北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
5.4 解三角形
基础篇 固本夯基
考点一 正弦定理和余弦定理
1.(2022届河北神州智达省级联测,3)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,∠B=135°,b=√15,c=√3,则
a=( )
A.2 B.√6 C.3 D.2√6
答案 B
2
2.(2020课标Ⅲ理,7,5分)在△ABC中,cos C= ,AC=4,BC=3,则cos B=( )
3
1 1 1 2
A. B. C. D.
9 3 2 3
答案 A
3.(2020湖南师大附中月考(六),10)设锐角△ABC的三个内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,且a=2,B=2A,则b
的取值范围为( )
A.(2√2,2√3) B.(2√2,4) C.(2,2√3) D.(0,4)
答案 A
1
4.(2019课标Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin A-bsin B=4csin C,cos A=- ,则
4
b
=( )
c
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A
5.(2021湖南株洲二模,4)在△ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若2√3acos C-3bcos C=3ccos B,
则角C的大小为( )
π π π 2π
A. B. C. D.
6 4 3 3
答案 A
6.(2021全国甲文,8,5分)在△ABC中,已知B=120°,AC=√19,AB=2,则BC=( )
A.1 B.√2 C.√5 D.3
答案 D北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
3
7.(2021山东泰安三模,5)在△ABC中,AC=3,BC=2,cos C= ,则tan A=( )
4
√5 √7 √5 √7
A. B. C. D.
6 6 3 3
答案 D
8.(2022届山东烟台莱州一中开学考,14)在△ABC中,已知C=120°,sin B=2sin A,且△ABC的面积为2√3,则
AB的长为 .
答案 2√7
9.(2021济南二模,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC恰好满足下列四个条件中的三个:
1 1
①cos A= ;②cos B=- ;③a=√3;④b=1.
2 2
(1)请指出这三个条件(不必说明理由);
(2)求c.
解析 (1)①③④.
1 a b 1
(2)解法一:因为cos A= ,所以A=60°,又因为 = ,且a=√3,b=1,所以sin B= ,又a>b,所以A>B,
2 sinA sinB 2
所以B=30°,所以C=90°,所以c= =2.
√a2+b2
1
解法二:因为a2=b2+c2-2bccos A,且cos A= ,a=√3,b=1,所以c2-c-2=0,所以c=2(舍负).
2
10.(2017天津文,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin A=4bsin B,ac=√5(a2-b2-
c2).
(1)求cos A的值;
(2)求sin(2B-A)的值.
a b
解析 (1)由asin A=4bsin B及 = ,得a=2b.
sin A sinB
由ac=√5(a2-b2-c2)及余弦定理的推论,得
√5
b2+c2−a2 − ac √5
cos A= = 5 =- .
2bc 5
ac
2√5
(2)由(1)可得sin A= ,代入asin A=4bsin B,
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asin A √5 2√5 4
得sin B= = .由(1)知,A为钝角,所以cos B=√1−sin2B= .于是sin 2B=2sin Bcos B=
4b 5 5 5
,cos 2B=1-2sin2B=3,故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=4×( √5)-3×2√5=-2√5.
−
5 5 5 5 5 5
考点二 解三角形及其应用
1.(2022届广东深圳六校联考二,3)已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则根据条件解三角形时有两解
的一组条件是( )
π π
A.a=1,b=2,A= B.a=2,b=1,A=
4 4
π 2π
C.a=2,b=3,A= D.a=4,b=3,A=
6 3
答案 C
2.(多选)(2022届广东深圳六校联考一,11)在△ABC中,下列说法正确的是( )
A.若A>B,则|cos B|>|cos A|
B.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形
C.等式a=bcos C+ccos B恒成立
D.若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=1∶1∶√3
答案 ACD
3.(多选)(2022届山东平邑一中开学收心考,10)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos
A,则下列结论正确的有 ( )
A.A=2B
B.B的取值范围为( π)
0,
4
a
C. 的取值范围为(√2,2)
b
D. 1 - 1 +2sin A的取值范围为(5√3 )
,3
tanB tan A 3
答案 AD北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
4.(多选)(2020福建泉州线上测试,12)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=ccos A,角A的平分线
1
交BC于点D,AD=1,cos∠BAC= ,则以下结论正确的是( )
8
3
A.AC= B.AB=8
4
CD 1 3√7
C. = D.△ABD的面积为
BD 8 4
答案 ACD
5.(2021全国乙理(文),15,5分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60°,a2+c2=3ac,则b=
.
答案 2√2
6.(2022届广东佛山顺德质检(一),18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(A-B)=sin C-sin B,角A
的平分线交BC于点D,且b=3,c=5.
(1)求∠BAC的大小;
(2)求线段AD的长.
解析 (1)∵sin C=sin[π-(∠BAC+B)]=sin(∠BAC+B),∴sin(∠BAC-B)=sin∠BACcos B-sin
1
Bcos∠BAC=sin∠BACcos B+sin Bcos∠BAC-sin B,∴2sin Bcos∠BAC-sin B=0,又∵sin B≠0,∴cos∠BAC= ,
2
π
又∵∠BAC∈(0,π),故∠BAC= .
3
(2)解法一:因为AD平分∠BAC,
π
所以∠BAD=∠CAD= .
6
a2+c2−b2
在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=19,故a=√19.由余弦定理的推论得cos B= =
2ac
7√19 3√57
.故sin B=√1−cos2B= .
38 38
所以sin∠ADB=sin( π)=√3sin B+1cos B=4√19.
B+
6 2 2 19
c AD 15√3
在△ABD中,由正弦定理得 = ,故AD= .
sin∠ADB sinB 8
π
解法二:因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD= .
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1 π 1 π 1 π 15√3
由S =S +S 得 ×3×5×sin = ×5×AD×sin + ×3×AD×sin ,解得AD= .
△ABC △ABD △ACD 2 3 2 6 2 6 8
5
7.(2022届百师联盟9月一轮复习联考(一),20)如图,在△ABC中,cos∠ABC=- ,AC=10,BC=3,点D,E分别在
27
边AB,AC上,且AD=2DB,BE⊥BC,BE与CD交于点F.
求:(1)△ABC的面积;
(2) CF的长.
解析 (1)在△ABC中,由余弦定理得AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=AC2,即9AB2+10AB-819=0,解得AB=9或
91
AB=- (舍去).
9
5 8√11 1 1 8√11
因为cos∠ABC=- ,所以sin∠ABC= ,则S = ·AB·BC·sin∠ABC= ×9×3× =4√11.
27 27 △ABC 2 2 27
(2)因为AD=2DB,AB=9,所以BD=3.
在△BCD中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC,即CD2=9+9-2×3×3×( 5 ),解得CD=8√3.
−
27 3
8√3
BD CD 3 3 √33
由正弦定理得 = ,即 = ,解得sin∠DCB= ,则
sin∠DCB sin∠DBC sin∠DCB 8√11 9
27
4√3
cos∠DCB= ,
9
BC 9√3
在Rt△FBC中,CF= = .
cos∠FCB 4
8.(2021新高考Ⅱ,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b=a+1,c=a+2.
(1)若2sin C=3sin A,求△ABC的面积;
(2)是否存在正整数a,使得△ABC为钝角三角形?若存在,求a;若不存在,说明理由.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
b2+c2−a2
解析 (1)∵2sin C=3sin A,∴2c=3a,又∵c=a+2,∴2(a+2)=3a,∴a=4,∴b=a+1=5,c=a+2=6,∴cos A= =
2bc
52+62−42 3 √7
= ,∴sin A=√1−cos2A= ,
2×5×6 4 4
1 1 √7 15√7
∴S = bcsin A= ×5×6× = .
△ABC 2 2 4 4
a2+b2−c2
(2)由已知得c>b>a,若△ABC为钝角三角形,则角C为钝角,∴cos C= <0⇒a2+b2<c2⇒a2+
2ab
(a+1)2<(a+2)2⇒a2-2a-3<0⇒-1<a<3,又a>0,∴a∈(0,3).
同时还应考虑构成△ABC的条件,即a+b>c⇒a+(a+1)>a+2⇒a>1.
综上所述,当a∈(1,3)时,△ABC为钝角三角形.∴存在正整数 a=2,使△ABC为钝角三角形.
9.(2020天津,16,14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2√2,b=5,c=√13.
(1)求角C的大小;
(2)求sin A的值;
(3)求sin( π)的值.
2A+
4
a2+b2−c2 √2
解析 (1)在△ABC中,由余弦定理及a=2√2,b=5,c=√13,有cos C= = .又因为C∈(0,π),所以
2ab 2
π
C= .
4
π asinC 2√13
(2)在△ABC中,由正弦定理及C= ,a=2√2,c=√13,可得sin A= = .
4 c 13
2√13 3√13 12
(3)由a<c及sin A= ,可得cos A=√1−sin2A= ,进而sin 2A=2sin Acos A= ,cos
13 13 13
2A=2cos2A-1= 5 .所以,sin( π)=sin 2Acos π+cos 2Asinπ=12×√2+ 5 ×√2=17√2.
2A+
13 4 4 4 13 2 13 2 26
10.(2018课标Ⅰ理,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.
(1)求cos∠ADB;
(2)若DC=2√2,求BC.北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
BD AB 5 2
解析 (1)在△ABD中,由正弦定理得 = .由题设知, = ,所以
sin∠A sin∠ADB sin45° sin∠ADB
√2 √ 2 √23
sin∠ADB= .由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB= 1− = .
5 25 5
√2
(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB= .
5
√2
在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2× =25.
5
所以BC=5.
A
11.(2021山东烟台二模,18)从①sin A=cos ,②2acos A=bcos C+ccos B,③acos C+(2b+c)·cos A=0这三
2
个条件中任选一个,补充在下面问题中,并给出解答.
问题:在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, .
(1)求A;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
A A A A A A
解析 若选①:(1)由sin A=cos 可得2sin cos =cos ,因为0<A<π,所以cos ≠0,故2sin =1,
2 2 2 2 2 2
A 1 A π A π π
即sin = ,由0< < 可知 = ,所以A= .
2 2 2 2 2 6 3
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=bc+4.
因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.
1 1 √3
所以△ABC面积的最大值为 bcsin A= ×4× =√3.
2 2 2
若选②:(1)由正弦定理可得2sin Acos A=sin Bcos C+cos Bsin C,即2sin Acos A=sin(B+C).
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sin A.
1
故2sin Acos A=sin A,解得cos A= .
2
π
因为0<A<π,所以A= .
3
(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2=bc+4.
因为b2+c2≥2bc,所以bc≤4,当且仅当b=c=2时“=”成立.
1 1 √3
所以△ABC面积的最大值为 bcsin A= ×4× =√3.
2 2 2
