曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
8.2 直线、平面平行的判定与性质
五年高考
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.(2018课标Ⅰ理,12,5分,综合性)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成
的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )
3√3 2√3 3√2 √3
A. B. C. D.
4 3 4 2
答案 A
2.(2022新高考Ⅱ,20,12分,综合性)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为
PB的中点.
(1)证明:OE∥平面PAC;
(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.
解析 (1)证法一:连接OA,
∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,
∴PO⊥OA,PO⊥OB,∴∠POA=∠POB=90°,
又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB,
取AB的中点D,连接OD、DE,则OD⊥AB,
又∵AB⊥AC,∴OD∥AC,
又∵OD⊄平面PAC,AC⊂平面PAC,
∴OD∥平面PAC,
又D、E分别为AB、PB的中点,∴DE∥PA,
又∵DE⊄平面PAC,PA⊂平面PAC,∴DE∥平面PAC,
又OD、DE⊂平面ODE,OD∩DE=D,
∴平面ODE∥平面PAC,
又OE⊂平面ODE,∴OE∥平面PAC.
证法二:连接OA,∵PO是三棱锥P-ABC的高,
∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,
∴∠POA=∠POB=90°,又PA=PB,PO=PO,
∴△POA≌△POB,∴OA=OB,
延长BO交AC于点F,连接PF,
易知在Rt△ABF中,O为BF的中点,
∵E为PB的中点,∴OE∥PF,
又OE⊄平面PAC,PF⊂平面PAC,曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
∴OE∥平面PAC.
(2)取AB的中点M,连接OM,OA,以M为坐标原点,MB,MO所在直线分别为x,y轴,过点
M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
∵PO=3,PA=5,∴结合(1)可知OA=OB=4,
又∠ABO=∠CBO=30°,∴OM=2,MB=2√3,
∴P(0,2,3),B(2 ( 3),
√3,0,0),A(−2√3,0,0),E √3,1,
2
∵AB⊥AC,∠CBA=60°,AB=4√3,
∴AC=12,C(-2√3,12,0).
设平面AEB的法向量为n =(x ,y ,z ),
1 1 1 1
⃗AB=(4√3 ,0,0), ⃗AE= ( 3√3,1, 3),
2
∴{⃗AB·n =0, { x 1 =0,
1 即 3
⃗AE·n =0, 3√3x + y + z =0,
1 1 1 2 1
令y =3,则z =-2,∴n =(0,3,-2).
1 1 1
设平面AEC的法向量为n =(x ,y ,z ),
2 2 2 2
⃗AC=(0,12,0),
∴{⃗AC·n =0, { y 2 =0,
2 即 3
⃗AE·n =0, 3√3x + y + z =0,
2 2 2 2 2
令x =√3,则z2=−6,∴n2=(√3,0,-6),
2
∴cos<n ,n >= n ·n 12 4√3,
1 2 1 2 = =
|n |·|n | √13×√39 13
1 2
11
设二面角C-AE-B的平面角为θ,则sin θ=√1-cos2θ= ,
13
11
∴二面角C-AE-B的正弦值为 .
13
3.(2020江苏,15,14分,综合性)在三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥AC,B
1
C⊥平面ABC,E,F分别
是AC,B C的中点.
1
(1)求证:EF∥平面AB
1
C
1
;
(2)求证:平面AB
1
C⊥平面ABB
1
.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
证明 (1)因为E,F分别是AC,B
1
C的中点,所以EF∥AB
1
,又EF⊄平面AB
1
C
1
,AB 1⊂平面
AB
1
C
1
,所以EF∥平面AB
1
C
1
.
(2)因为B
1
C⊥平面ABC,AB⊂平面ABC,所以B
1
C⊥AB.又AB⊥AC,B
1
C⊂平面AB
1
C,AC⊂平
面AB
1
C,B
1
C∩AC=C,所以AB⊥平面AB
1
C,又因为AB⊂平面ABB
1
,所以平面AB
1
C⊥平面
ABB .
1
4.(2019课标Ⅰ理,18,12分,综合性)如图,直四棱柱ABCD-A B C D 的底面是菱
1 1 1 1
形,AA
1
=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB
1
,A
1
D的中点.
(1)证明:MN∥平面C
1
DE;
(2)求二面角A-MA -N的正弦值.
1
解析 (1)证明:连接B
1
C,ME.因为M,E分别为BB
1
,BC的中点,所以ME∥B
1
C,且ME=
1 1
B1C.又因为N为1DA的中点,所 以N=DA
1
D.由题设知A
1
B
1
DC,所以四边形
2 2
A B CD是平行四边形,所以B CA D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,所
1 1 1 1
以MN∥ED.又MN⊄平面C
1
DE,所以MN∥平面C
1
DE.
(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,
⃗DA
,
⃗DE
,
⃗DD
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,
1
建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,
则A(2,0,0),A (2,0,4),M(1, ,2),N(1,0,2),则 =(0,0,-4), ,-2),
1 √3 ⃗A A ⃗A M=(−1,√3 ⃗A N
1 1 1
=(-1,0,-2), ,0).
⃗MN=(0,−√3曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
{m·⃗A M=0,
设m=(x,y,z)为平面A MA的法向量,则 1
1
m·⃗A A=0.
1
所以{-x+√3 y-2z=0, ,1,0).
可 取m=(√3
-4z=0.
{n·⃗MN=0,
设n=(p,q,r)为平面A MN的法向量,则
1
n·⃗A N=0.
1
所以{-√3q=0, 可取n=(2,0,-1).
-p-2r=0.
m·n 2√3 √15
于是cos<m,n>= = = ,
|m||n| 2×√5 5
√10
所以二面角A-MA -N的正弦值为 .
1
5
5.(2019江苏,16,14分,综合性)如图,在直三棱柱ABC-A B C 中,D,E分别为BC,AC的中
1 1 1
点,AB=BC.求证:
(1)A
1
B 1∥平面DEC
1
;
(2)BE⊥C
1
E.
证明 (1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB∥A
1
B
1
,所以A
1
B 1∥ED.又因为ED⊂平面DEC
1
,A
1
B 1⊄平面
DEC ,
1
所以A
1
B 1∥平面DEC
1
.
(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
是直棱柱,所以C
1
C⊥平面ABC.又因为BE⊂平面ABC,所以
C
1
C⊥BE.
因为C
1
C⊂平面A
1
ACC
1
,AC⊂平面A
1
ACC
1
,C
1
C∩AC=C,所以BE⊥平面A
1
ACC
1
.
因为C
1
E⊂平面A
1
ACC
1
,所以BE⊥C
1
E.
6.(2020课标Ⅱ文,20,12分,综合性)如图,已知三棱柱ABC-A B C 的底面是正三角形,侧面
1 1 1
BB C C是矩形,M,N分别为BC,B C 的中点,P为AM上一点.过B C 和P的平面交AB
1 1 1 1 1 1
于E,交AC于F.
(1)证明:AA 1∥MN,且平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F;
π
(2)设O为△A
1
B
1
C
1
的中心.若AO=AB=6,AO∥平面EB
1
C
1
F,且∠MPN= ,求四棱锥B-
3
EB C F的体积.
1 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
解析 (1)证明:因为M,N分别为BC,B
1
C
1
的中点,所以MN∥CC
1
.又由已知得AA 1∥CC
1
,故
AA 1∥MN.
因为△A
1
B
1
C
1
是正三角形,N为B
1
C
1
的中点,所以B
1
C 1⊥A
1
N.又B
1
C 1⊥MN,A
1
N∩MN=N,故
B
1
C 1⊥平面A
1
AMN.因为B
1
C 1⊂平面EB
1
C
1
F,所以平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F.
(2)AO∥平面EB
1
C
1
F,AO⊂平面A
1
AMN,平面A
1
AMN∩平面EB
1
C
1
F=PN,所以AO∥PN.又
AP∥ON,所以四边形APNO是平行四边形,所以PN=AO=6,AP=ON=
1 2 1
AM=√3,PM= AM=2√3,EF= BC=2.
3 3 3
易证BC∥平面EB
1
C
1
F,
所以四棱锥B-EB C F的顶点B到底面EB C F的距离等于点M到底面EB C F的距离.
1 1 1 1 1 1
作MT⊥PN,垂足为T,则由(1)知,MT⊥平面EB
1
C
1
F,
故MT=PMsin∠MPN=3.
1
底面EB C F的面积为 ×(B C +EF)·PN=
1 1 1 1
2
1 1
×(6+2)×6=24.所以四棱锥B−EB C F的体积为×24×3=24.
2 1 1 3
7.(2020北京,16,13分,综合性)如图,在正方体ABCD-A B C D 中,E为BB 的中点.
1 1 1 1 1
(1)求证:BC 1∥平面AD
1
E;
(2)求直线AA 与平面AD E所成角的正弦值.
1 1
解析 (1)证明:∵ABCD-A B C D 为正方体,
1 1 1 1
∴D
1
C 1∥A
1
B
1
,D
1
C
1
=A
1
B
1
.
又AB∥A
1
B
1
,AB=A
1
B
1
,
∴D
1
C 1∥AB,D
1
C
1
=AB,
∴四边形ABC D 为平行四边形,
1 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
∴AD 1∥BC
1
,又AD 1⊂平面AD
1
E,BC 1⊄平面AD
1
E,
∴BC 1∥平面AD
1
E.
(2)不妨设正方体的棱长为2,如图,以{ , , }为正交基底建立空间直角坐标系
⃗AD ⃗AB ⃗A A
1
Axyz,
则A(0,0,0),A (0,0,2),D (2,0,2),E(0,2,1),
1 1
∴ =(0,0,2), =(2,0,2), =(0,2,1).
⃗A A ⃗AD ⃗AE
1 1
设平面AD E的法向量为n=(x,y,z),
1
直线AA 与平面AD E所成的角为θ,
1 1
则
{n·⃗AD
1
=0,
即
{2x+2z=0,
令z=−2,则
{x=2,
n·⃗AE=0, 2y+z=0, y=1,
此时n=(2,1,-2),
∴sin θ=|cos<n,⃗A A >|= |n·⃗A A 1 | = |-4| = 2,
1 |n||⃗A A | √4+1+4×2 3
1
2
∴直线AA 与平面AD E所成角的正弦值为 .
1 1
3
三年模拟
A组 考点基础题组
考点 直线、平面平行的判定与性质
1.(2022湖北八市3月联考,6)设α,β为两个不同的平面,则α∥β的一个充要条件可以是(
)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α,β垂直于同一个平面
C.α,β平行于同一条直线
D.α,β垂直于同一条直线
答案 D
2.(2022长沙雅礼中学第七次月考,5)如图,在正方体ABCD-A B C D 中,E是棱CC 的中
1 1 1 1 1
点,则平面AD E与平面ABCD的交线与直线C D 所成角的正切值为( )
1 1 1曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1 2 3
A. B. C. D.2
2 3 2
答案 A
3.(多选)(2022河北邯郸一模,10)如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中
点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,则( )
A.BD∥平面EGHF
B.FH∥平面ABC
C.AC∥平面EGHF
D.直线GE,HF,AC交于一点
答案 AD
4.(多选)(2022华大新高考联盟3月教学质量测评,9)已知l,m,n是空间中三条不同的直
线,α,β是空间中两个不同的平面,则下列说法错误的是( )
A.若l⊂α,m⊂α,l⊥n,m⊥n,则n⊥α
B.若α∥β,l⊥α,l⊥m,m⊄α,则m∥β
C.若α⊥β,α∩β=l,m⊂α,n∥β,m⊥l,则m⊥n
D.若l⊥α,m⊥β,α⊥β,n∥l,则m∥n
答案 ABD
5.(2020福建漳州适应性测试,16)已知正方体ABCD-A B C D 的棱长为3,点N是棱A B
1 1 1 1 1 1
的中点,点T是棱CC 上靠近点C的三等分点,动点Q在正方形D DAA (包含边界)内运
1 1 1
动,且QB∥平面D
1
NT,则动点Q所形成的轨迹的长为 .
答案 √10
B组 综合应用题组
时间:50分钟 分值65分
一、单项选择题(每小题5分,共15分)
1.(2022湖南益阳调研,7)已知正方体ABCD-A B C D 中,E,F分别是AB,BC的中点,则下
1 1 1 1
列说法错误的是( )
A.AD⊥A
1
E B.EF∥A
1
C
1
