曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第十章 圆锥曲线
10.1 椭圆
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2013课标Ⅰ理,10,5分)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点.若
a2 b2
AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
45 36 36 27
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
27 18 18 9
0+1 1
答案 D 直线AB的斜率k= = ,
3−1 2
设A(x,y),B(x,y),
1 1 2 2
{x2 y2
1+ 1=1,①
a2 b2
则
x2 y2
2+ 2=1,②
a2 b2
①-②得
y
1
−y 2=-b2
·
x
1
+x
2.
x −x a2 y + y
1 2 1 2
即k=-b2 × 2 ,
a2 −2
∴b2 =1. ③
a2 2
又a2-b2=c2=9, ④
由③④得a2=18,b2=9.
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =1,故选D.
18 9
评析 本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了线段的中点问题.本题也可利用根与系数的关系解决中点
问题.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x2
+
y2
=1(m>0)的左焦点为F(-4,0),则m=( )
1
25 m2
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.
1
2.(2013广东文,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
3 4 4 √3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
4 2 4 3
1 c 1
答案 D 由右焦点为F(1,0)可知c=1,因为离心率等于 ,即 = ,故a=2,由a2=b2+c2知b2=3,故椭圆C的方
2 a 2
x2 y2
程为 + =1.故选D.
4 3
x2 y2
3.(2014辽宁,理15,文15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点
9 4
分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
解析 根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F、F 为椭圆C的焦点,连接PF、PF.显然PF 是
1 2 1 2 1
△MAN的中位线,PF 是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF|+2|PF|=2(|PF|+|PF|)=2×6=12.
2 1 2 1 2
评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF、PF 利用椭圆的定义是求解的关键.
1 2
考点二 椭圆的几何性质
1.(2018课标Ⅰ文,4,5分)已知椭圆C:x2 +y2
=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为( )
a2 4
1 1 √2 2√2
A. B. C. D.
3 2 2 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质.
由题意可知c=2,b2=4,
∴a2=b2+c2=4+22=8,则a=2√2,
c 2 √2
∴e= = = ,故选C.
a 2√2 2
方法总结 求椭圆离心率的常用方法:
c
(1)求得a,c的值,直接代入e= 求解.
a
(2)列出关于a,b,c的齐次方程,结合b2=a2-c2消去b,从而转化为关于e的方程求解.
2.(2018课标Ⅱ文,11,5分)已知F,F 是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF⊥PF,且∠PFF=60°,则C的
1 2 1 2 2 1
离心率为( )
√3
A.1- B.2-√3
2
√3−1
C. D.√3-1
2
答案 D 本题主要考查椭圆的定义和几何性质.
不妨设椭圆方程为x2 +y2
=1(a>b>0).
a2 b2
在Rt△FPF 中,因为∠PFF=60°,|FF|=2c,
1 2 2 1 1 2
所以|PF|=c,|PF|=√3c.
2 1
由椭圆的定义得|PF|+|PF|=2a,
1 2
即√3c+c=2a,
c 2
所以椭圆的离心率e= = =√3-1.故选D.
a √3+1
疑难突破 利用椭圆的定义|PF|+|PF|=2a,结合题意得到a与c的等量关系是求解的关键,也是难点的突破口.
1 2
1
3.(2016课标Ⅰ文,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的 ,则
4
该椭圆的离心率为( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
b c 1
答案 B 如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|·|OF|=|AF|·|OB|,即bc=a· ,所以e= = .故选B.
2 a 2
1 b
易错警示 椭圆中心到直线l的距离为 ×2b= ,容易将短轴长误认为b.
4 2
评析 本题考查椭圆的基本知识,利用三角形的面积建立等量关系是求解的关键.
4.(2015福建文,11,5分)已知椭圆E:x2 +y2
=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交
a2 b2
4
椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于 ,则椭圆E的离心率的取值范围是( )
5
A.( √3] B.( 3] C.[√3 ) D.[3 )
0, 0, ,1 ,1
2 4 2 4
答案 A 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),
则由点M(0,b)到直线l的距离不小于4,得 4b ≥4,即b≥1.所以e2=c2 =a2−b2 =4−b2 ≤3,又
5 √32+(−4) 2 5 a2 a2 4 4
0<e<1,所以e∈( √3],故选A.
0,
2
评析 本题考查了椭圆的定义及性质.考查数形结合的思想.解题关键在于发现A,B两点关于原点对称,从而
得出|AF|+|BF|=2a.
5.(2013课标Ⅱ文,5,5分)设椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F,P是C上的
1 2
a2 b2
点,PF⊥FF,∠PFF=30°,则C的离心率为( )
2 1 2 1 2
√3 1 1 √3
A. B. C. D.
6 3 2 3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
2c
答案 D 在Rt△PFF 中,令|PF|=1,因为∠PFF=30°,所以|PF|=2,|FF|=√3.所以e= =
2 1 2 1 2 1 1 2
2a
|F
1
F
2
| =√3.故选D.
|PF |+|PF | 3
1 2
6.(2013四川文,9,5分)从椭圆x2 +y2
=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F,A是椭圆与x轴
1
a2 b2
正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( )
√2 1 √2 √3
A. B. C. D.
4 2 2 2
答案 C 左焦点为F(-c,0),PF⊥x轴,
1 1
当x=-c时, c2 + y2 P=1⇒ y2=b2(
1−
c2 )= b4 ⇒y
P
=b2 (负值不合题意,已舍去),点P(
−c,
b2 ),
a2 b2 P a2 a2 a a
b b2
由斜率公式得k =- ,k =- .
AB a OP ac
b b2
∵AB∥OP,∴k =k ⇒- =- ⇒b=c.
AB OP a ac
∵a2=b2+c2=2c2,∴c2 =1⇒e=c=√2.故选C.
a2 2 a 2
7.(2013辽宁文,11,5分)已知椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连
a2 b2
4
接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则C的离心率为( )
5
3 5 4 6
A. B. C. D.
5 7 5 7
82+102−x2 4
答案 B 如图,设|AF|=x,则cos∠ABF= = .
2×8×10 5曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解得x=6,∴∠AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF|=8,且∠FAF=∠FAB+∠FBA=90°,△FAF 是直角三
1 1 1
c 5
角形,∴|FF|=10,故2a=8+6=14,2c=10,∴ = .故选B.
1
a 7
评析 本题考查余弦定理,椭圆的几何性质,考查了数形结合思想及运算求解能力.
8.(2012课标理,4,5分)设F,F 是椭圆E:x2 +y2 =1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=3a上一点,△FPF 是底角
1 2 2 1
a2 b2 2
为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
3 3 3 1
答案 C 设直线x= a与x轴交于点Q,由题意得∠PFQ=60°,|FP|=|FF|=2c,|FQ|= a-c,∴ a-c= ×2c,∴e=
2 2 1 2 2
2 2 2 2
c 3
= ,故选C.
a 4
评析 本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.
x2 y2
9.(2011课标全国文,4,5分)椭圆 + =1的离心率为( )
16 8
1 1 √3 √2
A. B. C. D.
3 2 3 2
x2 y2
答案 D 在 + =1中,a2=16,b2=8,c2=a2-b2=16-8=8,
16 8
c 2√2 √2
∴c=2√2,∴e= = = ,故选D.
a 4 2
10.(2016课标Ⅲ,11,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶
a2 b2
点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中
点,则C的离心率为 ( )
1 1 2 3
A. B. C. D.
3 2 3 4曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
答案 A 由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-
c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N( ka),由于B,M,N三点共线,所以
0,
2
ka
k(a−c) 1 a−c 1
k =k ,即 2 = ,所以 = ,即a=3c,所以e= .故选A.
BN BM −c−a 2 a+c 3
−a
思路分析 根据题意设出过点A的直线l的方程,从而求出点M和点E的坐标,进一步写出线段OE中点的
坐标,利用三点共线建立关于a,c的方程,得到a,c的关系式,从而求出椭圆的离心率.求解本题的关键在于写出
各对应点的坐标,难点在于参数的选择.
c
方法点拨 求解圆锥曲线的离心率问题的关键是要通过其几何性质找到a,c所满足的关系式,从而利用e=
a
求得离心率.
2.(2014江西理,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-1的直线与椭圆C:x2 +y2
=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是
2 a2 b2
线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于 .
√2
答案
2
x2 y2
解析 设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则 1+ 1=1①,
a2 b2
x2 y2
2
+
2
=1②.
a2 b2
①、②两式相减并整理得
y
1
−y 2=-b2
·
x
1
+x
2.
x −x a2 y + y
1 2 1 2
把已知条件代入上式得,-1=-b2 ×2,
2 a2 2
