专题突破练18 圆锥曲线中的求值与最值、范
围问题
1.(15 分)(2025 山东济南模拟)已知等轴双曲线E 过点(2,❑√2),直线l:y=kx+2(k>0)与E 交于
A,B 两点,与其渐近线交于C,D 两点.
(1)求E 的方程;
(2)设| AB|
|CD|
=λ,求λ 的取值范围.
2.(15 分)(2025 天津二模)已知椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的焦距为2❑√3,离心率为
❑√3
2 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点M(0,2)且斜率为k 的直线与椭圆交于不同的两点A,B,点O 在以线段AB 为直径
的圆外(O 为原点),求k 的取值范围.
3.(17 分)(2025 湖北十堰三模)已知点A,B 在抛物线C:x2=2py(p>0)上,O 为原点,且△OAB
是以AB 为斜边的等腰直角三角形,斜边长为4.
(1)求抛物线C 的方程;
(2)若点P 在圆Q:x2+(y+4)2=4 上,过点P 分别作直线l1,l2与抛物线C 相切于M,N 两点,求
tan∠MPN 的取值范围.
4.(17 分)(2025 辽宁沈阳二模)已知O 为坐标原点,动点P 到x 轴的距离为d,且|OP|
2=λ+μd2,其中λ,μ 均为常数,动点P 的轨迹称为(λ,μ)曲线.
(1)若(λ,μ)曲线为双曲线,试问λ,μ 应满足什么条件?
(2)设曲线C 为(1,4
3
)曲线,点A(x0,y0)是C 上位于第一象限的一点,点A,B 关于原点O 中心
对称,点A,D 关于y 轴对称.延长AD 至E,使得|DE|=1
3
|AD|,且直线BE 和曲线C 的另一个
交点G 位于第二象限内.
①求x0的取值范围;
②设直线OA 斜率为k1,直线AG 斜率为k2,判断k1与k2的关系,并求k1+k2的取值范围.
答案：
1.解 (1)∵等轴双曲线E 过点(2,❑√2),
①若E 的焦点在x 轴上,不妨设E: x
2
a
2 −y
2
a
2 =1(a>0),代入(2,❑√2),可得a2=2,∴E: x
2
2 −y
2
2
=1.
②若E 的焦点在y 轴上,不妨设E: y
2
a
2 −x
2
a
2=1(a>0),代入(2,❑√2),可得a2=-2,不符合题意.
综上,E: x
2
2 −y
2
2
=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
联立{
x
2
2 - y
2
2 =1,
y =kx +2,
消去y 可得(1-k2)x2-4kx-6=0,
∴1-k2≠0,Δ=16k2+24(1-k2)>0,
解得k∈(0,1)∪(1,❑√3),
∴x1+x2= 4 k
1-k
2,x1x2=-
6
1-k
2,
显然双曲线E 的渐近线方程为y=±x,不妨设C 为直线:y=x 与直线l 的交点,
联立{
y = x,
y =kx +2,可得x3=- 2
k -1,
同理x4=- 2
k +1
,∴λ=
| AB|
|CD| =| x1- x2|
| x3- x4| =
❑√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
| x3- x4|
=
❑√
( 4 k
1-k
2 )
2+ 24
1-k
2
|-
2
k -1 +
2
k +1|
=
2❑√2
❑√3-k
2
|k
2-1|
|
4
k
2-1|
=
❑√2
2
❑√3-k
2.
∵k∈(0,1)∪(1,❑√3),
∴
❑√2
2
❑√3-k
2∈(0,1)∪(1,
❑√6
2
),
∴λ 的取值范围为(0,1)∪(1,
❑√6
2
).
2.解 (1)由题得2c=2❑√3,即c=❑√3,
又离心率为c
a =
❑√3
2
,
解得a=2,b=❑√a
2-c
2=1,
故椭圆的方程为x
2
4
+y2=1.
(2)设直线的方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立{
y =kx +2,
x
2
4 + y
2=1,得(1+4k2)x2+16kx+12=0,
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,
得k2>3
4
,
则x1+x2=- 16k
4 k
2+1
,x1x2=
12
4 k
2+1
.
因为点O 在以线段AB 为直径的圆外,所以∠AOB 为锐角.
因为A,B,O 不共线,
所以cos∠AOB>0,
故⃗OA ·⃗OB>0,即x1x2+y1y2>0.
因为y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
所以x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=12(k
2+1)
4 k
2+1
−16k ·2k
4 k
2+1
+4=4(4 -k
2)
4 k
2+1
>0,解得
k2<4,
因为k2>3
4
,得
❑√3
2
<|k|<2,
解得-2<k<-
❑√3
2 或
❑√3
2
<k<2,
故实数k 的取值范围为(-2,-
❑√3
2
)∪(
❑√3
2
,2).
3.解 (1)由题意知,A,B 两点关于y 轴对称,不妨设点B 在y 轴右侧,则xB=yB=2,即点(2,2),
将点B 的坐标代入抛物线方程可得4p=4,解得p=1,
故抛物线C 的方程为x2=2y.
(2)不妨设点N,M 分别在第一、二象限,直线MN 的方程为y=mx+n,
设点M(x1, x1
2
2
)(x1<0),N(x2, x2
2
2
)(x2>0),
联立{
y =mx +n,
x
2=2 y , 得x2-2mx-2n=0,Δ=4m2+8n>0,x1+x2=2m,x1x2=-2n,
由y= x
2
2
,得y'=x,
则直线PM 的斜率为k1=x1,
所以直线PM 的方程为y- x1
2
2
=x1(x-x1),即y=x1x- x1
2
2 .
同理可知,直线PN 的斜率为k2=x2,直线PN 的方程为y=x2x- x2
2
2
,
联立直线PM,PN 的方程得x1x- x1
2
2
=x2x- x2
2
2
,
解得xP= x1+ x2
2
=m,
则yP=x2· x1+ x2
2
−x2
2
2 = x1 x2
2
=-n,故点P(m,-n).
因为点P 在圆Q 上,所以m2+(-n+4)2=4,且2≤n≤6,Δ=4m2+8n>0 显然成立.
过点P 作x 轴的垂线,垂足为点H,
tan∠MPH=- 1
k1
=- 1
x1
,tan∠NPH= 1
k2
= 1
x2
,
tan∠MPN=tan(∠MPH+∠NPH)= tan ∠MPH + tan ∠NPH
1- tan ∠MPH tan ∠NPH =
- 1
x1
+ 1
x2
1+
1
x1 x2
= x1- x2
x1 x2+1
=-
❑√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2
x1 x2+1
=-
❑√4 m
2+8n
1-2n
= 2
❑√-n
2+10n-12
2n-1
,
令t=2n-1,因为2≤n≤6,则3≤t≤11, 1
11 ≤1
t ≤1
3
,
所以tan∠MPN=2❑√-( t +1
2 )
2+10· t +1
2 -12
t
=❑√
-29· 1
t
2 +18· 1
t -1,
令s=1
t ∈[ 1
11 , 1
3
],则函数y=-29s2+18s-1 在区间[ 1
11 , 9
29
]上单调递增,在[ 9
29 , 1
3
]上单调递
减,
故当1
t = 1
11
时,tan∠MPN 取最小值,且最小值为4 ❑√3
11
,
当1
t = 9
29
时,tan∠MPN 取最大值,且最大值为2❑√377
29
.
因此tan∠MPN 的取值范围是[4 ❑√3
11 , 2❑√377
29
].
4.解 (1)设点P(x,y).
由题得x2+y2=λ+μy2,得x2+(1-μ)y2=λ,
若(λ,μ)曲线为双曲线,则λ≠0,
所以上式可化为x
2
λ +(1- μ) y
2
λ
=1,
则1- μ
λ
2 <0,则μ>1,
所以当λ≠0,且μ>1 时,(λ,μ)曲线为双曲线.
(2)(方法一)当λ=1,μ=4
3
时,x2+y2=1+4
3
y2,即x2- y
2
3
=1.
①由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x,y),由⃗DE = 1
3⃗AD,
即(x+x0,y-y0)=1
3
(-2x0,0),
即{
x + x0=- 2
3 x0,
y - y0=0,
得{
x =- 5
3 x0,
y = y0,
则E(-5
3x0,y0),
直线BE 的斜率为kBE=
2 y0
- 2
3 x0
=-3 y0
x0
,
所以直线BG 的方程为y+y0=-3 y0
x0
(x+x0),即y=-3 y0
x0
x-4y0,
联立{
y =- 3 y0
x0
x - 4 y0,
x
2- y
2
3 =1,
得(
9 y0
2
x0
2 -3)x2+24 y0
2
x0
x+(16y0
2+3)=0,由直线BG 与双曲线有2 个交点,则
9 y0
2
x0
2 -3≠0,
又因为x=-x0满足(9 y0
2
x0
2
-3)x2+24 y0
2
x0
x+(16y0
2+3)=0,xG·(-x0)=
16 y0
2+3
9 y0
2
x0
2 -3
,
解得xG=
16 y0
2+3
3 x0- 9 y0
2
x0
.
因为yG=-3 y0
x0
xG-4y0>0,且y0>0,
得xG<-4
3
x0<0,
所以xG=
16 y0
2+3
3 x0- 9 y0
2
x0
<-4
3 x0,
又因为x0
2−y0
2
3
=1,可得y0
2=3x0
2-3,
所以xG=
16 y0
2+3
3 x0- 9 y0
2
x0
= 16(3 x0
2-3)+3
3 x0
2-9(3 x0
2-3)
x0
=(16 x0
2-15) x0
9-8 x0
2
<-4
3 x0.
因为x0>1,
所以
16 x0
2-15
8 x0
2-9
−4
3 =
16 x0
2-9
3(8 x0
2-9)>0,
所以8x0
2-9>0,可得x0>3 ❑√2
4
,即x0的取值范围为(3 ❑√2
4
,+∞).
②由①得k2= y0+ 3 y0
x0
xG+ 4 y0
x0- xG
=- 3 y0
x0
( x0- xG)+8 y0
x0- xG
=-
3 y0
x0
+
8 y0
x0+ 16 y0
2+3
9 y0
2
x0
-3 x0
=-3 y0
x0
+
72 y0
3
x0
-24 x0 y0
9 y0
2+16 y0
2+3-3 x0
2
=-3 y0
x0
+
72 y0
3
x0
-24 x0 y0
24 y0
2
=-3 y0
x0
+ 72 y0
24 x0
−24 x0 y0
24 y0
2 =- x0
y0
.
又k1= y0
x0
,所以k2k1=-1.
因为x0>3 ❑√2
4 ,则0< 1
x0
2 < 8
9,
则k1=
y0
x0
= ❑√
3(1- 1
x0
2 )∈(
❑√3
3 ,❑√3),则k1+k2=k1- 1
k1
∈(-2❑√3
3
, 2❑√3
3 ).
(方法二)当λ=1,μ=4
3
时,x2+y2=1+4
3
y2,即x2- y
2
3
=1.
①由题意得B(-x0,-y0),D(-x0,y0),设点E(x,y),由⃗DE = 1
3⃗AD,
即(x+x0,y-y0)=1
3
(-2x0,0),
即{
x + x0=- 2
3 x0,
y - y0=0,
得{
x =- 5
3 x0,
y = y0,
则E(-5
3x0,y0),直线BE 的斜率为kBE=
2 y0
- 2
3 x0
=-3 y0
x0
,
所以直线BG 的方程为y+y0=-3 y0
x0
(x+x0).
设点G(x,y)(x<0,y>0),
因为x2- y
2
3
=1,
所以x2> y
2
3
,所以x
2
y
2 > 1
3 ,| x|
| y | >
❑√3
3 ,
同理y0
x0
<❑√3,由{
x
2- y
2
3 =1,
x0
2- y0
2
3 =1,
两式作差得(x+x0)(x-x0)-1
3
(y+y0)(y-y0)=0,
将直线BG 方程代入并化简得(x-x0)+ y0
x0
(y-y0)=0,(*)
所以y0
x0
= x0- x
y - y0
> 0- x
y -0 =| x|
| y | >
❑√3
3 ,
所以
❑√3( x0
2-1)
x0
>
❑√3
3 ,
可得x0>3 ❑√2
4
,
即x0的取值范围为(3 ❑√2
4
,+∞).
②由(*)式可得k1·k2= y0
x0
· y - y0
x - x0
=-1,
由①得k1= y0
x0
∈(
❑√3
3 ,❑√3),
所以k1+k2=k1- 1
k1
∈(-2❑√3
3
, 2❑√3
3
).
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