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微专题24 球的切、接问题
高考定位 空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命
题的热点，难度较大，一般出现在压轴小题的位置.
【真题体验】
1.(2021·全国甲卷)已知A，B，C 是半径为1 的球O 的球面上的三个点，且
AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC 的体积为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 如图所示，因为AC⊥BC，所以AB 为截面圆O1的直径，且AB＝.
连接OO1，
则OO1⊥平面ABC，OO1＝＝＝，
所以三棱锥O－ABC 的体积V＝S△ABC·OO1＝××1×1×＝.
2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3 和4，其
顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.100π
B.128π
C.144π
D.192π
答案 A
解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.
设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2
＝1，其外接球的球心O 在直线O1O2上.
设球O 的半径为R，当球心O 在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，
解得OO1＝4(舍去)；
当球心O 不在线段O1O2上时，
R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，
解得OO2＝3，所以R2＝25，
所以该球的表面积为4πR2＝100π.
3.(2022·全国乙卷)已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均
在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 该四棱锥的体积最大，即以底面外接圆和顶点O 组成的圆锥体积最大，
设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，
则圆锥的体积V＝πr2h＝π(1－h2)h，
则V′＝π(1－3h2)，
令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，
所以V＝π(1－h2)h 在上单调递增，
在上单调递减，
所以当h＝时，四棱锥的体积最大，故选C.
4.(2023·全国甲卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别为AB，C1D1的中点.
以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点.
答案 12
解析 如图，线段EF 过正方体的中心，
所以以EF 为直径的球的球心即正方体的中心，
球的半径为，而正方体的中心到每一条棱的距离均为，
所以以EF 为直径的球与每一条棱均相切，
所以共有12 个公共点.
【热点突破】
热点一 空间几何体的外接球
正方体、长方体外接球
1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.
3.补成长方体(墙角模型)
(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1 所
示.
(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2 所示.
(3)正四面体P－ABC 可以补形为正方体，如图3 所示.
(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4 所示.
例1 (1)已知三棱锥P－ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC
是边长为2 的正三角形，E，F 分别是PA，AB 的中点，∠CEF＝90°，则球O 的
体积为( )
A.8π
B.4π
C.2π
D.π
(2)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上.若该棱
柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则外接球的表面积等于( )
A.8π
B.9π
C.10π
D.11π
答案 (1)D (2)A
解析 (1)因为点E，F 分别为PA，AB 的中点，
所以EF∥PB.
因为∠CEF＝90°，
所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC 的中点D，连接BD，PD，
易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，
又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，
所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC.
因为PA＝PB＝PC，△ABC 为正三角形，
所以PA⊥PC，
即PA，PB，PC 两两垂直，将三棱锥P－ABC 放在正方体中如图所示.
因为AB＝2，所以该正方体的棱长为，
所以该正方体的体对角线长为，
所以三棱锥P－ABC 的外接球半径R＝，
所以球O 的体积
V＝πR3＝π＝π.
(2)由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°及余弦定理可得
BC＝
＝＝，
所以AC2＋BC2＝AB2，∠ACB＝90°，
所以底面外接圆的圆心为斜边AB 的中点.
设三角形ABC 的外接圆半径为r，
则r＝＝1.
又S△ABC＝BC·AC＝×1×＝，
所以V 柱＝S△ABC·AA1＝，
所以AA1＝2.
因为三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，设外接球的半径为R，
则R2＝r2＋＝12＋12＝2，
所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π.
规律方法 求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径.
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的
各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的.
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并
求解.
训练1 (1)(2024·宝鸡模拟)三棱锥P－ABC 中，PA⊥平面ABC，△ABC 为等边三
角形，且AB＝3，PA＝2，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A.8π
B.16π
C.
D.12π
(2)(2024·聊城二模)已知圆柱OO1的下底面在半球O 的底面上，上底面圆周在半
球O 的球面上，记半球O 的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球
O 与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 (1)B (2)A
解析 (1)如图，点H 为△ABC 外接圆的圆心，过点H 作平面ABC 的垂线，点D
为PA 的中点，过点D 作线段PA 的垂线，所作两条垂线交于点O，则点O 为三
棱锥外接球的球心，
因为PA⊥平面ABC，且△ABC 为等边三角形，PA＝2，AB＝3，
所以四边形AHOD 为矩形，AH＝AB＝，OH＝PA＝1，
所以OA＝＝2，
即三棱锥外接球的半径R＝2，
则该三棱锥外接球的表面积为4πR2＝16π.
(2)设圆柱底面半径为r，
高为h，球的半径为R，
则R2＝h2＋r2，S＝πR2，
S1＝2πrh，V＝·πR3＝πR3，V1＝πr2h，
所以＝＝＝＋≥2＝1，
当且仅当r＝h 时等号成立，此时R＝r，
所以＝＝＝.
热点二 空间几何体的内切球
内切球问题的解法(以三棱锥为例)
第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体的体积；
第二步：设内切球的半径为r，建立等式VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－
PBC⇒VP－ABC＝S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋SPBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)r；
第三步：解出r＝.
例2 (1)在三棱锥A－BCD 中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC
＝3，则该三棱锥内切球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2024·宁波二模)在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝，
若球O 与上底面A1B1C1D1以及棱AB，BC，CD，DA 均相切，则球O 的表面积为
( )
A.9π
B.16π
C.25π
D.36π
答案 (1)A (2)C
解析 (1)由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD.
又BC⊥CD，且AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，
所以CD⊥AC.
由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，
所以三棱锥A－BCD 的表面积
S＝2××3×4＋2××4×5＝32，
三棱锥A－BCD 的体积V＝××3×4×4＝8.
设三棱锥内切球球心为O，半径为r，
由V＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝Sr，
得r＝＝，
所以该三棱锥内切球的体积V 球＝πr3＝π×＝.
(2)设棱台上下底面的中心为N，M，连接D1B1，DB，
则D1B1＝2，DB＝4，
所以棱台的高MN＝＝＝1，
设球半径为R，根据正四棱台的结构特征可知：球O 与上底面A1B1C1D1相切于
N，与棱AB，BC，CD，DA 均相切于各边中点处，
设BC 中点为E，连接OE，OM，ME，
所以OE2＝OM2＋ME2⇒R2＝(R－1)2＋22，
解得R＝，
所以球O 的表面积为4πR2＝25π.
规律方法 空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为
球的半径，作出截面，在截面中求半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.
训练2 (2024·长沙调研)一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与
下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为________.
答案
解析 法一 由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，O 为内切球的球心，PH
是棱锥的高，E，F 分别是AB，CD 的中点，连接PE，PF，G 是球与侧面PCD
的切点，可知G 在PF 上，OG⊥PF，设内切球半径为r，则OH＝OG＝r，HF＝
1，PH＝，PF＝2，
由△PGO∽△PHF，得＝，
即＝，解得r＝，
所以内切球表面积为S＝4πr2＝4π×＝.
法二 由法一知PF＝2.
故S△PCD＝×2×2＝2，
VP－ABCD＝r(S 四边形ABCD＋4S△PCD)，
即×4×＝r(4＋2×4)，得r＝，
故内切球表面积S＝4πr2＝4π×＝.
【精准强化练】
一、单选题
1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则
该圆柱的体积为( )
A.π
B.
C.
D.
答案 B
解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD，O 为球心.球的半径R＝OA＝1，球心到底
面圆的距离为OM＝.
∴底面圆半径r＝＝，
故圆柱体积V＝πr2h＝π×1＝.
2.若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A.12π
B.24π
C.36π
D.144π
答案 C
解析 由题意知球的直径2R＝＝6，
∴R＝3，∴S 球＝4πR2＝36π.
3.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为(
)
A.3π
B.4π
C.3π
D.6π
答案 A
解析 构造棱长为1 的正方体，该四面体的外接球也是棱长为1 的正方体的外接
球，
所以外接球半径R＝，
所以外接球表面积为S＝4πR2＝3π.
4.(2024·梅州模拟)某圆锥的底面直径和高均是2，则其内切球(与圆锥的底面和侧
面均相切)的半径为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 圆锥的轴截面如图所示，
设内切球的球心为D，半径为R，
则AB＝2，CG＝2，
所以AC＝BC＝＝，
又S△ABC＝S△ADB＋S△ADC＋S△BDC，
即×2×2＝×2R＋×R＋×R，
解得R＝＝，
即内切球的半径为.
5.“阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结
了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产
生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八
尺.问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，
它的底面长、宽分别为7 尺和5 尺，高为8 尺，问它的体积是多少？”若以上的
条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为________平方尺( )
A.142π
B.140π
C.138π
D.128π
答案 C
解析 如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，
所以外接球的半径为R＝＝，
外接球的表面积S＝4πR2＝138π.
6.(2023·全国乙卷改编)已知点S，A，B，C 均在半径为2 的球面上，△ABC 是边
长为3 的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 B
解析 如图，设△ABC 的外接圆圆心为O1，连接O1A，因为△ABC 是边长为3 的
等边三角形，所以其外接圆半径r＝O1A＝××3＝.
将三棱锥S－ABC 补形为正三棱柱SB1C1－ABC，由题意知SA 为侧棱，设球心为
O，连接OO1，OA，则OO1⊥平面ABC，且OO1＝SA.
又球的半径R＝OA＝2，OA2＝OO＋O1A2，
所以4＝SA2＋3，得SA＝2.
7.(2024·常德三模)如图，现有棱长为6 cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部
分为正三棱锥A1－EFG，且E，F，G 分别为棱A1A，A1B1，A1D1靠近A1的四等
分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为( )
A.π cm3
B.36π cm3
C.π cm3
D.72π cm3
答案 B
解析 由题意A1E＝A1F＝A1G＝，
设点A1到平面EFG 的距离为d，
而EF＝EG＝FG＝，
S△EFG＝××＝，
由VE－A1GF＝VA1－EFG，
得××××＝×d，
解得d＝，
棱长为6 的正方体的内切球的半径为3，棱长为6 的正方体体对角线的长度为
6，
因为3－＝>3，
所以所求球形体积最大时即为棱长为6 的正方体的内切球，
则该球形饰品的体积的最大值为π×33＝36π cm3.
8.(2024·临汾二模)如图所示，在三棱锥P－ABC 中，PB⊥AB，PB＝AB，△PAB
围绕棱PA 旋转60°后恰好与△PAC 重合，且三棱锥P－ABC 的体积为，则三棱锥
P－ABC 外接球的半径R 为( )
A.1
B.
C.
D.2
答案 C
解析 如图，取PA 中点O，连接OB，OC，
因为PB⊥AB，PB＝AB，
所以OB⊥PA，OC⊥PA，
又OB∩OC＝O，且都在平面BOC 内，
所以PA⊥平面BOC，且∠BOC＝60°，
设PB＝a，则OP＝OA＝OB＝OC＝a，
且△BOC 为等边三角形，
所以O 为三棱锥P－ABC 外接球的球心，半径R＝a，
所以VP－ABC＝×S△BOC×PA＝××sin 60°×a＝，解得a＝，
所以R＝a＝×＝，C 正确.
二、多选题
9.在正四棱锥S－ABCD 中，底面边长AB＝2，侧棱SA＝，在该四棱锥的内部有
一个小球，则小球的表面积可能是( )
A.
B.π
C.
D.
答案 ABD
解析 当小球与正四棱锥S－ABCD 各面相切时半径最大，此时小球的表面积最
大，设小球的半径为r，
由底面边长AB＝2，侧棱SA＝，
可得正四棱锥S－ABCD 的高为
SO＝＝＝，
∴VS－ABCD＝×22×＝，
又侧面面积为4S△SAB＝4××2×＝8，
底面面积为S 四边形ABCD＝22＝4，
∴×(8＋4)r＝，解得r＝，
∴小球表面积的最大值为4πr2＝.
10.若正三棱锥P－ABC 的底面边长为3，高为，则该正三棱锥的( )
A.体积为
B.表面积为9
C.外接球的表面积为27π
D.内切球的表面积为
答案 ABD
解析 如图，
三棱锥P－ABC 的体积V＝S△ABC·h＝××＝，故A 正确；
取AB 的中点D，连接CD，PD，
则在正三棱锥P－ABC 中，AB⊥CD，AB⊥PD.
作PH⊥平面ABC，垂足为H，则PH＝.
由正三棱锥的性质可知H 在CD 上，
且CH＝2DH.
因为AB＝3，所以CD＝，则CH＝.
因为PH＝，所以PC＝＝3，
则三棱锥P－ABC 的表面积为×4＝9，故B 正确；
设三棱锥P－ABC 的外接球的球心为O，半径为R，则O 在PH 上，
连接OC，则R2＝CH2＋OH2＝(PH－OH)2，
即R2＝3＋OH2＝(－OH)2，解得OH＝，
所以R2＝3＋＝，
则三棱锥P－ABC 的外接球的表面积为4πR2＝，故C 错误；
设三棱锥P－ABC 的内切球的半径为r，
则×9r＝，解得r＝，
从而三棱锥P－ABC 的内切球的表面积为4πr2＝，故D 正确.
11.(2024·徐州模拟)已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为2，则( )
A.该圆台的体积为26π
B.该圆台外接球的表面积为π
C.用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16
D.挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为(16＋2)π
答案 BC
解析 由已知得圆台的上下底面半径分别为1，3，
对于A，圆台的体积为π(12＋32＋1×3)×2＝π，A 错误；
对于B，如图是圆台的轴截面ABCD，外接球球心为O，设外接球半径为R，
当球心在梯形ABCD 内时，＋＝2，
解得R2＝，
当球心在梯形ABCD 外时，－＝2，方程无解，
所以外接球的表面积4πR2＝π，B 正确；
对于C，
用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大，
又母线长为＝4，
则最大周长为4＋4＋2＋6＝16，C 正确；
对于D，如图，挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为
π(3＋1)×4＋2π×1×＋π×(32＋12)＝26π＋2π，D 错误.
三、填空题
12.(2024·石家庄质检)在正三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2，A1B1＝，其外接球半
径为，则该棱台的高可以为________.
答案 1(或3)
解析 设O1为正三棱台ABC－A1B1C1的上底面的中心，O 为下底面的中心，连
接OO1，即为棱台的高，连接AO 并延长交BC 于D，则D 为BC 的中点，连接
A1O1并延长交B1C1于D1，则D1为B1C1的中点，
AO＝AD＝×2×＝2，
A1O1＝A1D1＝××＝1，
设外接球球心为E，则E 点位于直线OO1上，
则在Rt△AOE 中，EO＝＝＝1，
在Rt△A1O1E 中，EO1＝＝＝2，
故当外接球球心在正棱台内时，其高为OO1＝EO＋EO1＝3；
当外接球球心在正棱台外时，其高为OO1＝EO1－EO＝1.
故该棱台的高可以为3 或1.
13.在菱形ABCD 中，AB＝2，∠ABC＝60°，若将菱形ABCD 沿对角线AC 折成大
小为60°的二面角B－AC－D，则四面体DABC 的外接球球O 的体积为________.
答案
解析 如图，设M，N 分别为△ABC，△ACD 的外心，E 为AC 的中点，
则EN＝EM＝BE＝1，
在平面BDE 内过点M 作BE 的垂线与过点N 作DE 的垂线交于点O.
∵BE⊥AC，DE⊥AC，BE∩DE＝E，
∴AC⊥平面BDE.
∵OM⊂平面BDE，∴OM⊥AC，
∵OM⊥BE，BE∩AC＝E，
∴OM⊥平面ABC，
同理可得ON⊥平面ACD，
则O 为四面体DABC 的外接球的球心.
连接OE，
∵EM＝EN，OE＝OE，
∠OME＝∠ONE＝90°，
∴△OME≌△ONE，
∴∠OEM＝30°，∴OE＝＝.
∵AC⊥平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴OE⊥AC，∴OA＝＝，
即球O 的半径R＝.
故球O 的体积V＝πR3＝.
14.(2024·大连模拟)在边长为4 的正方形ABCD 中，如图1 所示，E，F，M 分别
为BC，CD，BE 的中点，分别沿AE，AF 及EF 所在直线把△AEB，△AFD 和
△EFC 折起，使B，C，D 三点重合于点P，得到三棱锥P－AEF，如图2 所示，
则三棱锥P－AEF 外接球的表面积是________；过点M 的平面截三棱锥P－AEF
外接球所得截面的面积的取值范围是________.
答案 24π [π，6π]
解析 由题意，将三棱锥补形为边长为2，2，4 的长方体，如图所示：
三棱锥P－AEF 外接球即为补形后长方体的外接球，所以外接球的直径(2R)2＝22
＋22＋42＝24，R＝，
所以三棱锥P－AEF 外接球的表面积为S＝4πR2＝24π，
过点M 的平面截三棱锥P－AEF 的外接球所得截面为圆，其中最大截面为过球
心O 的大圆，
此时截面圆的面积为πR2＝π()2＝6π，
最小截面为过点M 垂直于球心O 与M 连线的圆，
此时截面圆半径r＝＝＝＝1(其中MN 长度为长方体前后面对角线长度)，
故截面圆的面积为πr2＝π，
所以过点M 的平面截三棱锥P－AEF 的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，
6π].
