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第3课时 三角形内角和与外角
又因为∠CFD＝∠AFE(对顶角相等)，
所以∠CFD＝60°.
1．理解并掌握三角形的内角和定理； 所以在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD
(重点) ＝80°(已知)，
2．会按角的大小把三角形进行分类，了 ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝180°－
解直角三角形的有关概念；(难点) 60°－80°＝40°.
3．理解三角形外角的概念，掌握三角形 方法总结：三角形中求角度，首先要考
外角的性质．(重点) 虑的是三角形内角和．根据三角形内角和定
理，已知三角形中任意两个角的度数，可以
求出第三个角的度数．
【类型二】 三角形内角和与平行线结合
求角度
一、情境导入 如图，CD是∠ACB的平分线，
请同学们准备一块三角形纸板，把纸板 DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，
的三个角剪下拼在一起，你有什么发现？ ∠BDC的度数．
二、合作探究
探究点一：三角形的内角和定理 解析：根据三角形内角和求出∠ACB的
【类型一】 三角形的内角和 度数，再由CD是∠ACB的平分线可求出
如图，△ABC中，D在BC的延长线 ∠BCD的度数，再根据平行线的性质和三角
上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A 形的内角和定理即可求解．
＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：因为∠A＝50°，∠B＝70°，所以
∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－
70°＝60°.
因为CD是∠ACB的平分线，
所以∠BCD＝∠ACB＝×60°＝30°.
因为DE∥BC，
解析：由三角形内角和定理，可将求∠D 所以∠EDC＝∠BCD＝30°，
转化为求∠CFD，即∠AFE，再在△AEF中求 在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－
解即可． ∠BCD＝180°－70°－30°＝80°.
解：因为DE⊥AB(已知)， 方法总结：本题考查三角形的内角和定
所以∠FEA＝90°(垂直定义)． 理及角平分线的定义和平行线的性质，解题
因为在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝ 的关键是利用平行线的性质沟通角与角的
30°(已知)， 关系．
所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝ 【类型三】 三角形内角和与角平 分线、
180°－90°－30°＝60°.(三角形内角和 高结合
等于180°) 已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝
180°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝ 探究点三：三角形的外角
60°，求∠DAE的度数． 【类型一】 三角形的外角、外角性质
如图，∠ABC和∠ACB的外角平分
线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A等于(
)
解析：首先根据三角形的内角和定理求
得∠BAD，再根据和差关系和角平分线的定
义求得∠DAE. A．90°－α
解：因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°. B．90°－α
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝180°－ C．180°－α
∠BDA－∠B＝180°－90°－60°＝30°. D．180°－2α
因为∠BAC＝80°，所以∠DAC＝∠BAC 解析：α＝180°－(∠DBC＋∠DCB)
－∠BAD＝80°－30°＝50°. ＝180°－(∠CBE＋∠BCF)
因为AE平分∠DAC， ＝180°－(∠A＋∠ACB＋∠BCF)
所以∠DAE＝∠DAC＝×50°＝25°. ＝180°－(180°＋∠A)
方法总结：在三角形中，由高这一条件 ＝90°－∠A.
可以得到90°的角，根据三角形的内角和， 则∠A＝180°－2α.故选D.
在得到的直角三角形中，已知一个锐角的度 方法总结：注意此题中的结论：∠ABC
数可以求另一个锐角的度数．从三角形一个 和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC
顶点出发的角既有角平分线又有高时，要注 ＝α，那么∠A＝180°－2α.熟记这一结论，
意这个顶点处几个角的位置关系和数量关 便于计算简便．
系． 【类型二】 三角形内角和与外角性质的
探究点二：三角形按角分类 应用
具备下列条件的△ABC中，是锐角 如图所示，点D是AB上一点，点E
三角形的是( ) 是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝
A．∠A＋∠B＝∠C 62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BFC
B．∠A＝58°，∠B＝60° 的度数．
C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2 解析：本题可以利用三角形的外角的性
D．∠A－∠B＝90° 质，也可应用三角形内角和定理求∠BFC的
解析：根据三角形内角和定理，∠A＋ 度数．
∠B＋∠C＝180°.选项A中，∠A＋∠B＝
∠C，则∠C＝90°，这个三角形是直角三角
形；选项B中，∠A＝58°，∠B＝60°，则∠C
＝62°，这个三角形是锐角三角形；选项C
中，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则∠A＝45°， 解：方法1：∵∠BDC是△ADC的外角，
∠B＝45°，∠C＝90°，这个三角形是等腰 ∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝
直角三角形；选项D中，∠A－∠B＝90°，那 97°.
么∠A＞90°，这个三角形是钝角三角形．故 又∵∠BFC是△BDF的外角，∴∠BFC＝
选B. ∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.
方法总结：把三角形按角分类，应先求 方法2：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝
出这个三角形中最大的角，最大的角是什么 180°－∠A＝180°－62°＝118°.
角，这个三角形相应的就是什么三角形． 在△BFC中，∠FBC＋∠FCB＝∠ABC＋
2∠ACB－∠ABE－∠ACD＝118°－20°－
35°＝63°
∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝
180°－63°＝117°.
方法总结：方法1充分利用三角形外角
的性质，方法2充分利用了三角形的内角和
定理，解这类题目，观察角度不同，会有不同
的解题方法．
三、板书设计
三角形内角和定理→三角形外角的性
质
↓
三角形按角分类
在教师的指导下，通过学生的实际操作，
发现、归纳、总结三角形的内角和定理．在三
角形的内角和定理的基础上，引导学生得出
三角形外角的性质．在课堂上，力求体现学
生的主体地位，把课堂交给学生，让学生积
极参与．
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