北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
8.3 直线、平面平行的判定和性质
基础篇 固本夯基
考点一 直线与平面平行的判定和性质
1. (2021江苏扬州大学附中2月检测,5)已知直三棱柱ABC-ABC 中,M,N分别是AB,AB的中点,P点在
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线段BC上,则NP与平面AMC 的位置关系是( )
1 1
A.垂直
B.平行
C.相交但不垂直
D.要依P点的位置而定
答案 B
2.(2021济南二模,7)已知正四面体ABCD的棱长为2,平面α与棱AB、CD均平行,则α截此正四面体所得截
面面积的最大值为( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 A
3.(多选)(2021山东青岛胶州调研,10)在三棱柱ABC-ABC 中,E,F,G分别为线段AB,AB,AA 的中点,下列说
1 1 1 1 1 1
法正确的是( )
A.平面ACF∥平面BCE
1 1
B.直线FG∥平面BCE
1
C.直线CG与BF异面
D.直线CF与平面CGE相交
1
答案 AC
4.(2020福建漳州适应性测试,16)已知正方体ABCD-ABCD 的棱长为3,点N是棱AB 的中点,点T是棱
1 1 1 1 1 1
CC 上靠近点C的三等分点,动点Q在正方形DDAA(包含边界)内运动,且QB∥平面DNT,则动点Q的轨迹
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的长为 .
答案 √10
5.(2022届山东潍坊10月过程性测试,18)如图,平面ABCD⊥平面AEBF,四边形ABCD为矩形,△ABE和
△ABF均为等腰直角三角形,且∠BAF=∠AEB=90°.
(1)求证:平面BCE⊥平面ADE;
(2)若点G为线段FC上任意一点,求证:BG∥平面ADE.
证明 (1)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB,又因为平面ABCD⊥平面AEBF,BC⊂平面ABCD,平面
ABCD∩平面AEBF=AB,所以BC⊥平面AEBF,又因为AE⊂平面AEBF,所以BC⊥AE.因为∠AEB=90°,即
AE⊥BE,且BC、BE⊂平面BCE,BC∩BE=B,所以AE⊥平面BCE,又因为AE⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平
面BCE.
(2)因为BC∥AD,AD⊂平面ADE,BC⊄平面ADE,所以BC∥平面ADE.因为△ABF和△ABE均为等腰直角三
角形,且∠BAF=∠AEB=90°,所以∠EAB=∠ABF=45°,所以AE∥BF,又AE⊂平面ADE,BF⊄平面ADE,所以BF∥
平面ADE,又BC∩BF=B,所以平面BCF∥平面ADE.又BG⊂平面FBC,所以BG∥平面ADE.
6.(2022届广东佛山一中10月月考,20)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD=√2,
1
四边形ABCD为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD= AD=1,E为PA的中点.
2
(1)证明:EB∥平面PCD;
(2)求平面PAD与平面PCD所成的二面角θ的正弦值.
解析 (1)证明:取AD的中点O,连接EO,OB,
∵E为PA的中点,O为AD的中点,∴OE∥PD,
又OE⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,∴OE∥平面PCD,
1
又∵BC∥AD,BC= AD,
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∴四边形BCDO为平行四边形,∴BO∥CD,
又OB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,
∴BO∥平面PCD,又OE∩BO=O,∴平面EBO∥平面PCD,
又∵BE⊂平面EBO,∴BE∥平面PCD.
(2)连接PO,∵PA=PD,O为AD的中点,∴PO⊥AD,
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
所以PO⊥平面ABCD,取BC的中点M,连接OM,
∵四边形ABCD是等腰梯形,∴OM⊥AD,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C(√3 1 ),
, ,0
2 2
{ n·⃗PD= y-z=0,
∴ ⃗PD =(0,1,-1), ⃗CD =( - √3 , 1 ,0 ),设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 √3 1
2 2 n·⃗CD=- x+ y=0,
2 2
令x=1,则y=z=√3,则n=(1,√3,√3),
易知平面PAD的一个法向量为m=(1,0,0),
|m·n| 1 √42
∴|cos θ|=|cos<m,n>|= = ,则sin θ= .
|m||n| √7 7
7.(2019江苏,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-ABC 中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:
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(1)AB∥平面DEC;
1 1 1
(2)BE⊥CE.
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证明 (1)因为D,E分别为BC,AC的中点,
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-ABC 中,AB∥AB,所以AB∥ED.
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又因为ED⊂平面DEC,AB⊄平面DEC,
1 1 1 1
所以AB∥平面DEC.
1 1 1
(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.因为三棱柱ABC-ABC 是直棱柱,所以CC⊥平面ABC.又因
1 1 1 1
为BE⊂平面ABC,所以CC⊥BE.因为CC⊂平面AACC,AC⊂平面AACC,CC∩AC=C,所以BE⊥平面
1 1 1 1 1 1 1
AACC.因为CE⊂平面AACC,所以BE⊥CE.
1 1 1 1 1 1
8.(2020江苏,15,14分)在三棱柱ABC-ABC 中,AB⊥AC,BC⊥平面ABC,E,F分别是AC,BC的中点.
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(1)求证:EF∥平面ABC;
1 1
(2)求证:平面ABC⊥平面ABB.
1 1
证明 (1)因为E,F分别是AC,BC的中点,所以EF∥AB,又EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平
1 1 1 1 1 1 1
面ABC.
1 1
(2)因为BC⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以BC⊥AB.又AB⊥AC,BC⊂平面ABC,AC⊂平面
1 1 1 1
ABC,BC∩AC=C,所以AB⊥平面ABC,又因为AB⊂平面ABB,所以平面ABC⊥平面ABB.
1 1 1 1 1 1
9.(2020北京,16,13分)如图,在正方体ABCD-ABCD 中,E为BB 的中点.
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(1)求证:BC∥平面ADE;
1 1
(2)求直线AA 与平面ADE所成角的正弦值.
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解析 (1)证明:∵ABCD-ABCD 为正方体,∴DC∥AB,DC=AB.又
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AB∥AB,AB=AB,∴DC∥AB,DC=AB,∴四边形ABCD 为平行四边形,∴AD∥BC,又AD⊂平面
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ADE,BC⊄平面ADE,∴BC∥平面ADE.
1 1 1 1 1
(2)不妨设正方体的棱长为2,如图,以{ , , }为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,
⃗AD⃗AB⃗A A
1
则A(0,0,0),A(0,0,2),D(2,0,2),E(0,2,1),∴ =(0,0,2), =(2,0,2), =(0,2,1),设平面ADE的法向量为
1 1 ⃗A A ⃗AD ⃗AE 1
1 1
n=(x,y,z),直线AA 与平面ADE所成的角为θ,
1 1
则
{n·⃗AD
1
=0, 即{2x+2z=0, 令z=-2,则{x=2,
n·⃗AE=0, 2y+z=0, y=1,
此时n=(2,1,-2),
|n·⃗A A | |-4| 2
∴sin θ=|cos<n,⃗A A >|= 1 = = ,
1 |n||⃗A A | √4+1+4×2 3
1
2
∴直线AA 与平面ADE所成角的正弦值为 .
1 1
3
考点二 平面与平面平行的判定和性质
1.(2022届重庆巴蜀中学11月月考,8)在棱长为2的正方体ABCD-ABCD 中,点E,F,G,H分别为棱
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AB,BC,CD,AD 的中点,若平面α∥平面EFGH,且平面α与棱AB,BC,BB分别交于点P,Q,S,其中点Q是
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棱BC 的中点,则三棱锥B-PQS的体积为( )
1 1 1
1 1 1
A.1 B. C. D.
2 3 6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 D
2.(2019课标Ⅱ文,7,5分)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一平面
答案 B
3.(2021河北邢台月考,19)在直四棱柱ABCD-ABCD 中,底面ABCD为正方形,AA=2AB=4,M,N,P分别是
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AD,DD,CC 的中点.
1 1
(1)证明:平面MNC∥平面ADP;
1
(2)求直线DP与平面MNC所成角的正弦值.
解析 (1)证明:因为M,N,P分别是AD,DD,CC 的中点,所以MN∥AD,CN∥PD.
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又AD⊄平面MNC,MN⊂平面MNC,所以AD∥平面MNC,同理PD∥平面MNC,
1 1 1
又AD∩PD=D,所以平面MNC∥平面ADP.
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(2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则D(0,0,0),P(0,2,2),M(1,0,0),N(0,0,2),C(0,2,0),则
⃗DP=(0,2,2),⃗MN=(-1,0,2),⃗MC=(-1,2,0).
设平面MNC的法向量为n=(x,y,z),
则{⃗MN·n=-x+2z=0,
令z=1,得n=(2,1,1).
⃗MC·n=-x+2y=0,
设直线DP与平面MNC所成角为θ,北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
则sin θ=|cos< ,n>|=|⃗DP·n| =√3,
⃗DP
|⃗DP||n| 3
√3
所以直线DP与平面MNC所成角的正弦值为 .
3
综合篇 知能转换
A组
考法一 判断或证明线面平行的方法
1.(2022届T8联考,7)如图,已知四棱柱ABCD-ABCD 的底面为平行四边形,E,F,G分别为棱AA,CC,CD
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的中点,则( )
A.直线BC 与平面EFG平行,直线BD 与平面EFG相交
1 1
B.直线BC 与平面EFG相交,直线BD 与平面EFG平行
1 1
C.直线BC、BD 都与平面EFG平行
1 1
D.直线BC、BD 都与平面EFG相交
1 1
答案 A
2.(2022届湖南岳阳一中入学考试,18)如图,在三棱柱ABC-ABC 中,侧面ABBA 是菱形,∠BAA=60°,E是棱
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BB 的中点,CA=CB,F在线段AC上,且AF=2FC.
1
(1)证明:CB∥平面AEF;
1 1
(2)若CA⊥CB,平面CAB⊥平面ABBA,求二面角F-AE-A的余弦值.
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解析 (1)证明:连接AB 交AE于点G,连接FG,
1 1
易得△AGA
1
∽△B
1
GE,所以 AG = A A 1=2,又因为AF=2,所以AF= AG ,所以FG∥CB
1
,又CB
1
⊄平面
GB EB FC FC GB
1 1 1
AEF,FG⊂平面AEF,所以CB∥平面AEF.
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