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专题 05 抛物线（2 种经典基础练+4 种优选提升练）
抛物线及其标准方程（共15题）
一、单选题
1．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线 的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的标准方程即焦点的定义计算即可.
【详解】 ，此时焦点在纵轴上，为 .
故选：D
2．（23-24高二上·湖南永州·期末）抛物线C： 上的点 与焦点F的距离是
2，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【分析】由抛物线的定义，列方程求解 的值.
【详解】由抛物线的方程可得准线方程为 ，
根据抛物线定义有 ，可得 .
故选：D
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点 的距离比到 轴的距离大 的动点且动点不在 轴
的负半轴的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义即可得解.
【详解】因为动点到定点 的距离比到 轴的距离大 ，
所以动点到定点 的距离等于到 的距离，
所以动点的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线，
所以动点的轨迹方程是 .
故选：B.
4．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点 在抛物线 上，过点 作圆
的切线，若切线长为 ，则点 到 的准线的距离为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．
【答案】A
【分析】由圆的切线的性质可求得 ，结合抛物线方程计算可得点 横坐标，即可得点 到
的准线的距离.
【详解】如图所示：
设切点为Q，则 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
设 ，则由两点间距离公式得到 ，
解得 ，因为 ，所以 ，
因为 的准线方程为 ，所以点 到 的准线的距离PE为 .
故选：A.
5．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物
线围绕其对称轴旋转 而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面
的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反
射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其
顶点到焦点的距离等于（ ）
A． B． C．1m D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为 ，代入点 求出 ，
进而可得答案.
【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系 ，使接收天线的顶点
（即抛物线的顶点）与原点 重合，焦点 在 上，
学科网（北京）股份有限公司设抛物线的标准方程为 ，
由已知得 在抛物线上，所以 ，得 ，
其顶点到焦点的距离等于 .
故选：A.
6．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知抛物线 经过点 ，点 到抛物线
的焦点 的距离为3，则抛物线 的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点 在抛物线上及焦半径公式列方程组求出 ，进而可得准线方程.
【详解】由已知 ，解得 ，
故抛物线 的准线方程为 ，
故选：A.
二、多选题
7．（23-24高二上·浙江温州·期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A． 与 B． 与
学科网（北京）股份有限公司C． 与 D． 与
【答案】CD
【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出
答案.
【详解】对于A项，双曲线 的离心率为 ；椭圆 的离心
率为 ，故A错误；
对于B项，双曲线 的离心率为 ；双曲线 的离心率为
，故B错误；
对于C项，椭圆 的离心率为 ；椭圆 的离心率为
，故C项正确；
对于D项，方程 可化为抛物线 ，方程 可化为抛物线 ，而且
抛物线的离心率均为1，故D项正确.
故选：CD.
三、填空题
8．（23-24高二上·上海奉贤·期末）抛物线 的准线方程为 .
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在 轴上，从而可求准线方程.
【详解】由抛物线 ，可得抛物线的焦点在 轴上，且 ，所以 ，
所以抛物线 的准线方程为 .
故答案为： .
9．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知 是抛物线 上纵坐标为4的点，则 与 的
焦点的距离为 .
【答案】
【分析】求出点P的坐标及焦点坐标，然后由抛物线的定义可得.
【详解】由C： 可得 的横坐标为 ，
抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为：
由抛物线的定义可得， 与 的距离 ．
故答案为： ．
10．（23-24高二上·河北保定·期末）已知 ， ， 是抛物线C： 上的一点，则
周长的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题可知 为抛物线C的焦点，C的准线方程为 ．
设d为点M到C的准线的距离，则 ．
又 ，所以 周长的最小值为 ．
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高二上·福建厦门·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上一点，
的面积为2，则 .
【答案】5
【分析】由 的面积可得点 的横坐标，再由抛物线定义可求 .
【详解】由题意， ， ，
，，所以 ，
则 ，
由抛物线的定义知， .
故答案为：5.
12．（23-24高二上·河南南阳·期末）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，则抛物线的标准方程为
.（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】
根据 即可得答案.
【详解】抛物线的焦点到准线的距离为2，即 ， ，
当焦点在 轴正半轴时，抛物线的标准方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司当焦点在 轴负半轴时，抛物线的标准方程为 ，
当焦点在 轴正半轴时，抛物线的标准方程为 ，
当焦点在 轴负半轴时，抛物线的标准方程为 ，
故答案为： .
四、解答题
13．（22-23高二上·青海西宁·期末）已知双曲线 的渐近线为 ，抛
物线 的焦点为F，点 在抛物线 上，且 ，抛物线 交双曲线 的两条
渐近线于O，A，B三点．
(1)求双曲线 的离心率；
(2)求 的面积．
【答案】(1)
(2)48
【分析】（1）结合抛物线的定义，列出方程，求得 的值，即可得到本题答案；
（2）联立渐近线方程和抛物线方程，求得点 和点 的坐标，即可得到本题答案.
【详解】（1）由题意．双曲线 的渐近线为 ，所以 ，
所以双曲线 的离心率 ．
（2）抛物线 的准线方程为 ，所以 ，解得 ，所以 的方
程为 ，焦点为 ，不妨设A在左侧，B在右侧，
学科网（北京）股份有限公司联立 得 ，所以 ，直线 的方程为 ，
所以点F到直线 的距离为8，所以 的面积为 ．
14．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知抛物线 ： 的焦点为 ，直线
与 交于 ， 两点．
(1)求 的值；
(2)若 上存在点 ，使 的重心恰为 ，求 的值及点 的坐标．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】（1）联立直线和抛物线方程利用韦达定理即可得出结果；
（2）根据抛物线焦点坐标及重心坐标公式可求得 ，代入抛物线方程即可求得
及 .
【详解】（1）联立方程 ： 和 ，
消去 得得 ，
则 ．
（2）设点 ，易知 ，如下图所示：
学科网（北京）股份有限公司由（1）可得 ，
由 的重心恰为 可得 ，即 ；
且 ，可得
由点 在 上，满足 ，可得 ，
解得 ，
所以 ， ，
即点 为 ．
15．（23-24高二上·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，横坐标非负的动
点 到 轴的距离为 ，且 ，记点 的运动轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程；
(2)若 是 上两点，且线段 的中点为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据点点距离公式即可求解，
（2）根据点差法求解直线的斜率，即可由焦点弦公式即可求解.
【详解】（1）设 ，则 ．
由 ，可得 ，
整理得 的方程为 ．
（2）设 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，则 ．
所以 ，
则直线 的方程为 ，显然直线 经过点 ．
由（1）可知， 是以 为焦点的抛物线，所以 ．
抛物线的简单几何性质（共16题）
一、单选题
1．（22-23高二上·江苏苏州·期末）抛物线 上一点 到其对称轴的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用代入法进行求解即可.
【详解】把 代入抛物线方程中，得 ，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线 上一点 到其对称轴的距离为4，
故选：A
2．（22-23高二上·江苏南通·期末）已知 为双曲线 与抛物线 的交点，则 点
的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，联立方程组并求解判断作答.
【详解】依题意， ，则由 解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 点的横坐标为3.
故选：A
3．（23-24高二上·宁夏固原·期末）直线 过抛物线 的焦点 ，且 与该抛物线交于不同的
两点 ､ ，若 ，则弦 的长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】利用抛物线的焦点弦公式可求得弦 的长.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
因为直线 过抛物线 的焦点 ，
且 与该抛物线交于不同的两点 、 ，
则 .
故选：D.
4．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线 的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线
段 的中点横坐标为2，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由中点坐标公式结合定义法求解抛物线焦点弦即可.
【详解】由题意 ，所以 .
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司5．（22-23高二上·重庆·期末）已知 ，则方程 表示的曲线可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由方程 得 或 ，通过分类讨论，结合抛物
线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可.
【详解】方程 ，得 或 ，
当 时，则有 或 ，分别表示开口向上的抛物线满足 的
部分和斜率为正且在 轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合；
当 时，则有 或 ，分别表示开口向上的抛物线满足 的
部分和斜率为负且在 轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合，
综上，方程 表示的曲线可能是C.
故选：C.
二、多选题
6．（24-25高二上·广东江门·期末）已知抛物线 的焦点为 ，直线 ，过 的直
线交抛物线 于 ， 两点，交直线 于点 ， ， ，则
学科网（北京）股份有限公司（ ）
A． 的面积的最大值为2 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对A，设直线 ，联立抛物线方程可得 ，根据
结合韦达定理求解即可；对B，根据韦达定理判断即可；对C，根据韦达定
理结合抛物线方程判断即可；对D，根据题意结合平面向量的坐标运算可得 ，再代入韦达定
理求解即可.
【详解】设直线 ，由 得： ，
则 ；
选项A：
应是最小值为2，故A错误；
选项B： ，故B正确；
选项C： ， ，则 ，故C正确；
选项D：由 ， ，
得： , ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，故D正确.
故选：BCD
7．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知曲线 ， 为C上一点，则下列
说法正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D．
【答案】ABD
【分析】令 替换 看方程是否变化可判定A，利用曲线方程结合消元法转化可判定B、C、D.
【详解】对于A，令 替换 ，显然原曲线方程不变，故曲线C关于y轴对称，A正确；
对于B，由原曲线方程可得 ，
显然 ，上式恒成立，若 ， ，
综上所述 的取值范围为 ，B正确；
对于C，结合上一选项知 ，
显然 时 ，故C错误；
对于D，易知 时， 恒成立，
而 时， ，显然 也成立，D正确.
故选：ABD
学科网（北京）股份有限公司【点睛】思路点睛：对于曲线的对称性可利用坐标的对称互换来验证曲线方程是否成立判定，一些
量的范围及可根据曲线方程的等量关系消元转化来计算.
三、填空题
8．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上
任意一点，当 取最小值时，点 的坐标为 .
【答案】
【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，过点 作 垂直准线交于点 ，由抛物线的定
义可得 ，即可得到 平行于 轴时 取最小值，从而求出 点坐标.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
过点 作 垂直准线交于点 ，则 ，
所以 ，当且仅当 、 、 三点共线时取等号，
即 平行于 轴时 取最小值，此时 ，则 ，即 ，
所以 .
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司9．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与
抛物线 交于 两点，分别过 作准线的垂线，垂足分别为 .若 ，四边形
的面积为 ，则 ．
【答案】
【分析】设出 的方程，与抛物线方程联立，可得 ， 横坐标的积，结合已知向量等式求解 ，
的坐标，即可由面积公式求解.
【详解】由题意可知直线 有斜率且不为0,设 所在直线方程为 ，
联立 ，得 ．
不妨设 在第一象限， , ， , ，
则 ，
又 ， ，即 ，
联立 ，解得 或 （舍 ，
则 ，即 ，进而可得
所以
解得 ，
故答案为：
学科网（北京）股份有限公司10．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点 作倾斜角为 的直线与 交于 ，则
．
【答案】
【分析】写出直线方程并与抛物线联立，再由焦点弦公式计算可得结果.
【详解】易知抛物线 的焦点为 ，倾斜角为 的直线斜率为 ，
所以直线方程为 ，
不妨设 ，联立 消去 整理可得 ；
所以可得 ，
由焦点弦公式可得 .
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高二上·贵州安顺·期末）已知平面直角坐标系内的动点 恒满足：点 到定点
的距离与它到定直线 的距离相等．
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点 的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，证明： ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的定义求解即可；
（2）设 ，联立直线与抛物线的方程，得出韦达定理，再代入计算得 即可.
【详解】（1）设点P的坐标 ，由题设及抛物线的定义可知，
点P的轨迹为以 焦点，准线方程为 的抛物线，
故点P的轨迹C的方程为： ．
（2）证明：由（1）得，曲线C的方程为： ．
由题设可知，直线l的斜率必不为0，故设 ，
由 得： ， ，
设 ， ，则 ， ．
所以， ，故 即 ．
12．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点 ， ， 中恰有两个点在抛物线
上．
(1)求 的标准方程
(2)若点 ， 在 上，且 ，证明：直线 过定点．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线 也关于 轴对称，将点 代入抛物线方程即可求
学科网（北京）股份有限公司解；
（2）设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立结合韦达定理可得 ，即可求定点坐标．
【详解】（1）因为点 ， 关于 轴对称，抛物线 也关于 轴对称，
所以点 ， 在 上，
将点 代入抛物线 得， ，即 ，
所以抛物线 的方程为： ；
（2）由题意可知，直线 的斜率一定存在，则设直线 的方程为 ，
由 消 得： ，
由韦达定理得 ，
所以直线 ，显然恒过定点 ．
13．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点 为抛物线 ： 的焦点，点 在
抛物线 上，且 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，过点 的直线交抛物线于 、 两点，求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；
（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简 ，即可证明结论.
【详解】（1）由题意点 为抛物线 ： 的焦点，点 在抛物线 上，且
.
得 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 .
（2）证明：设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ， ， .
，
，即直线 关于x轴对称，
故 .
14．（23-24高二上·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知直线 与
抛物线 相交于 、 两点.
(1)求 的焦点坐标及准线方程；
(2)求 的面积.
【答案】(1)焦点坐标为 ，准线方程为
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）利用抛物线的方程可直接求出该抛物线的焦点坐标与准线方程；
（2）将直线 的方程与抛物线 的方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式结合韦达定理可求出
的值，并求出原点到直线 的距离，利用三角形的面积公式可求得 的面积.
【详解】（1）解：对于抛物线 ， ，则 ， ，
所以，抛物线 的焦点坐标为 ，准线方程为 .
（2）解：设点 、 ，易知直线 过抛物线 的焦点，
联立 可得 ，由韦达定理可得 ，
由抛物线的焦点弦长公式可得 ，
原点 到直线 的距离为 ，
因此， 的面积为 .
15．（23-24高二上·辽宁·期末）已知抛物线 ： ，过点 作直线 ．
(1)若直线 的斜率存在，且与抛物线 只有一个公共点，求直线 的方程．
(2)若直线 过抛物线 的焦点 ，且交抛物线 于 ， 两点，求弦长 ．
【答案】(1) 或 ；
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）设直线 的方程为 ，联立直线与抛物线方程，消元，由 求出 的值，
即可得解；
（2）首先得到直线 的方程，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式计算可得.
【详解】（1）设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 整理得 ，
则 ，解得 或 ，
故直线 的方程为 或 ；
（2）抛物线 的焦点为 ，则直线 的方程为 ，
设 ， ，
联立 ，消去 得 ，显然 则 ，
故 ．
16．（23-24高二上·上海奉贤·期末）如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条
边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高
度之差至少要有0.5米.
学科网（北京）股份有限公司(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛
物线的方程；
(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求 的值；
(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？
【答案】(1)
(2)
(3)4.0米
【分析】（1）设该抛物线的方程为 ，代入点 可得答案；
（2）直线 与抛物线联立求出 、 可得答案；
（3）设车辆高为h， 代入抛物线方程可得答案.
【详解】（1）如图所示.
依题意，设该抛物线的方程为 ，
因为点 在抛物线上，所以 ， ，
所以该抛物线的方程为 ；
学科网（北京）股份有限公司（2） ，焦点 ， ，设 ， ，则 ，
由 解得， ， ，
所以 ，
则 ；
（3）设车辆高为h，则 ，故 ，
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
所以通过隧道的车辆限制高度为4.0米.
抛物线焦点弦有关综合题（共5题）
1．（23-24高二上·辽宁·期末）在直角坐标系 中，已知点 ，直线 ，过 外一点
作 的垂线，垂足为 ，且 ，记动点 的轨迹为 ，过点 作 的切线，该切线与 轴
分别交于 两个不同的点，则下列结论正确的是（ ）
A．动点 的轨迹方程为
学科网（北京）股份有限公司B．当 时， 三点共线
C．对任意点 （除原点 外），都有
D．设 ，则 的最小值为4
【答案】ABC
【知识点】抛物线定义的理解、求抛物线的切线方程、与抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】根据抛物线的定义易得点 的轨迹方程，得A项；利用 求得点 和点 坐标，再
求出过点 的切线方程，得到点 ，即可判断B项；设出过点 得切线方程，利用判别式推得
，将点 坐标用表示，斜率判断即得C项；利用抛物线定义转化 ，利用三点共线
时距离之和最小即得D项.
【详解】易知动点 的轨迹 是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
所以 的方程为 ，故选项A正确；
当 时，记点 ，由 ，所以 .
不妨设 ，则 .
设过点 的切线方程为 ，
联立方程组 消去 得： .
由 解得： ，
所以过点 的切线方程为 且 ，
因 ，所以 三点共线，故选项B正确；
设过点 的切线方程为 ，
学科网（北京）股份有限公司联立方程组 消去 得： ，
由 可得： .因为 ，
所以 ，化简得： .
则 ，故 ，又 ，
故 ，所以 ，故选项C正确；
因为 ，点 为抛物线上任一点，
故当且仅当三点 共线时， 最小，
即 的最小值为点 到直线 的距离，
所以 ，故选项D错误.
故选：ABC.
2．（23-24高二上·云南昆明·期末）过抛物线 的焦点 的一条直线交抛物线于
两点，下列说法正确的是（ ）
A． 为定值
B．存在直线 ，使得 （ 为坐标原点）
C．若经过点 和抛物线的顶点的直线交准线于点 ，则
D．若 ，则
【答案】ACD
【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题、
根据韦达定理求参数
【分析】依题意设直线 方程为 ，联立直线与抛物线方程，运用韦达定理可判断
学科网（北京）股份有限公司AB；求得直线 方程和准线方程联立，求得交点C，从而判断C；由向量的坐标运算得到
，结合韦达定理与抛物线的焦半径公式可判断D．
【详解】对于A，依题意，直线 的斜率不等于0，设直线 的方程为 ，
联立直线与抛物线的方程 ，消去 得 ，
易知 ，则 ， ，故 ，
所以 为定值，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 不可能，故B错误；
对于C，经过点 和抛物线的顶点的直线 的方程为 ，
则其与准线的交点的坐标 ，
因为 ，所以 ，即 轴，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司对于D，因为 ， ，
则 ，所以 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，即 ，
则 ，
则由抛物线定义得 ，故D正确.
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）过抛物线 的焦点 作直线 与抛物线交于 两
点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 的斜率之积为定值
B．直线 交抛物线的准线于点 ，若 ，则直线l的斜率为
C．若 ，则抛物线的准线方程为
D．直线 交抛物线的准线于点 ，则直线 轴
【答案】ACD
学科网（北京）股份有限公司【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线中的定值问题、直线与抛
物线交点相关问题
【分析】
对于选项A:设直线 ： 并与抛物线联立，借助韦达定理即可判断；对于选项 B:利用
，求出 ，结合斜率公式即可判断；对于选项
C:结合题意可得 ，利用抛物线的定义即可判断；对于选项D: 计算点 的纵坐标与点
的纵坐标，即可判断.
【详解】对于选项A:结合题意：连接 ，
易知直线 的斜率不为 ，故可设直线 ： ，
且设 两点的坐标分别为
联立 可得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .故选项A正确；
学科网（北京）股份有限公司对于选项B:过点 作 垂直准线于 ,设准线与 轴的交点为 ，
易得 ,因为 ，所以 ,
由 ，由抛物线的定义可知： ,
所以 ，
直线l的斜率为 ,
同理结合抛物线的对称性可知：直线l斜率 ，故选项B错误；
对于选项C:过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直准线于点 ,
因为 ，所以 ,
所以点 ，
结合抛物线的定义可知 解得 ，
故抛物线的准线方程为 ，故选项C正确；
学科网（北京）股份有限公司对于选项D: 设 两点的坐标分别为
因为点 在抛物线 上，所以 ，所以点 ，
所以 ，故直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，所以点 ，
所以点 的纵坐标为 ，
结合选项A可知 ，所以 ，所以点 的纵坐标为 ，
因为点 的纵坐标与点 的纵坐标相等，所以直线 轴.故选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：
1.根据抛物线的定义，可以得出一个结论：抛物线上的任意一点P到焦点F的距离都等于点P到准
线的距离，这个结论是抛物线最重要的一条性质，很多有关抛物线的填空题和选择题都是围绕这条
性质设计；
2.何时使用定义：一般情况下，当题意中出现了"抛物线上的点与焦点的连线”或者出现了“抛物
线上的点到准线（或垂直于抛物线对称轴的直线）的距离”的时候，都要优先考虑使用抛物线的定
义来解题；
3.抛物线的标准方程的表达式中含有一次项，根据这个特点，设抛物线上的点P的坐标就可以用一
个变量进行表示，再结合相关的已知信息进行运算.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知抛物线C： 与圆O： 交于A，B
两点，且 ，直线 过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B． 的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为 ，则点M的横坐标为
D．若点 ，则 的周长最小值为
【答案】BCD
【知识点】抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与
抛物线焦点弦有关的几何性质
【分析】求出抛物线的方程，得焦点坐标，设出直线 的方程，与抛物线方程联立方程组应用韦
达定理求弦长 判断A，再根据韦达定理得出焦点弦的性质，然后利用基本不等式求解后判断
B，作出大致图象，过点 作准线的垂线，结合抛物线的定义判断C，过 作准线的垂线 （
是垂足），写出三角形的周长，结合抛物线的定义转化后得出不等关系，从而可得最小值判断D．
【详解】抛物线C： 与圆O： 交于A，B两点，且 ，
则第一象限内的交点 的纵坐标为 ，代入圆方程得横坐标为1，即 ，
所以 ， ，即抛物线方程为 ，焦点为 ，
对选项A，设直线 方程为 ，由 得 ，
设 ，则 ， ，
，
直线 的斜率为 时， ，所以 ，A错误；
学科网（北京）股份有限公司对选项B，由抛物线定义得
，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
因此 的最小值为 ，B正确；
对选项C，如图，过点 作准线的垂线，垂足为 ，交 轴于 ，取 的中点 ，过 作
轴垂线，垂足为 ，
则 ， 是梯形 的中位线，
由抛物线定义可得 ，
所以 ，
所以以 为直径的圆与 轴相切，
因此 为切点，所以 点纵坐标为1，
又 是 中点，所以 点纵坐标为2，
而 是抛物线上的点，因此其横坐标为1，C正确；
学科网（北京）股份有限公司对选项D，过 作 垂直于抛物线的准线，垂足为 ，
所以 的周长为 ，
当且仅当点 的坐标为 时取等号（即 与准线垂直），D正确．
故选：BCD．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．（23-24高二上·安徽宣城·期末）已知抛物线 与圆 交于 两点，
且 ，直线 过 的焦点 ，且与 交于 两点，则 的最小值为 .
【答案】 /
【知识点】基本不等式求和的最小值、根据抛物线上的点求标准方程、与抛物线焦点弦有关的几何
性质、根据韦达定理求参数
【分析】由已知可求得抛物线方程，设直线 与抛物线联立方程组可求得 ，
进而根据基本不式求| 的最小值即可.
【详解】抛物线 与圆 交于 两点，且 ，
得到第一象限交点(1，2)在抛物线 上，所以 ，
解得 ，所以C： ，则 ，
设直线 ，与 联立得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，所以 ，
，
，
，
当且仅当 时等号成立.
即 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：
直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有
关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公
式 ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
抛物线中与面积有关综合题（共5题）
1．（23-24高二上·山东菏泽·期末） 为坐标原点，以 为准线， 为焦点的抛物线 的方程为：
.过 的直线交 于 两点， 于 于 为线段 的中点.
下列选项正确的有（ ）
A． 面积 的最小值为4
B．
学科网（北京）股份有限公司C．直线 与 轴交于 点，过点 作 的垂线与 轴交于 点，则
D． ，当且仅当 轴时取等号
【答案】BC
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、
根据韦达定理求参数
【分析】设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，可得 ， ，
对A， ，而 ，得解；对B，易得 ，又 ，可判
断；对C，设直线 的方程求出点 的横坐标 ，同理求出点 的横坐标 ，结合 ，
，计算可得 可判断；对D，计算 ，
，从而可判断.
【详解】根据题意， ，准线 ，
设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，消去 整理得 ，
， ， ，
，当且仅当 时等号成立，
，故A错误；
又 ， ， ，
， ，
学科网（北京）股份有限公司，又 ， ，故B正确；
易知 ，则直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，解得 ，
因为直线 与直线 垂直，所以直线 的方程为 ，
令 ，求得 ，又 ， ，
，所以 ，故C正确；
，
，
，即 恒成立，故D错误.
故选：BC.
学科网（北京）股份有限公司【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，综合性强难度大.
选项A，由于 ，所以只要求出 的最小值即可判断；选项B，由三角形面积公式结
合抛物线定义可得 ，又 ，即可判断；选项C，设出直线 与直线 的方
程求出 ，结合 ， ，化简计算得 可判断；选项D，利用
韦达定理分别计算 ， 可判断.
2．（23-24高二上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为
阿基米德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 （
），弦 过焦点 ， 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．点 在抛物线 （ ）的准线 上
B．存在点 ，使得
C．
D． 面积的最小值为
【答案】ACD
【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线
交点相关问题、根据韦达定理求参数
学科网（北京）股份有限公司【分析】设 ，联立直线 和抛物线，利用韦达定理得到
，设出过 和过 的切线方程，利用已知得到 ， ，即可判
断选项A，再由 结合相似，即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，
结合特殊情况即可判断选项D.
【详解】设 ，
设直线 ： ，
联立 得 ，
则 ，
设过点 的切线为 ，
联立 得 ，
由 ，可得 ，
同理可得过点 的切线斜率为 ，
所以 处切线方程分别为 ，
联立可得 ，故A正确；
又即 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以 ， ，
即 ，C正确；
又 ，
所以 ，
，
所以
，B错；
由上述知， ，
又因为直线 斜率为 ，
所以 ，
设准线与 轴的交点为 ，
则 面积 ，
当 轴时， 最短（最短为 ），
也最短（最短为 ），
此时 面积取最小值 ，D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD
【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；
（3）数形结合思想.
3．（24-25高二上·云南文山·期末）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与
抛物线交于 ， 两点.点 在 上的射影为 ，点 为坐标原点，则下列说法正确的
是（ ）
A．过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B．以 为直径的圆与 相切
C．设 ，则
D．若 ，则 的面积为
【答案】ACD
【知识点】由弦长求参数、求抛物线上一点到定点的最值、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物
线定义的理解
【分析】分别求出过点 与抛物线相切以及斜率为0的直线，可得A正确，根据抛物线定义
和梯形中位线性质求得 ，得出B错误，由抛物线定义可知 ，利用三点共线
求距离之和最小值，可得C正确，设 的直线方程与抛物线联立，利用韦达定理和弦长公式求解
可得D正确.
学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线必有 ；
当直线斜率存在时，可设直线方程为 ，
当直线与抛物线 有且仅有一个公共点，
联立 整理可得 ，所以 ；
解得 ，所以切线方程为 ，
综上可知，过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有3条，即A正确；
对于B，如下图所示：
设点 在 上的射影为 ，取 的中点为 ， 的中点为 ，
由抛物线定义可知 ，
在梯形 中，有 ，
所以以 为直径的圆与准线相切，切点为 ，可得B错误；
对于C，易知 ，由抛物线定义可知 ，所以 ，
当 三点共线时，有最小值为 ，所以 ，即C正确；
对于D，设 的方程为 ，
联立 整理可得 ，可得 ，因此 ；
学科网（北京）股份有限公司可得 ，因此 ，
又 可得 ，解得 ；
易知 到直线 的距离为 ，
所以 的面积为 ，即D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用抛物线定义，将焦半径与到准线距离互相转化，再由三点
共线求得距离最值问题.
4．（23-24高二上·四川成都·期末）已知抛物线 的焦点为 ， 过 的直线 交于
两点， 过 与 垂直的直线交于 两点，其中 在 轴左侧， 分别为 的中
点，且直线 过定点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 为直线 与直线 的交点;
（i）证明 在定直线上；
（ii）求 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【知识点】求抛物线的轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问
题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）设出直线 ，和 的方程，联立直线与抛物线方程，得
出 ， ，从而求出直线 为 ，再利用
条件，即可求出结果；
（2）（i）根据条件得出 和 ，联立方程，结合
学科网（北京）股份有限公司（1）中的韦达定理，即可求出结果；（ii）过点 作 轴，交直线 于点 ，得出
的面积为 ，再利用几何关系及基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）易知直线 ，直线 斜率均存在，且不为 ，设 ，
， ，
由 ，消 得到 ，由韦达定理得到 ，
所以 ，得到 ，
同理可得 ， ，
所以 ，
故直线 为 ，又直线 过定点 ，
所以 ，得到 ，故 ，
所以抛物线 的方程为 .
（2）（i）因为 ，
则 ，又 ，
所以 ，
同理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司由 ，消 得到 ，
又由（1）知 ，所以 ，
故点 在定直线 上，
（ii）过点 作 轴，交直线 于点 ，
则 的面积为 ，由 ， ，
知 ，当且仅当 时，取等号，
下证 ，
由抛物线的对称性，不妨设 ，则 ，
当 时， ，则点 在 轴左侧，点 也在 轴左侧，有 ，
又直线 过定点 ，此时 ，
同理，当 时， ，则点 在 轴右侧，点 也在 轴右侧，有 ，则
学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 时， ， ，故 恒成立
所以 ，当且仅当 时，取等号.
【点睛】关键点点晴：第二问关键在于借助直线联立及第一问中韦达定理得出点的纵坐标恒为 ，
再根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值.
5．（23-24高二上·福建三明·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， 、 为抛物线
上不同的两点， ，且 于点 ．
(1)求 的值；
(2)过 轴上一点 的直线 交 于 、 两点， 、 在 的准线上的射
影分别为 、 ， 为 的焦点，若 ，求 中点 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数
【分析】（1）求出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，根据
题意可得出 ，利用平面向量数量积的坐标运算可求出 的值；
（2）设 的准线与 轴的交点为 ，根据 可求出 的值，设 的中点 的坐标为
，对直线 的斜率是否存在进行分类讨论，结合斜率公式可求得点 的轨迹方程.
【详解】（1）解：由 及 ，得直线 的斜率 ，
则直线 的方程为 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司设 、 ，
联立 可得 ，则 ，
由韦达定理得 ，于是 ，
由 ，得 ，即 ，即 ，解得 ．
（2）解：由（1）得抛物线的焦点 ，设 的准线与 轴的交点为 ，
因为点 、 ，则 ，
，
由 ，得 ，所以 或 ，
又因为 ，所以 ．
设 的中点 的坐标为 ，
当 与 轴不垂直，即 时，由 ，可得 ，
即 ，即 ，即 ，即 ，
当 与 轴垂直时，点 与点 重合，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司综上， 中点的轨迹方程为 ．
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标
所满足的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到
方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方
程.
直线与抛物线交点综合题（共8题）
1．（23-24高二上·江苏南京·期末）在平面直角坐标系 中，过抛物线 的焦点 作直
线 交抛物线 于 两点，则（ ）
A． 的最小值为2
B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．
D．当 时，直线 的斜率为
【答案】BC
【知识点】抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛
物线交点相关问题
【分析】根据题意设直线 ， ， ，联立方程可得 ，
，进而可得 ， ，根据抛物线的定义结合韦达定理逐项分析
学科网（北京）股份有限公司判断即可得.
【详解】由题意可知：拋物线 ： 的焦点 ，准线为 ，
且直线 的斜率可以不存在，但不为0，
设直线 ， ，
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，可得 ，
可得 ，
，
对于选项A：因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为4，故A错误；
对于选项B：因为线段 的中点为 ， ，
则 到 轴的距离 ，以以线段 为直径的圆的半径为 ，
即圆心到 轴的距离等于该圆半径，故 轴与该圆相切，故B正确；
对于选项C：因为
，
所以 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，且 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，
联立 ，解得 ，
代入 可得 ，解得 ，
所以直线 的斜率为 ，故D错误.
故选：BC.
2．（23-24高二上·上海·期末）已知抛物线 的焦点为 ，经过 的直线 与抛物线 交于
两点，设点M在抛物线的准线上，若 是等腰直角三角形，则 .
【答案】 或
【知识点】抛物线的焦半径公式、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何
性质、根据韦达定理求参数
【分析】根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，分别对直角顶点进行分类讨论，利用三角形相
似以及焦点弦公式列方程即可解得 的取值为 或 .
【详解】如下图所示：
易知抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设直线 的方程为 ， ，设 的中点为 ；
学科网（北京）股份有限公司联立直线与抛物线方程可得 ，显然 ，
则 ，则 ；
可得 ，
因为 是等腰直角三角形，当点 为直角顶点时，
过点 作 轴的垂线 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
如下图所示：
易知 ， ， ，
所以 ，
可得 ， ，可得 ；
又 ， ，所以 ，
即 ，解得 ，可得 ，
所以 ；
同理可得当点 为直角顶点时， ；
当点 为直角顶点时，点 在以 为直径的圆上，如下图所示：
学科网（北京）股份有限公司易知线段 的中点为 ，
可得以 为直径的圆的方程为 ，
当 时，解得 ；
即 ，此时 与 轴平行，
又 是等腰直角三角形，所以 ，即直线 与 轴垂直，
显然此时 ， 满足题意；
故答案为： 或
【点睛】方法点睛：求抛物线中弦长问题时往往利用焦点弦公式，利用韦达定理以及等腰直角三角
形性质，根据圆周角性质列方程可得结果.
3．（23-24高二上·上海·期末）在平面直角坐标系 中，曲线 ，曲线 ．
经过 上一点 作一条倾斜角为 的直线 ，与 交于两个不同的点 ，则 的取值范
围为 ．
【答案】
【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的参数范
围问题、根据韦达定理求参数
【分析】设 ，则直线 的方程为 ，将直线方程与曲线 方程联立，由 可得t
的取值范围，设 的横坐标分别为 ，，结合 的倾斜角为 ，结合弦长公式可将
学科网（北京）股份有限公司表示为关于t的函数，从而求得其取值范围．
【详解】设 ，则直线 的方程为 ，
代入曲线 的方程，得 ，
化简可得： ，①
由于 与 交于两个不同的点，故关于x的方程①的判别式 ，即
，
解得 ，②
设 的横坐标分别为 ，由①知， ，
因此，结合 的倾斜角为 可知，
，
由②可知， ，
故 ，
从而得 ，
故答案为： ．
【点睛】
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这
个函数的最值或范围．
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知椭圆 （ ）的离心率为 ，其上焦点
与抛物线 的焦点重合．若过点 的直线交椭圆 于点 ，过点 与直线 垂直的
直线 交抛物线 于点 （如图所示），则四边形 面积的最小值为 ．
【答案】
【知识点】求椭圆中的弦长、椭圆中三角形（四边形）的面积、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、
抛物线中的三角形或四边形面积问题
【分析】先由条件求得椭圆方程，再分类讨论直线 斜率存在与否，联立直线 与椭圆方程求
得 ，联立直线 与抛物线方程求得 ，从而得到四边形 面积关于 的表达式，由此
得解.
【详解】由题意得 ，即 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ，所以椭圆的方程为 .
由题意得过点 的直线 的斜率不为零，
当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，
设 ， ， ， ，
联立 ，消去 得 ，易知 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ，
所以 ，
抛物线 的方程为 ，直线 方程为 ，
联立 ，消去 得 ，
则 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ， ， ；
当直线 的斜率不存在时， ， ，
所以 ；
综上， ，所以四边形 面积的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
学科网（北京）股份有限公司（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线 的焦点为F，过点F作与x轴不垂直的直
线l交C于点A，B，过点A作垂直于x轴的直线交C于点D，若点M是 的外心，则
的值为 ．
【答案】2
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线的中点弦
【分析】设直线 ，联立方程，利用韦达定理求 以及点M的坐标，即可得结
果.
【详解】由题意可知：抛物线 的焦点 ，可知直线l与抛物线必相交，
设直线 ， ，可得 ，
联立方程 ，消去x得 ，
则 ，
可得 ，
，且 ，即线段 的中点 ，
则线段 的中垂线方程为 ，
由题意可知：点M在x轴上，
令 ，可得 ，即 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 .
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：对于弦中点问题常用“根与系数的关系”求解，在使用根与系数的关系时，在
解决有关弦中点、弦所在直线的斜率、弦中点与原点连线斜率问题时可简化运算，但要注意直线斜
率是否存在．
6．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 ，
过 的直线交 于 ， 两点，当 点的横坐标为1时，点 到抛物线的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，记直线
， 的倾斜角分别为 ， .求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、
根据韦达定理求参数
【分析】（1）关键抛物线的定义可得 ，求出p即可求解；
（2）设 ，将直线 和
学科网（北京）股份有限公司直线BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示 ， ，进而可得
、 ，由中点坐标公式与斜率公式可得 和 ，则
，当 时 最大，由两角差的正切公式和换元法可得
，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）抛物线的准线为 ，
由抛物线的定义知， ，又 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）由（1）知， ，
设 ，
则 ，设直线 ，
由 可得 ，
，
则 ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
，所以 ，同理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司由斜率公式可得 ，
，
又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，需使 最大，则 ，设 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直
线的关系后，设 ，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于
难题.
7．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）在平面直角坐标系 中，抛物线 上一点A的
学科网（北京）股份有限公司横坐标为 ，且点A到焦点F的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)点P在抛物线上，直线 与直线 交于Q点，过点F且平行于 的直线交抛物线于 两
点，且 ，求λ的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】抛物线定义的理解、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.
（2）利用焦半径公式结合两点间距离公式求解边长，建立方程求解参数即可.
【详解】（1）因为点 到焦点F的距离为2，
所以点 到抛物线准线的距离为2，
抛物线的准线方程为 ，点 的横坐标为 ，
，解得 ，
抛物线的方程为 ．
（2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
学科网（北京）股份有限公司设 ，
又 ，
∵ ，则直线OP的方程为 ，
联立 ，消 得 ，
令 ，则 ，
，故 的值为 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是利用焦半径公式结合距离公式表示边长，
然后建立方程，得到所要求的参数值即可．
8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ，直线 ： ，
点 在直线 上移动， 是线段 与 轴的交点，动点 满足： ， ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线交轨迹 于 ， 两点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线
的垂线与轨迹 的另一交点为 ， 的中点为 ，证明： ， ， 三点共线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【知识点】求抛物线的轨迹方程、求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题、根据
学科网（北京）股份有限公司韦达定理求参数
【分析】（1）由题意得点 到点 的距离与到直线 的距离相等，设 ，则
，化简可得结论；
（2）设直线 的方程为 ，设点 ， ，联立直线与抛物线的方程，由韦
达定理求解 点坐标，证明 ， ， 三点纵坐标相等即可．
【详解】（1）由题意可知 是线段 的中点，因为 ，所以 为 的中垂线，
即 ，又因为 ，即点 到点 的距离与到直线 的距离相等，
设 ，则 ，化简得 ，
所以动点 的轨迹 的方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为 ，设点 ， ，
联立 ，得 ，显然 ，
由韦达定理可得 ， ，
又因为直线 的方程为 ，
将 代入，可得 ，即点 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
故 ， ，
故G， ， 三点纵坐标相同，即三点共线．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后
借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务
必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元
二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
抛物线中定值、定点问题（共6题）
1．（23-24高二上·湖北武汉·期末）如图，已知点 是焦点为 的抛物线 上一点，
， 是抛物线 上异于 的两点，且直线 ， 的倾斜角互补，若直线 的斜率为
．
(1)求证：直线 的斜率为定值；
(2)设焦点 到直线 的距离为 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
学科网（北京）股份有限公司(2)
【知识点】求点到直线的距离、抛物线中的定值问题
【分析】（1）设出直线方程，联立后得到 点纵坐标，同理得到 点纵坐标，从而求出直线AB的
斜率，即可证明结果；
（2）根据（1）中结果，得出直线 的方程 ，从而得到 ，再根据
的范围，即可求出结果.
【详解】（1）将点 代入抛物线方程得 ，所以抛物线 ,
设 ， ，
由 ，消 得 ，
由韦达定理得 ，又 ，得到 ，
又因为直线 ， 的倾斜角互补，用 代 可得： ，
因此 ，又 ，
所以 为定值．
（2）由（1）可知， ， ， ，
因此 ，整理得 ，
所以 到直线 的距离 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，得 ，所以 ，
故 ．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2．（23-24高二上·四川成都·期末）已知圆的方程 , , ，抛物线过 两点，
且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C的方程；
(2)已知 ， 设x轴上一定点 ， 过T的直线交轨迹C于 两点（直线
与 轴不重合），求证： 为定值.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析．
【知识点】利用椭圆定义求方程、利用抛物线定义求动点轨迹、椭圆中的定值问题
【分析】（1） 是圆 的切线，分别过 作直线 的垂直，垂足分别为 ，由
，利用椭圆定义可得轨迹方程；
（2）设直线 的方程为 ，设 ，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定
学科网（北京）股份有限公司理得 ，然后计算 ，代入 化简可得．
【详解】（1）如图， 是圆 的切线，分别过 作直线 的垂直，垂足分别为 ，又
是 中点，则 是直角梯形 的中位线， ，
设 是以 为准线的抛物线的焦点，则 ， ，
所以 ，
所以 点轨迹是以 为焦点的椭圆，椭圆长轴长为8，
，则 ，因此 ，
所以抛物线的焦点轨迹方程为 ；
（2）由题意设直线 的方程为 ，设 ，
由 得 ，
， ，
，
代入 ， ，得
学科网（北京）股份有限公司为常
数．
【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中定值问题，解题方法是设交点坐标 ．设直线方
程，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得 （或 ），利用交
点坐标计算出要证明常数的量，然后代入韦达定理的结果化简变形即可得．
3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 ，
过 的直线交 于 ， 两点，当 点的横坐标为1时，点 到抛物线的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的方程；
(2)设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，点 ， 分别是 ， 的中点，记直线
， 的倾斜角分别为 ， .求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据定义求抛物线的标准方程、抛物线中的参数范围问题、直线与抛物线交点相关问题、
根据韦达定理求参数
【分析】（1）关键抛物线的定义可得 ，求出p即可求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）设 ，将直线 和
直线BD，分别联立抛物线方程，利用韦达定理表示 ， ，进而可得
、 ，由中点坐标公式与斜率公式可得 和 ，则
，当 时 最大，由两角差的正切公式和换元法可得
，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）抛物线的准线为 ，
由抛物线的定义知， ，又 ，所以 ，
所以抛物线C的方程为 ；
（2）由（1）知， ，
设 ，
则 ，设直线 ，
由 可得 ，
，
则 ，
直线 ，代入抛物线方程可得 ，
学科网（北京）股份有限公司，所以 ，同理可得 ，
由斜率公式可得 ，
，
又因为直线OP、OQ的倾斜角分别为 ，所以 ，
若要使 最大，需使 最大，则 ，设 ，
则 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最大值为 .
【点睛】关键点睛：本题求解过程中，需要熟练运用斜率公式以及类比的思想方法，在得到两条直
线的关系后，设 ，利用换元法，化简式子，求最值是难点，也是关键点，属于
难题.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点 在 轴的右侧， 到 轴的距离比它到点 的距离
小 .
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)已知点 ，过 的直线与 交于 两点， 分别与 交于点 .
①求证：直线 过定点；
②求 与 面积之和的最小值.
【答案】(1) ;
(2)证明见解析， .
【知识点】求平面轨迹方程、抛物线中的直线过定点问题、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程；
（2）①利用直线过 轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设
直线 方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标；
②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到 两点的纵坐标上来，
再利用韦达定理把面积转化到关于系数 的函数上来求解最值即可.
【详解】（1）设动点 的坐标为 ，
由动点 在 轴的右侧， 到 轴的距离比它到点 的距离小1，
可得： ，移项平方得： ，
整理得： ，
学科网（北京）股份有限公司所以动点 的轨迹 的方程为 ；
（2）
①设过点 的直线为 ，与抛物线 联立方程组，
消 得： ，再设交点坐标 ，则 ，
设过点 的直线 为 ，与抛物线 联立方程组，
消 得： ，再设交点坐标 则 ，
设过点 的直线 为 ，与抛物线 联立方程组，
消 得： ，再设交点坐标 则 ，
设直线 为 ，与抛物线 联立方程组，
消 得： ，由交点坐标 则 ，
而 ，即 ，解得 ，
所以直线 为 ，即直线 过定点 ；
② 与 面积之和为
，
学科网（北京）股份有限公司当 时，即 垂直于 轴时，面积之和取到最小值 .
【点睛】关键点点睛：利用直线过 轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为
定值，反之，如果两个交点的纵坐标之积为定值，就这条直线必过 轴上的一个定点.
5．（23-24高二上·湖北孝感·期末）动点G到点 的距离比到直线 的距离小2.
(1)求G的轨迹的方程；
(2)设动点G的轨迹为曲线C，过点F作斜率为 ， 的两条直线分别交C于M，N两点和P，Q两
点，其中 .设线段 和 的中点分别为A，B，过点F作 ，垂足为D，试问：是
否存在定点T，使得线段 的长度为定值.若存在，求出点T的坐标及定值；若不存在，说明理由.
【答案】(1) ；
(2)存在， ，长度恒为2.
【知识点】利用抛物线定义求动点轨迹、抛物线中的直线过定点问题、抛物线中的定值问题
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线定义求出轨迹方程.
（2）联立直线 与G的轨迹方程，求出点 的坐标，同理可得点 的坐标，再求出直线 ，
并求出直线 所过定点即可得解.
【详解】（1）因为动点G到点 的距离比到直线 的距离小2，
则点G到点 的距离和它到直线 的距离相等，
因此点G的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，
设抛物线方程为 （ ），由 ，得 ，
所以G的轨迹的方程为 .
（2）显然直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，其中 ，且 ，
由 消去y并整理得 ，
学科网（北京）股份有限公司该方程的判别式 ，设 ， ，
则 ， ，
点 ，同理 ， 的斜率 ，
直线 的方程为 ，即 ， ，
所以 ，因此直线 ： 过定点 ，
又 ，则点D在以 为直径的圆 上，
所以存在定点 ，使得线段 的长度为定值2.
【点睛】思路点睛：经过圆锥曲线上满足某条件的两个动点的直线过定点问题，先求出这两个动点
坐标，进而求出直线方程，即可推理计算解决问题.
6．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知抛物线 ， 为抛物线C的焦点，点P为
直线 上任意一点，以P为圆心， 为半径的圆与抛物线C的准线交于A，B两点，过A，
B分别作准线的垂线交抛物线C于点 ，D．且当点P的坐标是 时，线段 的中点是(1，
)．
学科网（北京）股份有限公司(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：直线 过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点
【知识点】根据焦点或准线写出抛物线的标准方程、抛物线中的直线过定点问题
【分析】（1）设 ，求出圆P的方程，令 可得 ，再由韦达
定理结合线段 的中点，可求出 ，即可写出抛物线方程.
（2）设 ，得圆 为 ，令 ，得 ，
设 ，应用韦达定理得到 ，设 的方程为 ，联立直线 的
方程和抛物线的方程可得 ，经过等量代换，可知 ，进而得到直线
的方程，并求出定点的坐标.
【详解】（1）由题得 ，圆P的方程为 ，
令 得： ，
设 ，
则 ，
学科网（北京）股份有限公司则 ，
化简得： ， 抛物线C的方程是 .
（2）设 ，圆P的方程为 ，
令 得 ，设 ，
则 ，
设 的方程为 ，
由 ，消y得 ，
则 ，
即 ，又 ，得
直线 的方程 ，直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性
证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲
线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即
为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证
明.
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