文档文本内容
4.2 简单的三角恒等变换
目录
01 课标要求...........................................................................................................................................2
02 落实主干知识...................................................................................................................................3
一、两角和与差公式............................................................................................................................3
二、二倍角公式....................................................................................................................................3
三、降幂公式........................................................................................................................................3
四、升幂公式........................................................................................................................................3
五、辅助角公式....................................................................................................................................4
常用二级结论........................................................................................................................................4
03 探究核心题型...................................................................................................................................6
题型一：两角和与差的三角函数公式................................................................................................6
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用....................................................................................8
题型三：辅助角公式的多种应用......................................................................................................10
题型四：给值求值型问题..................................................................................................................13
题型五：给角求值型问题..................................................................................................................16
题型六：给值求角型问题..................................................................................................................18
题型七：正切恒等式的综合应用......................................................................................................22
题型八：三角函数式的化简..............................................................................................................24
题型九：三角恒等变换的综合应用..................................................................................................28
04 好题赏析（一题多解）.................................................................................................................32
①数形结合..........................................................................................................................................36
②转化与化归......................................................................................................................................38
③分类讨论..........................................................................................................................................39
06 课时精练（真题、模拟题）.........................................................................................................41
基础过关篇..........................................................................................................................................41
能力拓展篇..........................................................................................................................................53
1、会推导两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
2、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
3、能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的
恒等变换.
一、两角和与差公式
①
；③
；
②
；④
；
⑤
；变形公式：
；
⑥
；变形公式：
．
二、二倍角公式
①
；
②
；
③
三、降幂公式
①
；
②
；
③
．
四、升幂公式
①
，
②
；
③
，
④
．
五、辅助角公式
．
①其中辅助角
是由方程
，
，
．决定
②正弦在前，余弦在后（确保系数
，
不会弄反）
③利用系数算出所填角度的正切，正弦（余弦），决定所填角度的确切象限.
④保证
，
．
常用二级结论
1、积化和公式
①
②
③
2、和化积公式
①
②
③
④
3、化简小技巧：
①1 的代换：
；
②
．
4、两角互组，两角互补，两角互余
①两角互组：
②两角互补：
③两角互余：
题型一：两角和与差的三角函数公式
【典例1-1】（2025·海南·模拟预测）若
，且
为锐角，
为钝角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知，
，
所以
，
，得
，
又
，且
，所以
，
.
故选：B．
【典例1-2】（2025·高三·云南·期中）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，即
，
整理得
，即
；
因为
，
由于
，
，
所以
，即
，
故选：C．
【解题总结】
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
【变式1-1】（2025·广东深圳·二模）若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，则
，
所以
，
因此
.
故选：A.
【变式1-2】
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
故选：D．
【变式1-3】（2025·山东潍坊·二模）已知角
的顶点与坐标原点
重合，始边与
轴非负半轴重合，其终
边与圆
交于点
．若角
终边沿逆时针方向旋转角
，交圆
于点
，则角
可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为角
的终边与圆
交于点
，
所以由任意角三角函数定义得
，
，
设旋转后的角为
，且旋转后的角交圆
于点
，
则由任意三角函数的定义得
，
，
得到
，
，
故
，当
时，
，故D 正确.
故选：D
题型二：两角和与差的三角函数公式的逆用
【典例2-1】（2025·广西·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．5
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
，即
故选：A.
【典例2-2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A、利用二倍角公式
，
可得：
，A 错误.
B、利用余弦和角公式
，
得：
因此原式为：
，B
错误.
C、利用正切和角公式
，令
，
则
，C 正确.
D、利用递推积化和差公式，结合
，得：
.
D 错误.
故选：C.
【解题总结】
逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式.
【变式2-1】（2025·江西·二模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
有，
，即
，
由
有，
，即
②，
①+②得，
，
即
，则
，解得
.
故选：B.
【变式2-2】（2025·湖南长沙·三模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，
，所以
，
，
因为正弦函数
在
上单调递增，所以
，即
.
故选：D.
【变式2-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知
，
是第三象限角，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，又
是第三象限角，
．
从而
.
故选：B
【变式2-4】（2025·河北·模拟预测）
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
【答案】C
【解析】
，
故选：C.
题型三：辅助角公式的多种应用
【典例3-1】已知
，则
．
【答案】
【解析】因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，解得
，
所以
，
故答案为：
.
【典例3-2】已知关于
的方程
在
上有两个不同的实数解，则这两个解的和为
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
关于
的方程
在
上有两个不同的实数解，
即直线
在
上的图象有两个不同的交点，
设关于
的方程两相异实数根为
，
因为函数
的图象在区间
上的对称轴为
，
所以
.
故答案为：
【解题总结】
对
化
，要清楚如何求
助角
简时
辅
的值.
【变式3-1】已知
，则
的值为 .
【答案】
【解析】
，
，
故答案为：
.
【变式3-2】（2025·高三·河北·开学考试）已知实数
，
，
，
满足：
，
，
，则
的最大值为 .
【答案】
/
【解析】依题可设
，
，
，
，
由
，可得
而
，
可先求
的最小值，
设
，则
，
从而有
，
因此
，
解得
则
，
可知
最大值为
故答案为：
【变式3-3】（2025·高三·辽宁·开学考试）已知
均为正数，
，则
的最大
值为 .
【答案】
【解析】因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
又因为
，
，设
，
则
，
其中
，
可知
的最大值为
，其中
，即
，
可得
，
综上所述：
的最大值为
，其中
.
故答案为：
.
题型四：给值求值型问题
【典例4-1】（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知
，则
的值为 ．
【答案】
【解析】因为
，
即
，解得
，
所以
.
故答案为：
【典例4-2】已知
，
满足
，
，则
．
【答案】
/
【解析】由
，
，
有
．
故答案为：
【解题总结】
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
(2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱
导公式把“所求角”变成“已知角”.
【变式4-1】（2025·高三·广东深圳·期末）已知
，则
．
【答案】
/
【解析】因为
，所以
，又
，
所以
，所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：
【变式4-2】已知
，
，
，
，则
的值为
．
【答案】
/
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
.
.
故答案为：
.
【变式4-3】若
和
都为锐角，
，则
.
【答案】
【解析】因为
和
都为锐角，则
，
且
，可得
，
所以
.
故答案为：
.
【变式4-4】已知
，
，
，则
.
【答案】
【解析】由题意可知
，所以
，
即
，
又
，所以
，
则
，
所以
，
所以
.
故答案为：
题型五：给角求值型问题
【典例5-1】1551 年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比
定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角
的斜边与邻边的比，叫做
的正割，用
表示；
其斜边与对边的比，叫做
的余割，用
表示；其邻边与对边的比，叫做
的余切，用
表示，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】依题意可得
，
，
，
所以
.
故选：B
【典例5-2】（2025·湖南永州·模拟预测）
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.
故选：D.
【解题总结】
角求
求解的关
在于“
角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之
的
系
找
化方法．
给
值问题
键
变
间
联
寻
转
【变式5-1】（2025·重庆·模拟预测）式子
化简的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】原式
.
故选：B.
【变式5-2】
．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
.
【变式5-3】求值：
．
【答案】
【解析】方法一：原式
；
方法二：令原式乘以
得，
，
则原式
．
故答案为：
.
【变式5-4】
．
【答案】
【解析】由正切的和角公式得若
，则
，再根据此结论求解即可得答案.∵
，
，
∴
，
∴
．
∴
故答案为：
题型六：给值求角型问题
【典例6-1】已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，且
，
所以
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
故选：A．
【典例6-2】已知
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】C
【解析】由
，得
，
则
，而
，解得
，
因此
，由
，
，
得
或
，则
，
所以
.
故选：C
【解题总结】
针对给定三角函数值来求解对应角度的问题，其核心解决策略为：首先，依据已知条件
计算出该待求角的某一特定三角函数（如正弦、余弦或正切等）的函数值；接着，结合题目
所给信息明确待求角所在的取值范围；最后，综合运用三角函数的图象特征以及诱导公式等
工具，准确求出该角度的具体数值 。
【变式6-1】设
是方程
的两根，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】B
【解析】因为
是方程
的两根，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
则
，
所以
.
故选：B.
【变式6-2】已知等差数列
中，
，
，又
，
，其中
，则
的值为（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
.又
，
，
.
，
，
，
.
故选：D.
【变式6-3】（2025·高三·河北·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
，得
，所以
，
又
，
所以
，
所以
，
又
，所以
，
所以
.
故选：D.
【变式6-4】已知
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
所以
，
所以
，
，
所以
，又
，
所以
，
又
，
所以
，
所以
，
故
，
因为
，
，
所以
，则
．
解法二：因为
，
所以
，
，
∵
，
所以
，
，
，
所以
，
所以
，
所以
，
故选：C.
题型七：正切恒等式的综合应用
【典例7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
故选：D．
【典例7-2】
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
所以
.
故选：B.
【解题总结】
当
时，
【变式7-1】（2025·江西·一模）化简
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【解析】由两角和的正切公式得
由诱导公式得
，
则原式可化为
，故D 正确.
故选：D.
【变式7-2】在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
即
，所以
，
又因为
，所以
，于是
，
故选：B．
【变式7-3】
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
故选：B.
【变式7-4】（2025·河南·模拟预测）
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【解析】因为
.
故选：B.
【变式7-5】（2025·全国·模拟预测）已知正项等差数列
满足
，
，则
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，即
，
所以
，
.又
，所以
，
解得
，故
.
故选：B.
题型八：三角函数式的化简
【典例8-1】（多选题）下列式子化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由诱导公式可知
，逆用两角和的余弦公式可得
，
故A 错误；
对于B，由诱导公式可知
，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B 正确；
对于C，由辅助角公式可知，
故C 正确；
对于D，逆用两角和的正切公式可得
，故D 正确.
故选：BCD.
【典例8-2】（多选题）下列选项化简值为1 的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】对于A,
，A 错误，
对于B，
，B 正确，
对于C,
，C 正确，
对于D，
，故D 错误，
故选：BC
【解题总结】
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找
式子和三角函数公式之间的联系点.
【变式8-1】（多选题）（2025·广东佛山·模拟预测）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，
，故A 错误．
对于B，由
，故B 正确；
对于C，∵设
，
则
，
而
，故
即
，故C 正确．
对于D，
，所以D 正确.
故选：BCD.
【变式8-2】（多选题）下列化简正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，因为
，
所以
，
所以
，故A 错误；
对于B，因为
，
所以
，故B 正确；
对于C，设
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
所以
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确，
故选：BCD．
【变式8-3】（多选题）下列化简结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】选项A，
，故A 错误；
选项B，
，故B 正确；
选项C，由
，
，
则
，故C 错误；
选项D，
，故D 正确.
故选：BD.
【变式8-4】（多选题）下列计算或化简正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
为第二象限角，则
【答案】ACD
【解析】
，A 正确；
由
，可得
，B 错误；
，C 正确；
若
为第二象限角,所以
，
，
，D 正确；
故选：ACD．
题型九：三角恒等变换的综合应用
【典例9-1】（1）求证：
；
（2）已知
，
，求
的值．
【解析】（1）等式左边
，
等式右边
，即左边
右边，故等式成立．
（2）由
，
可得：
，
解得
，
，
即
．
【典例9-2】已知
，
，
，
，
.
(1)求
，
的值；
(2)求
的值.
【解析】（1）
，
.
，
，
又
，
.
，则
.
由
，可得
，
即
，所以
.
又
，
.
.
（2）由（1）可知，
，
，
，则
.
所以
.
【解题总结】
进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公
式的逆用和变形使用.
【变式9-1】已知
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
【解析】（1）由
，得
，
所以
.
（2）由
，得
，由
，
得
，则
，
所以
.
【变式9-2】已知
，且
均为锐角．
(1)求
的值；
(2)求
的值．
【解析】（1）
均为锐角，
，
，
故
，
又
，
，
，
，
故
；
（2）
，
，
，
.
【变式9-3】已知
，
为锐角，
，
．
(1)求证：
；
(2)求
的值．
【解析】（1）因为
，
所以
，又
，
所以
，
所以
，即
，
所以
；
（2）
，
所以
，
因为
为锐角，所以
，
，所以
，
所以
，所以
.
【变式9-4】已知函数
（其中
）的最小正周期为
.
(1)若
，求
的值；
(2)已知
，求
的值.
【解析】（1）
，
因为
，所以
，则
，
所以
.
因为
，所以原式
.
（2）因为
，所以
，
因为
，所以
，则
，
所以
.
1．已知
，
是函数
在
上的两个零点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】B
【解析】
解法一：依题意，
，故
，
由
，
得
，
且
，
所以
，
是方程
的两个异根．
同理可证，
，
为方程
的两个异根．可以得到
，
理由如下：假设
，则
，又
，
则
，这与已知相悖，故
从而
，
为方程
的两个异根，
故
同理可求
，
所以
解法二：令
，得
令
，即
，
则
，
即为
与直线
在
上交点的横坐标，
由图象可知，
，故
，
又
，
所以
解法三：依题意，不妨设
，
则点
，
为直线
与单位圆的两个交点，
如图所示．取AB 中点为H，则
，记
则
，
所以，
另一方面，
，
，故
，
从而
故选：
2．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
解法一：设
则
，取
，排除B，D
再取
则
，取
，排除
选
解法二：由
，
故
故
，即
，
故
，
故
，故
3．已知
，
，则
A．3
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
方法一：因为
，所以
，
，因为
，所以
，
．
方法二：由
及
，解得
，所以
，
4．已知
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
解法一：
，
，
，
且
，
又
，
负值舍去
解法二：
，
又
，
，
如图，构造直角三角形，易知
①数形结合
1．如图所示，
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
由题图可知，
，
，
，
，
故
，
故
故选
2．在平面直角坐标系xOy 中，第一象限内的点
和第二象限内的点
都在单位图O 上，
，
，其中
，
，若
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
第一象限内的点
和第二象限内的点
都在单位圆O 上，
且
，
，其中
，
，
若
，则
，
，
，
，两边平方化简得
，即
，解得
或
由图象可得，
，所以
，故
故本题选
3．已知正n 边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则
，其中
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设O 为内切圆的圆心，OB 和OA 分别是内切圆的半径，外接圆半径；
如图所示：
则
，
，
所以
，
，
在
中，
，即
，
所以
，
，即
，
整理得：
，
所以
故
故选：
②转化与化归
4．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】C
【解析】根据题意可得
，
解得
，
故选
5．已知
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
因为
，
所以
，
两边除以
，又
，
得
故选：
6．若
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
又
，所以
，
，
所以
，
所以
故选：
③分类讨论
7．已知
，
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】依题意
，
，
若
，则
，而
，不符合题意；
故
，
，
所以
，
则
，即
故选
8．已知
，
，则
A．0
B．
C．1
D．
【答案】A
【解析】依题意
，
，
若
，则
，而
，
与
矛盾，得到
，
，
所以
，
则
，即
，则A 正确．
故选：
9．已知
，
都是锐角，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
都是锐角，且
，
，
，
，
，或
，
舍去，或
，
，
都是锐角，
当
时，
，
故选：
基础过关篇
1．（2025 年高考全国二卷数学真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
因为
，则
，则
，
则
.
故选：D.
2．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
而
，所以
，
故
即
，
从而
，故
，
故选：A.
3．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
，
所以
，
故选：B.
4．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，而
，因此
，
则
，
所以
.
故选：B
5．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知
为锐角，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，而
为锐角，
解得：
．
故选：D．
6．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】[方法一]：直接法
由已知得：
,
即：
，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0 则sinα +cosα =0，取
，排除A, B；
再取α=0 则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β
，排除D；选C.
[方法三]：三角恒等变换
所以
即
故选：C.
7．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知
为第一象限角，
为第三象限角，
，
，则
.
【答案】
【解析】法一：由题意得
，
因为
，
，
则
，
，
又因为
，
则
，
，则
，
则
，联立
，解得
.
法二： 因为
为第一象限角，
为第三象限角，则
,
，
，
则
故答案为：
.
8．（2023 年上海秋季高考数学试题（网络收集版））已知
，则
= .
【答案】
/
【解析】已知
，则
.
故答案为：
9．（2022 年新高考浙江数学高考真题）若
，则
，
．
【答案】
【解析】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵
，∴
，即
，
即
，令
，
，
则
，∴
，即
，
∴
，
则
.
故答案为：
；
.
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵
，∴
，即
，
又
，将
代入得
，解得
，
则
.
故答案为：
；
.
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于
的方程
在
上有
个实根，则
的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】原方程
可化为
.
令
，则
，所以
.
令
，
，
又
在
上单调递减，所以
，则
.
当
时，
，此时
在
只有个实根，不符合条件；
当
时，
，此时
在
有
个实根，符合条件，
故选：A.
11．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因
，且
，由
，解得
，
所以
．
故选：A.
12．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意有
，
所以
，
故选：D.
13．（2025·甘肃白银·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
.
.
故选：D.
14．（2025·吉林长春·模拟预测）已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
所以
.
故选：D.
15．（2025·安徽蚌埠·三模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
=
=
.
故选：D.
16．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据题意，
，
.
故选：A.
17．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，即
，
设
，即
，
，
则
，得
，
因为
，得到
．
故选：C．
18．（多选题）（2025·福建福州·模拟预测）已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，β
终边经过点
， 则（ ）
A．
B．β 终边在第二象限
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意可得
， A 正确；
由于
，故
可在第一象限或第三象限，
在第一象限时，
，则
在第二象限，
在第三象限时，
，则
在第四象限，
即β 终边在第二象限或第四象限，B 错误；
由于
，
在第一象限时，
，
此时
在第二象限，
，则
，
故
；
；
在第三象限时，
，
此时
在第四象限，
，则
，
故
，
，C 错误，D 正确；
故选：AD
19．（多选题）（2025·吉林·模拟预测）已知向量
，
，若
，则
可
能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】
，以
为临边的平行四边形对角线相等，
，
，
，
，
时，
，
故选：ACD．
20．（多选题）（2025·山东聊城·三模）已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】A 选项，已知
，
，
则
，A 错误；
B 选项，
，B 正确；
C 选项，
，所以
，C 正确；
D 选项，
，D 错误；
故选：BC.
21．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）已知单位圆
的内接正
边形
的边长、周长和面积分
别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【解析】对于A，单位圆
的内接正
边形
的中心角为
，
如图设
，过
作
于点
，则
，
，故A 错误；
对于B，由A 的结论，
，则
，
则
，故B 正确；
对于C，
，
则
，故
，故C 正确；
对于D，由上分析，
，则
，
故
，故D 正确.
故选：BCD
22．（2025·高三·河南许昌·期中）当
时，
，则
.
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
所以
，所以
，
即
，
解得
或
，又
，所以
，
所以
，所以
，所以
，所以
.
故答案为：
23．公元前6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约
为0.618，这一数值也可以表示为
，若
，
.
【答案】2
【解析】因为
，
，所以
，
故答案为：
24．（2025·浙江杭州·模拟预测）若
，则
.
【答案】
【解析】
.
故答案为：
.
25．（2025·全国·二模）已知
，则
．
【答案】
【解析】
，即
，
.
故答案为：
.
26．（2025·山东青岛·模拟预测）已知
，
，则
.
【答案】
【解析】由
，
，
则
，
所以
，
则
.
故答案为：
.
27．（2025·山东泰安·模拟预测）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
直线
对称.若
，则
= .
【答案】
【解析】∵角
与角
均以
为始边，它们的终边关于直线
对称.，
∴
∴
故答案为：
.
能力拓展篇
28．（2025·广东揭阳·模拟预测）已知定义在实数集
上的函数
满足
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解法一：移项平方得：
，
令
，则
，故
，
相减可得
，
故
，即
，
设
，
．
解法二：移项平方化简得：
．
记
，则
，故
，
相减可得
，
故
．
．
由均值不等式
得
，
故
．
故答案为：
.
29．（2025·陕西汉中·二模）设
是关于
的方程
的一个实根，其中
为常数，
则
．
【答案】4
【解析】设
，则
，
，整理得
，
而
是关于
的方程
的实根，
所以
.
故答案为：4.
30．（2025·四川德阳·二模）若关于
的方程
在区间
上有且仅有一个实
数解，则实数
．
【答案】
【解析】由
，
所以
，
整理得
，
所以
，而
，则
，
故
，结合对勾函数的性质，
在
上
单调递增且值域为
，
在
上
单调递减且值域为
，
要使
在区间
上有且仅有一个实数解，
只需
时，此时
.
故答案为：
.
31．已知集合
，
，设函数
．
(1)当
时，证明：函数
是常数函数：
(2)已知
，写出所有使函数
是常数函数的集合
．
【解析】（1）当
时，
，所以
是常数函数.
（2）当
，不妨令
，
则
，
若函数
是常数函数，则
，
利用
可得到，
，
打开化简得
，
得
或
，
，所以
或
，
；
同理
或
，
；
或
，
；
则
，又
，
所以集合
有
，
，
，
共4 个.
