文档内容
训练 15 解三角形
一、单项选择题
1．(2023·重庆模拟)在△ABC中，sin A＝，AC＝，B＝45°，则BC等于( )
A．2 B. C．2 D．2
答案 D
解析 由正弦定理知，＝，
∴BC＝＝＝2.
2．(2023·沈阳模拟)在△ABC中，若a＝bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 由余弦定理得cos C＝，
将其代入a＝bcos C，
得a＝b·＝，
∴2a2＝a2＋b2－c2，
∴a2＋c2＝b2，即△ABC为直角三角形．
3．(2023·榆林模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，b＝4，
△ABC的面积为3，则sin B等于( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 S＝bcsin A＝c＝3，所以c＝3，
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝13,
得a＝，
又由正弦定理可得＝，
所以sin B＝＝.
4．(2023·郑州模拟)在锐角△ABC中，B＝60°，AB＝1，则AB边上的高的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
则AB边上的高h＝asin B＝a，
由正弦定理得a＝＝＝＝＋.由△ABC为锐角三角形，可知30°，所以a＝＋∈，
从而h∈，
因此AB边上的高的取值范围是.
二、多项选择题
5．在△ABC中，各角所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有( )
A．若＝＝，则△ABC为等边三角形
B．已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝
C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的度数为
D．已知a＝5，A＝，b＝4，则三角形有两解
答案 ABC
解析 对于A，若＝＝，
则＝＝，
即tan A＝tan B＝tan C，即A＝B＝C，即△ABC是等边三角形，故A正确；
对于B，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，可得a2＋b2－c2＝ab，
根据余弦定理得cos C＝＝，
因为00，
则cos B＝＝≠，故D错误．
三、填空题
7．(2023·安康模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若(CA＋CB)·AB＝|AB|
2，则＝________.
答案 4
解析 因为在△ABC中，(CA＋CB)·AB＝|AB|2，
所以CA·AB＋CB·AB＝|AB|2，
所以bccos(π－A)＋accos B＝c2，
即acos B－bcos A＝c，
由正弦定理得sin Acos B－sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)，
化简得sin Acos B＝4sin Bcos A，
所以＝＝4.
8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b＝2，cos2C－cos2A－sin2B＝
－sin Bsin C，cos B＋cos C＝1，则A＝________，△ABC的面积是________．
答案
解析 由已知得(1－sin2C)－(1－sin2A)－sin2B＝－sin Bsin C，
所以sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝，所以A＝.
cos B＋cos C＝cos B－cos(A＋B)
＝cos B－cos
＝cos B－＝cos B＋sin B
＝sin＝1，所以B＝，
所以△ABC为正三角形，所以S ＝.
△ABC
四、解答题
9．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.
(1)求sin∠ABC；
(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．
解 (1)由余弦定理可得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠BAC
＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，
则BC＝，
由正弦定理可得
sin∠ABC＝＝＝.
(2)由三角形面积公式可得
＝＝4，
则S ＝S
△ACD △ABC
＝×＝.
10．在①2asin B＝btan A；②b＝acos C＋csin A；③a2＋c2－b2＝(2c2－2bc)cos A三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a＝2，__________.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC面积的最大值．
解 (1)选①：因为2asin B＝btan A，
所以2sin Asin B＝sin B，即cos A＝，
又因为A∈(0，π)，所以A＝.
选②：因为b＝acos C＋csin A，
所以sin B＝sin Acos C＋sin Csin A，
因为sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin Acos C＋cos Asin C，
所以sin Csin A＝cos Asin C，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，
所以sin A＝cos A，即tan A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.选③：因为a2＋c2－b2＝(2c2－2bc)cos A，
a2＋c2－b2＝2accos B，
所以(2c2－2bc)cos A＝2accos B，
即2ccos A－2bcos A＝2acos B，
所以2sin Ccos A＝2sin Acos B＋2sin Bcos A＝2sin(A＋B)＝2sin C，
因为C∈(0，π)，sin C≠0，所以cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)选①：由(1)得A＝，a＝2，
所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，
所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
所以S ＝bcsin A＝bc≤3，
△ABC
所以△ABC面积的最大值为3.
选②：由(1)得A＝，a＝2，
所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，
所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即(2－)bc≤12，
当且仅当b＝c时等号成立，
所以bc≤12(2＋)，所以S ＝bcsin A＝bc≤3(2＋)＝6＋3 ，
△ABC
所以△ABC面积的最大值为6＋3.
选③：由(1)得A＝，a＝2，
所以2bccos A＝b2＋c2－a2，即bc＋12＝b2＋c2，
所以bc＋12＝b2＋c2≥2bc，即(2－)bc≤12，当且仅当b＝c时等号成立，
所以bc≤6(2＋)，
所以S ＝bcsin A＝bc
△ABC
≤×6(2＋)＝3＋3，
所以△ABC面积的最大值为3＋3.
