝2时，函数有最大值4a+2b+c，
∴4a+2b+c≥am2+bm+c，
4a+2b≥m（am+b）（m为常数），故（5）正确；
综上所述：正确的结论有（1）（3）（4）（5），共4个，
故选：B．
20．（2023春•青秀区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示．下列结论：
①abc＜0；
②a﹣b+c＜0；
③m为任意实数，则a+b＞am2+bm；
④3a+c＜0；
⑤若 且x ≠x ，则x +x ＝4．其中正确结论的个数有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＞0， ，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴是直线x＝1，与x轴交点在（3，0）左边，∴二次函数与x轴的另一个交点在（﹣1，0）与（0，0）之间，
∴a﹣b+c＜0，故②正确；
③∵对称轴是直线x＝1，图象开口向下，
∴x＝1时，函数最大值是a+b+c；
∴m为任意实数，则a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故③错误；
④∵ ，
∴b＝﹣2a
由②得a﹣b+c＜0，
∴3a+c＜0，故④正确；
⑤∵ ，
∴ ，
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
∵x ≠x ，
1 2
∴a（x +x ）+b＝0，
1 2
∵ ，b＝﹣2a，
∴x +x ＝2，故⑤错误；
1 2
故正确的有3个，
故选：C．
21．（2022秋•丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若ax +bx ＝ +bx ，且x ≠x ，则x +x ＝2．其中正确的有（ ）
1 2 1 2 1 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
⑤∵ +bx ＝ +bx ，
1 2
∴ +bx ﹣ ﹣bx ＝0，
1 2
∴a（x +x ）（x ﹣x ）+b（x ﹣x ）＝0，
1 2 1 2 1 2
∴（x ﹣x ）[a（x +x ）+b]＝0，
1 2 1 2
而x ≠x ，
1 2
∴a（x +x ）+b＝0，即x +x ＝﹣ ，
1 2 1 2∵b＝﹣2a，
∴x +x ＝2，
1 2
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故选：D．
22．（2022秋•建昌县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示．下列说法正确的是
（ ）
A．2a﹣b＝0
B．当﹣1＜x＜3时，y＜0
C．a+b+c＞0
D．若（x ，y ），（x ，y ）在函数图象上，当x ＜x 时，y ＜y
1 1 2 2 1 2 1 2
【分析】根据二次函数的系数与图象的关系解答即可．
【解答】解：根据对称轴为直线x＝1可得： ，
故2a+b＝0，故A错误；
根据函数图象可得当﹣1＜x＜3时，y＜0，故B正确；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故C错误；
若（x ，y ），（x ，y ）在函数图象上，只有当1＜x ＜x 时，y ＜y ，故D错误；
1 1 2 2 1 2 1 2
故选：B．
23．（2022秋•新抚区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：
①abc＜0；
②b2＞4ac；
③4a﹣2b+c＞0；
④3a+c＞0；
⑤b2﹣4a2＞2ac．其中正确结论的个数是（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，可得a＞0，c＜0，再由对称轴是直线x＝
﹣1，可得abc＜0，故①正确；再根据抛物线与x轴有2个交点，可得b2＞4ac，故②正确；观察图象
得：当x＝﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0，故③错误；观察图象得：当x＝1时，y＞0，再由b＝
2a，可得a+b+c＞0，故④正确；再由b2﹣4a2＝（b+2a）（b﹣2a）＝0，可得⑤正确，即可求解．
【解答】解：观察图象得：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵对称轴是直线x＝﹣1，
∴ ，即b＝2a＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，故②正确；
观察图象得：当x＝﹣2时，y＜0，
即4a﹣2b+c＜0，故③错误；
观察图象得：当x＝1时，y＞0，
∵b＝2a，
∴a+b+c＝3a+c＞0，故④正确；
∵b＝2a，
∴b﹣2a＝0，
∴b2﹣4a2＝（b+2a）（b﹣2a）＝0，
∵a＞0，c＜0，
∴2ac＜0，
∴b2﹣4a2＞2ac，故⑤正确；
故选：C．
24．（2022秋•莲池区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c，其函数y与自变量x之间的部分对应值如表所示．下列结论：①abc＞0；②当﹣3＜x＜1时，y＞0；③4a+2b+c＞0；④关于x的一元二次方程
的解是x ＝﹣4，x ＝2．其中正确的有（ ）
1 2
x … ﹣4 1 …
y … 0 …
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】观察图表可知，开口向下，a＜0，二次函数y＝ax2+bx+c在 与 时，y值相等，得出
对称轴为直线x＝﹣1，即可得出b＜0，在根据图象经过点（1，0），得出c＞0由此判断①；根据二次
函数的对称性求得抛物线与x轴的交点，即可判断②；根据x＝2，y＜0即可判断③；根据抛物线的对
称性求得点 关于直线x＝﹣1的对称点是 ，即可判断④．
【解答】解：①由于二次函数 y＝ax2+bx+c 有最大值，∴a＜0，开口向下，∵对称轴为直线
，∴b＜0，∵图象经过点（1，0），∴c＞0，∴abc＞0，故①说法正确；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，∴点（1，0）关于直线x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∵a＜0，开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0，故②说法正确；
③当x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③说法错误；
④∵点 关于直线 x＝﹣1 的对称点是 ，∴关于 x 的一元二次方程
的解是x ＝﹣4，x ＝2，故④说法正确．
1 2
故选：C．
25．（2023•扎兰屯市一模）如图，函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为 ，下列判断正确
个数为（ ）
①ab＜0；
②b﹣3a＝0；
③ax2+bx≥m﹣2；
④点（﹣4.5，y ）和点（1.5，y ）都在此函数图象上，则y ＝y ；
1 2 1 2
⑤9a＝8﹣4m．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，由顶点坐标可得b＝3a＜0，b﹣3a＝0，以此可判断①②；再
根据二次函数的性质可得当x＝ 时，y取得最大值为m，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离
相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标 代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为 ，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，
∴b＝3a＜0，
∴ab＞0，故①错误；
由上述可知，b＝3a，
∴b﹣3a＝0，故②正确；
∵抛物线开口向下，
∴当x＝ 时，y取得最大值为m，
∴无论x取何值都有ax2+bx+2≤m，
∴ax2+bx≤m﹣2，故③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝ ＝﹣1.5，﹣1.5﹣（﹣4.5）＝1.5﹣（﹣1.5），
∴y ＝y ，故④正确；
1 2
∵函数y＝ax2+bx+2（a≠0）的图象的顶点为 ，
∴ ，
整理得：9a﹣6b+8＝4m，
∵b＝3a，
∴9a﹣18a+8＝4m，
∴9a＝8﹣4m，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故选：C．
26．（2023•深圳模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论正确的个数为（ ）
①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④am2﹣a+bm+b＞0（m为任意实数）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标以及最大（小）值，对称性进行判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴x＝﹣ ＝﹣1＜0，
∴a、b同号，而a＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，
因此①正确；
由于抛物线过点（1，0）点，
∴a+b+c＝0，
又∵对称轴为x＝﹣1，即﹣ ＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a+2a+c＝0，
即3a+c＝0，
而a＞0，
∴2a+c＜0，
因此②正确；
由图象可知，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），而对称轴为x＝﹣1，由对称性可知，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0，
因此③正确；
由二次函数的最小值可知，
当x＝﹣1时，y最小值 ＝a﹣b+c，
当x＝m时，y＝am2+bm+c，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm﹣a+b≥0，
因此④不正确；
综上所述，正确的结论有①②③，共3个，
故选：C．
27．（2023•镜湖区校级二模）如图所示，点A，B，C是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）（x为任意实数）上
三点，则下列结论：①﹣ ＝2 ②函数y＝ax2+bx+c最大值大于4 ③a+b+c＞2，其中正确的有（
）
A．① B．②③ C．①③ D．①②
【分析】抛物线与x轴交于C'和C，C'介于0～1之间，设C'（t，0）其中0＜t＜1．
①﹣ ＝ ，0＜t＜1， ．因此①错误；
②由图象可知，图象顶点纵坐标在4的上方，所以函数最大值大于4．因此②正确
③由图象可知，x＝1时，y＞2，即a+b+c＞2．因此③正确．
【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图．
抛物线与x轴交于C'和C，C'介于0～1之间，设C'（t，0）其中0＜t＜1．
①﹣ ＝ ，∵0＜t＜1，∴ ．因此①错误；
②由图象可知，图象顶点纵坐标在4的上方，所以函数最大值大于4．因此②正确
③由图象可知，x＝1时，y＞3，即a+b+c＞3＞2．因此③正确．
故选：B．
28．（2023•丰顺县一模）如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，有如下结论：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．
其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数图象与系数的关系分别判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，c＞0，
∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＞0，
∴b＜0，
∴abc＜0，
∴①错误；
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②正确；
∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＜2，a＞0，
∵b＞﹣4a，
∴4a+b＞0，
∴③错误；
∵抛物线对称轴为x＝﹣ ＜2，a＞0，
∴b＞﹣4a，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣4a+c＜0，
∴﹣3a+c＜0，
∴3a＞c，
∵a＞0，
∴4a＞c，∴④正确．
故选：B．
29．（2022秋•合川区期末）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，下列结论：①abc＞
0；②a+2b＝0；③a﹣b+c＞0；④ ；⑤若P（﹣4，y ），Q（8，y ）是该函数图象上两
1 2
点，则y ＝y ．正确结论的个数是（ ）
1 2
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及对称性逐个进行判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上得 a＞0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＜0，抛物线与y轴的
交点在y轴的负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，因此①符合题意；
由﹣ ＝2，可知b＝﹣4a，所以a+2b＝﹣7a＜0，因此②不符合题意；
由对称轴和抛物线的对称性，可得当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，故③符合题意；
由图象可知x＝3时，y＜0，故9a+3b+c＜0，即3a+b＜﹣ ，因此④不符合题意；
由对称轴和抛物线的对称性，可得P（﹣4，y ），Q（8，y ）是该函数图象上两点，则y ＝y ．因此⑤
1 2 1 2
符合题意；
综上所述，正确的结论有3个，
故选：B．
30．（2023春•惠民县期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有如下6个结论：
①abc＞0；
②b＜a+c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）；
⑥b2＞4ac；
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据
对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵该抛物线开口方向向下，
∴a＜0．
∵抛物线对称轴方程x＝﹣ ＞0，
∴a、b异号，
∴b＞0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0；故①错误；
②∵当x＝﹣1时，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x＝2时，y＞0，即4a+2b+c＞0；故③正确；
∵对称轴方程x＝﹣ ＝1，
∴b＝﹣2a，
∴ ＝﹣a，
根据抛物线的对称性知，当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＜0，
∴9a+3b+c＝﹣ b+c＜0，
∴2c＜3b．故④正确；
⑤∵x＝1时函数取得最大值，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b），
故⑤正确；
⑥∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac．故⑥正确．
综上所述，正确的有4个．
故选：C．
