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压轴专题01 函数的基本性质
（单调性、奇偶性、周期性、对称性）
压轴分析
高考数学函数综合题中，单调性、奇偶性、周期性和对称性极少被孤立考查。真正的压轴难点在于
它们交织成网、彼此转化。命题人常通过形如 f(ax+b) 的“嵌套条件”设置障碍，其核心是检验学
生能否剥离代数形式，洞察背后的几何本质（即对称轴或对称中心）。破题的关键在于建立“性质
推理链”：往往从两个对称性条件推导出周期性，再利用周期性化繁为简，最后借助单调性进行比
较或求解。掌握“翻译条件→串联推导→数形结合”的思维路径，方能从复杂条件中精准破局。
知识总结
1. 奇偶性的运算
f(x)
g(x)
f(x)+g(x)
f(x)−g(x)
f(x)g(x)
f[g(x)]
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确
定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确
定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数
f ( x)=ax+a−x
，（
，且
）为偶函数，
，（
，且
）为奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
和
，（
，且
）为其定义域上的奇函数
为偶函数
3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数
，（
且
）为奇函数，
，（
且
）为奇函数
4. 函数的周期性
①若
，则
的周期为：
②若
，则
的周期为：
③若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
④若
，则
的周期为：
（周期扩倍问题）
⑤
，周期为
，
，周期为
⑥
，周期为
，周期为
；
，周期为
；
，周期为
⑦复合函数：
的周期为
，则
的周期也为
⑧若
的周期为
，则
、
的周期均为
5. 函数的对称性
轴对称
①若
，则
的对称轴为
②若
，则
的对称轴为
点对称
①若
，则
的对称中心为
②若
，则
的对称中心为
6. 函数的性质综合
（1）周期性对称性综合问题
①若
，
，其中
，则
的周期为：
②若
，
，其中
，则
的周期为：
③若
，
，其中
，则
的周期为：
（2）奇偶性对称性综合问题
①已知
为偶函数，
为奇函数，则
的周期为：
②已知
为奇函数，
为偶函数，则
的周期为：
二级结论
1. 在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，则最大值
，最小值
有
，即
倍常数
2. 在定义域内，若
，其中
为奇函数，
为常数，有
即
倍常数
典例精讲
【典例1】
（2025·四川成都·模拟预测）已知函数
是偶函数，则
（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．1 或-1
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质计算可得.
【详解】由偶函数性质
可得
，移项得
，
所以
，即
，所以
解得
.
检验：当
时，
，此时定义域是
，
显然关于原点对称,所以
满足题意；
当
时，
，此时定义域是
，
显然不关于原点对称，所以
不满足题意；
故选:C
会一题通一类
（2025·广东广州·模拟预测）若函数
是奇函数，则实数
.
【答案】1
【分析】根据函数奇偶性的定义及对数运算性质即可求解.
【详解】
，
所以
，
因为
为奇函数，
所以
，
所以
，
即
，所以
，
所以
，
所以
，解得
，
此时定义域为
，关于原点对称，满足奇函数要求，符合题意.
故答案为：1.
【典例2】
（2025·四川绵阳·二模）已知定义在
上的函数
，其中
是奇函数且在
上单
调递减，
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，探讨函数
的奇偶性及单调性，再求解不等式.
【详解】依题意，
，
，
则函数
是
上的奇函数，而函数
在
上都单调递减，
因此
在
上单调递减，不等式
，则
，
解得
，所以所求解集是
.
故选：B
会一题通一类
1．（2025·湖南长沙·二模）已知函数
，且
，则实
数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先构造函数
，将不等式
可以转化为
，利用奇偶性定义得到函数
为奇函数，利用导数证明函数
在
上单调递增，
再利用奇偶性和单调性结合解不等式
,即可得到实数的取值范围.
【详解】设
，则
，
所以
可以转化为
，即
，
因为
所以函数
为奇函数，
，所以函数
在
上单调递增，
，即
，
因为
为奇函数，所以
，
所以
，所以
即
或者
，所以实数的取值范围是
故选：C
2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，
，且对于
、
，当
时都有
，则不等式
的解集为 ．
【答案】
【分析】构造函数
，利用导数分析函数
的单调性，将所求不等式变形为
，
即为
，结合函数
的单调性可求得
的取值范围，然后验证
恒成立，即可得解.
【详解】构造函数
，其中
，
则
，
故函数
在
上为减函数，
由
可得
，即
，
因为
，则
，所以，
，解得
.
对于
、
，当
时都有
，
不妨设
，则
，所以，函数
在
上为增函数，
则对任意的
，
，则
，可得
恒成立，
因此，所求不等式的解集为
.
故答案为：
.
【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：
（1）对于不等式
（或
），构造函数
；
（2）对于不等式
（或
），构造函数
；
（3）对于不等式
（或
）（其中为常数且
），构造函数
；
（4）对于不等式
（或
）（其中为常数），构造函数
.
3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知可导函数
的导函数为
，若对任意
，都有
，且
，则不等式
的解集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，进而求出不等式的解集.
【详解】设函数
，求导得
，
由
，得
，函数
在R 上单调递减，
，即
，
由
，得
，因此
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：
4．（2025·江苏镇江·模拟预测）函数
，若不等式
在
上有解，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分析可知函数
为奇函数，且在
内单调递减，根据题意可得原题意等价于不等式
在
上有解，构建
，利用导数求其最大值即可得结果.
【详解】因为
，可知
的定义域为
，
且
，
可知函数
为奇函数，
又因为
在
内单调递增，可知
在
内单调递增，
则
在
内单调递减，
且
在定义域内单调递增，可知
在
内单调递减，
可得
在
内单调递减，可知
在
内单调递减，
若
，
即
，可得
，且
，即
，
原题意等价于不等式
在
上有解，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，则
，
可得
，所以实数
的取值范围为
.
故选：B.
5．（2025·天津和平·三模）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若
时，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合题意求出函数
在区间
上的最小值，根据题意得出
，解该不等
式即可得解.
【详解】当
时，
恒成立，则
，
因为定义域为
的函数
满足
，
当
时，
，
当
时，
，
则
，
因为
，此时
；
当
时，
，
则
，
因为
，则
，则
，所以
，
所以，函数
在
上的最小值为
，
所以，
，即
，即
，解得
或
.
因此，实数
的取值范围是
.
故选：A.
【典例3】
（25-26 高三上·江苏苏州·月考）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函
数.若
，则
（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性推出函数关于直线
对称和关于点
对称，则得到其周期，再计算其一个
周期内的和，最后代入计算即可.
【详解】
为偶函数，则
，则
关于
对称，
为奇函数，则
，
即
，则
关于点
对称，
则由函数关于
对称有
，则
，
则
，相减有
，
为周期函数，且周期为4，因为
，
，则
，
由题意可得
，
，则
，
，则
，
则
，
故选：B.
会一题通一类
1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数
，对任意的
，恒有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
D．
【答案】C
【分析】对于A：令
后计算即可判断；对于B：根据奇函数的性质即可判断；对于C：令
后
计算即可判断；对于D：先通过变形确定函数的周期，然后利用周期来求解．
【详解】对于A：令
，则
，
又
，所以
，故A 错误；
对于B：因为
，所以
不为奇函数，故B 错误；
对于C：令
，则
，
即
，得
。由
的任意性可知
，故C 正确；
对于D：令
，则
，
，则
，
所以
，可得
，
可知
是周期为6 的周期函数．
所以
，故D 错误．
故选：C．
2．（2025·江西·二模）已知函数
是定义在
上的函数，
，且对任意的
都有
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知条件得出
，代入题干中的不等式，结合不等式的基本性质推导出
，再结合
可求得结果.
【详解】由
，得
，
由
，
，
得
，
，
即
，
，
所以
，
所以
，
又因为
，故
.
故选：B.
3．（2025·四川德阳·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为偶函数，
为奇函
数，当
时，
，则
.
【答案】0.
【分析】先通过奇偶性转化为对称关系，再通过变量代换将不同的对称关系结合，推导函数
的周期，
最后利用周期简化运算求和.
【详解】由
是偶函数，得
（偶函数的对称性），
这说明函数
的图象关于直线
对称，
由
是奇函数，得
（奇函数的对称性），
且
（奇函数过原点），
由
，令
，则：
，则
，
结合
，可得：
.
再令
，则：
，则
，
代入
，得：
，即
.
因此，
是周期为的周期函数.
已知当
时，
，结合对称性与周期性计算
到
：
；
；
；
；
；
；
；
；
一个周期内（
到
）的和为：
，
因为函数周期为，
余，即包含
个完整周期，
余下
，
因为一个周期和为
，所以总和为：
.
故答案：
.
4．（25-26 高三上·福建泉州·期中）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为奇
函数，
，
，则
（ ）
A．2025
B．2024
C．1013
D．1012
【答案】A
【分析】根据题意和函数的对称性可得
，进而
，则函数
是以8 为
周期的周期函数，分别求出
的值，结合函数的周期即可求解.
【详解】由
，令
，得
，所以
.
由
为奇函数，得
，
所以
，故
①，
又
②，
由①和②得
，
即
，
令
，则
，
所以
③，
令
，得
，得
；
令
，得
，得
.
又
④，
由③-④得
，即
，
所以函数
是以8 为周期的周期函数，故
，
所以
，
所以
.
故选：A
【典例4】
（2025·广东清远·一模）（多选）已知函数
满足：
都有
，且
的图象关于直线
对称，若
．则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】ABD
【分析】在已知式中令
求得
，从而得出
的图象关于点
对称，再由已知得
的图象关
于直线
对称，由两个对称性得函数的周期性，4 是它的一个周期，然后根据对称性与周期性求值判断
各选项．
【详解】对A，
都有
，令
得
，所以
，A 正确；
对B，由选项A 分析知
，所以
的图象关于点
对称，
从而
的图象关于点
对称，所以
是奇函数，B 正确；
对C．
的图象关于直线
对称，则
的图象关于直线
对称，因此有
，
由两个对称性得
，C 错误；
对D，由以上分析得
，
所以
，所以
是周期函数，4 是其一个周期，
，
，
，
，
，
所以
，
所以
，D 正确．
故选：ABD．
会一题通一类
1．（2025·辽宁盘锦·三模）已知定义域均为
的函数
，
满足
，
，
，若
，则下列说法错误的是（ ）
A．
的图象关于y 轴对称
B．
为
的一个周期
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数的奇偶性和对称性，求出周期，确定对称轴，求函数值的和分别判断各个选项.
【详解】因为
，所以
，又因为
，所以
，所以
，所以
的图象关于y 轴对称，故A 正确；
又因为
，所以
，所以
，即
，
所以
，所以
，故B 正确；
在
中，令
，得
，所以
，故C 错误；
因为
，所以
，所以
，所以
，
，
故
，故D 正确．
故选：C
2．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）（多选）定义在
上的函数
满足
，且
为奇函数，已知当
时，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据已知得
、
，进而得
，利用对称性判断
在区间
上的单调性，再由区间解析式判断单调性，结合对称性比较大小，最后由周期性求函数值.
【详解】由
为奇函数，则
，即
，
由
，则
，故
，
所以
，故
，A 对；
由
，知
图象关于
对称，
由
，知
图象关于点
对称，且
，
当
时，
，即
在
上单调递增，
所以
在
、
上单调递减，即在
上单调递减，
若
，则
，结合周期性知
，
所以
在区间
上单调递减，B 对；
由
，C 错；
由
，则
，
，
所以
，又
，
，D 对.
故选：ABD
3．（2025·辽宁丹东·模拟预测）（多选）定义在
上的奇函数
满足
，
在区间
上单调递增，且
，则（ ）
A．
B．
在
上单调递减
C．
关于直线
对称
D．
【答案】AB
【分析】利用已知条件迭代可得周期，结合奇函数性质可判断A；利用
和奇函数定义可得
函数
的图象关于
对称，根据对称性，结合已知可判断B；求出
和
可判断函数图象关
于直线
对称，结合周期可判断C；利用周期性可判断D.
【详解】因为
，所以
，
所以
，
故
，
所以
，所以
，
所以，6 是函数
的一个周期.
对于A，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，所以
，正确；
对于B，因为
，
因为
是
的周期，所以
，故
所以函数
的图象关于
对称，又
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上单调递减，正确；
对于C，因为
，所以
，
又
，所以
，
所以
的图象不关于直线
对称，
根据周期性可知，
的图象不关于直线
对称，错误；
对于D，因为
，
，
所以
，错误.
故选：AB
【典例5】
（2025·广东广州·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是奇函数，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是增函数
C．
存在最小值
D．当
时，
【答案】BCD
【分析】对于A：根据奇偶性的定义结合复合函数求导分析判断；对于B：构建
，利用导数
可得
，进而分析判断；对于C：根据奇偶性求
，
的解析式，利用判断
的最小
值；对于D：构建
，利用导数证明不等式.
【详解】对于选项A：因为函数
及其
的定义域均为
，且
是奇函数，
则
，求导可得
，
所以函数
是偶函数，故A 错误；
对于选项B：构造
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，则
，
构造
，则
，
所以
是增函数，故B 正确；
对于选项C：因为
，
则
，可得
，
联立
，解得
，
构造
，则
，
因为
在
上单调递增，则
在
上单调递增，且
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以
有最小值
，即
存在最小值，故C 正确；
对于选项D：构造
，
则
，可知
在
内单调递增，
则
，所以当
时，
，故D 正确；
故选：BCD.
会一题通一类
1．（2025·海南·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，当
时，
，且
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
在
上单调递减
D．
【答案】ABD
【分析】令
求出
，令
，可判断A；令
与 令
求出
，可判断
B；对
两边同时对
求导，把
看作常数，求出
可判断C；
是
以4 为周期循环的，利用周期性可判断D.
【详解】对于A，由已知函数
定义域为
，关于原点对称，
令
，由
得
，
令
，由
，可得
，
所以
为奇函数，故A 正确；
对于B，
，令
，则
，
令
，则
，
所以
，解得
，可得
，
故B 正确；
对于C，对
两边同时对
求导，把
看作常数，
得
，因为
，令
，
所以
，即
，得
，
则
，
当
时
，
单调递增，
当
时
，
单调递增，当
时
，
单调递减，故C 错误；
对于D，因为
，
是以4 为周期循环的，
，
，
，
，
所以
，
，故D 正确.
故选：ABD.
2．（2025·全国·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
是定义在
上的奇函数，且
的一个周期为2，则（ ）
A．2 为
的周期
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性，得到对称性和周期性，逐个计算判断即可.
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，
所以
,
所以
，
所以
关于
对称，且
，
又
的一个周期为 2 ，
所以
，即
，
所以
，所以
的周期为 4 ，所以 A 选项错误；
因为
，
所以
，
又
的周期为 4 ，即
，
所以
，
所以
，所以 B 选项错误；
因为
，
，
所以
，
,
即
，
，
所以
，
，
所以
，
，
所以 C 选项错误，D 选项正确．
故选：D．
3．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若
，
，且
为奇函数，则（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
的图象关于直线
对称
C．
为偶函数
D．
【答案】ABC
【分析】结合函数的对称性、奇偶性、导数关系以及抽象函数的性质，逐项进行判断即可.
【详解】对于A 选项，因为
①，
用
代替
得，
，即
，
又
为奇函数，所以
，
所以
，
用
代替
得，
，即
②，
所以①
②得
，所以
的图象关于点
对称，故A 选项正确；
对于B 选项，因为
，两边同时求导，得
，
又
，用
代替
得，
，
所以
，所以
关于点
对称，所以
的图象关于直线
对称，故B 选
项正确；
对于C 选项，因为
，用
代替
得，
，
又
的图象关于直线
对称，则
，所以
，
所以
，
又
的图象关于点
对称，则
，
用
代替
得，
，所以
，
所以
为偶函数，故C 选项正确；
对于D 选项，因为
为奇函数，所以
，用
代替
得，
，又
的图象关于直线
对称，则
，
所以
，用
代替
得，
，
所以
，所以
的周期为，
由
，所以
用
代替
得，
，所以
的周期也为，
由
，得
，
，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
，
，
，
，
，
，
，所以
，
所以
，而
的值是未知的，故D 错误.
故选：ABC
【典例6】
（2025·江苏·模拟预测）若函数
的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】原题意等价于
与
在
内有交点，可转化为
在
有解，构
造
，利用单调性并求值域，即可求
的取值范围.
【详解】由题意可知：
，即
在
内恒成立，则
，
因为直线
关于
轴对称的直线为
，
原题意等价于
与
在
内有交点，
即
在
内有解，可转化为
在
有解，
令
，
，
因为
在
上单调递增，故函数
在
上单调递增，
则
，且
趋近于
时，
趋近于
，
可知
在
内的值域为
，可得
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B.
会一题通一类
1．（2025·四川德阳·模拟预测）任意实数
，函数
在
上有最值，
则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出存在实数
，使函数
在
上没有最值时，实数m 的取值
范围；根据其补集求得当任意实数
，使函数
在
上有最值时，实数m
的取值范围即可.
【详解】命题"任意实数
，函数
在
上有最值"的否定如下，
是"存在实数
，使函数
在
上没有最值",
即存在实数
，使函数
在
上单调,
即存在实数
，使
，或
在
上恒成立.
由
，得
.
因为
，
，所以
.
令
，易知
在
上单调递减，
所以
.
令
，易知
在
上单调递减，所以
.
令
，则
在
上单调递减，所以
.
所以当
时，
，
即存在实数
，
.
所以
；
当
时，得到
，
即存在实数
，
.
所以
.
所以当存在实数
，使函数
在
上没有最值时，得到
或
.
所以当任意实数
，使函数
在
上有最值时，得到
.
所以实数m 的取值范围为
.
故选：A.
2．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知函数
，若实数
，
满足
，
则
的最大值是（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】利用奇函数定义与导数计算可得
为奇函数及在
上单调递增，则可得
，再利用二
次函数性质计算即可得解.
【详解】由
，有
，
又
定义域为
，故
为奇函数，
则
，
，当
时，
，则
，
当
时，
，
故
在
上单调递增，故
，
有
，
当且仅当
，
时取等，故
的最大值是
.
故选：C.
53．（2025·广东惠州·模拟预测）已知
，若
有三个零点，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先得到
为奇函数且单调递减，问题等价于方程
在R 上有三个不同的实数根，令
，求导得到其单调性和极值情况，从而得到
的取值范围为
.
【详解】
的定义域为R，且
，
所以
是奇函数，
有三个零点等价于
方程
有三个不相等的实数根，
又
是奇函数，可得
，
，可知
单调递减，所以有
，即
，
所以问题等价于方程
在R 上有三个不同的实数根，
即函数
的图象与直线
有三个不同的交点，
由
，得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
的极大值为
，极小值为
，
∴
的取值范围为
.
故选：A
热点预测
1．（2025·福建莆田·模拟预测）已知函数
的定义域为
，值域为
，若
，
函数
为偶函数，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用恒等式可推导
，得出周期性，再由偶函数可得函数
的图象是关于直线
对称的，再利用赋值思想即可求值.
【详解】因为
的值域为
，
所以可由
得：
，
则有
，
所以函数
是一个以4 为周期的函数，则有
，
又因为函数
为偶函数，所以
，
则函数
的图象是关于直线
对称的，即
，
又因为周期性可知
，所以
，
又由
可得：
，所以
，
因为
的值域为
，所以
，即
，
故选：B
2．（2025·湖南·一模）已知
均为定义在
上的函数，
，若
的图象关于直线
对称，且
，则
的值是（ ）
A．463
B．464
C．465
D．466
【答案】B
【分析】根据
的图象关于直线
对称，可得
，再根据
可转化得
为奇函数，从而得函数
的周期为4，根据对称性与周期性求值即可得出结论.
【详解】由
的图象关于直线
对称，可得
的图象关于直线
对称，
即
的图象关于直线
对称，则
，
由
，可得
，
又
，得
，
所以
，
即
，所以
的图象关于点
对称，即
为奇函数，
所以
，函数
的周期为4；
由
可得
，
又因为
，所以
，
根据函数
的性质，得
所以
．
故选：B.
3．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在
上的奇函数
满足
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．6
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性和对称性推出函数的周期性，求出一个周期内的函数值，利用周期性即可求得
答案.
【详解】因
是
上的奇函数，则
，
又由
可得
，则
，
故
，即4 为函数
的一个周期.
因当
时，
，则
，
，
又
，
，
，
，
，
，
则
，
，
则
.
故选：B.
4．（2025·云南·模拟预测）已知对任意正整数对
，定义函数
如下：
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，
，令
，可判断A；利用累乘法可得
，判断B；利用二项式定理判断C；
，利用错位相减法求解判断
D.
【详解】
，
，
令
，则
，
，则A 错误；
，
当
，
，
，
，
，
，
累乘得：
，
，
，
，
而对于
中令
，得
，矛盾，则B 错误；
，则C 正确；
，
令
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
，
则D 错误．
故选：C．
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知函数
及其导函数
的定义域都是
，若函数
是偶函数，
也是偶函数，且
，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出
，由已知可得出
，
可求出
的表达式，利用导数分析函数
的单调性，可知函数
在
上为减函数，再由
可得出
，可得出关于实数
的不等式，解之即可.
【详解】因为
为偶函数，则
，等式两边求导可得
，①
因为函数
为偶函数，则
，②
联立①②可得
，
令
，则
，且
不恒为零，
所以，函数
在
上为减函数，即函数
在
上为减函数，
故当
时，
，所以，函数
在
上为减函数，
由
可得
，
所以，
，整理可得
，解得
或
.
故选：D.
6．（多选）（2025·山东聊城·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意的
，不等
式
恒成立，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】令
，可判定A 正确；令
，可得
，结合
，
可判定B 正确；令
，得到
，可判定C 错误；设
，得到
，设
，利用导数，求得
在
上单调递增，证得
，进
而可判定D 正确.
【详解】对于A，令
，得
，所以A 正确；
令
，可得
，
因为
，所以
，所以
，所以B 正确；
对于C，令
，则
，所以
，所以C 错误；
对于D，设
，则
，即
，
所以
，
所以
，所以
，
设
，则
，所以
在
上单调递增，
则
，所以
，所以
，
所以
，所以D 正确.
故选：ABD.
7．（多选）（2025·贵州遵义·模拟预测）已知定义域为
的函数
满足：
，且
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
的图象关于直线
对称
【答案】AC
【分析】对于A：令
代入运算即可；对于B：令
，结合函数奇偶性的定义分析判定；对于
C：令
，整理可得
，进而运算求解；对于D：举反例说明即可.
【详解】因为定义域为
的函数
满足
，且
，
对于选项A：令
，则
，
即
，所以
，故A 正确；
对于选项B：令
，则
，
即
，即
，
所以
是奇函数，故B 错误；
对于选项C：因为
是奇函数，则
，
令
，则
，
即
，
若
，则
；
若
，则
；
依此类推可得：
，故C 正确；
对于选项D：例如
，
则
，
，
且
，可知
符合题意，
但
的图象不关于直线
对称，故D 错误；
故选：AC.
8．（多选）（2025·广东深圳·模拟预测）已知连续函数
满足
，则（ ）
A．
B．
最小值为1
C．
D．
【答案】ACD
【分析】A 选项，赋值得到
，令
得到方程，结合
求出
；B 选项，求出
，不妨设
，待定系数法得到
，得到最小值，B 错
误；C 选项，令
得
，则
，……，
，
以上式子累加得
，故
，C 正确；D 选项，赋值得到
，令
，从而得到
.
【详解】A 选项，
中，令
得
，解得
，
令
得
，
又
，故
，解得
，A 正确；
B 选项，
中，令
得
，又
，故
，
不妨设
，
又
，
，
，故
，
解得
，故
，
经检验，
满足
且为连续函数，
则
，故
的最小值为
，B 错误；
C 选项，
中，令
得
，
故
，
则
，
……，
，
，
，……，
，
，
以上式子累加得
，
故
，C 正确；
D 选项，
中，令
，
，
则
，
则
，
其中
，令
，
则
，
故
，
即
，D 正确
故选：ACD
9．（2025·湖南长沙·三模）已知函数
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先判断函数的单调性，并根据不等式转化为
，利用参变分离的方法，转化为求
函数的最值问题.
【详解】设函数
，则
，
所以
是奇函数，且
时，
单调递增，
则
单调递增，且
，
所以
，
即
，
，则不等式
恒成立，
，
设
，
，
设
，
，
，
所以
在
上单调递增，
，
所以
恒成立，则
恒成立，
则
在
上单调递增，
，根据洛必达法则可知，
.
故答案为：
10．（2025·福建·模拟预测）已知函数
的定义域为
为
的导数，
，当
时，
，若
，则关于
的不等式
在区间
上的解集为 .
【答案】
【分析】构造函数
，并由导数法得
在
上单调递增，再利用奇函数定义及对称性概念
知
为奇函数且关于
对称，从而得到
的对称性和单调性，将所给不等式转化为
，
结合已知函数值，利用函数性质即可求解不等式.
【详解】设
，则当
时，
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以
为奇函数，
又
，
所以
关于
对称，所以
，
所以
，所以
的周期为6，且
为偶函数，
又
，所以
，
故由
的单调性可知：
在
和
单调递增，
在
和
单调递减，又
，
由
的对称性可知，
，
由
可得，
，
所以关于x 的不等式
在区间
内的解集为
．
故答案为：
【点睛】结论点睛：破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下：
1.对于不等式
，构造函数
；
2.对于不等式
，构造函数
；
3.对于不等式
，构造函数
；
4. 对于不等式
，构造函数
；
5. 对于不等式
，构造函数
；
模拟训练
一、单选题
1．（2025·江苏·模拟预测）已知
和
都是定义在
上的奇函数，设
，
则（ ）
A．
不可能是增函数
B．
不可能是偶函数
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，
，可判断A，C；设
，
，可判断B；分
，
，可判断D.
【详解】设
，
，则
，
所以
在
上单调递增，且
，故A，C 错误；
设
，
，则
，此时
为偶函数，故B 错误；
对于D：对任意
，
若
，则
，即
.
由题意可知
，
所以
，
，
所以
，
.
所以
；
若
，上式也成立，故D 正确.
故选：D
2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
及其导数
的定义域均为
在
上单调递增，
为奇函数，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由
为奇函数得到
，再由
的单调性可推得
的单调性，根据对称性可
得
，再比较
的大小即可得解.
【详解】因为
为奇函数，所以
，
令
，则
，故
，
又
在
上单调递增，所以当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增；
又因为
，则
.①
在①式中令
，可得
，故
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，
由于
，故上式等号不成立，则
，
又
，所以
，即
，即
，
同理可得
，所以
，
所以
，即
.
故选：C.
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，又当
时，
恒成立，若
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
构造
，借助其单调性解抽象不等式即可.
【详解】令
，
则
，
所以
为偶函数，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又因为
，
，
所以
因为
所以
，
所以
，
所以
，
故选：A.
4．（2025·四川攀枝花·模拟预测）已知函数
的定义域
关于原点对称，
且
满足：
（1）当
时，
；
（2）
且
.则下列关于
的判断错误的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
C．
是
的一个周期
D．
在
上单调递减
【答案】D
【分析】利用奇偶性的定义解结合（2）可判断A 选项；由奇函数的性质结合（2）可判断B 选项；根据
（2）以及B 选项推导出
，可得出
，再结合函数周期性的定义可判断C
选项；利用（2）结合函数单调性的定义可判断D 选项.
【详解】因为
、
，
，
所以
为
上的奇函数，A 对；
因为
，所以
，
所以
，B 对；
因为
，
所以
，
所以
是
的一个周期，C 对；
、
，且
，则
，
因为当
时，
，所以
、
、
均小于
，
又
，所以
，所以
，
所以
在
上单调递增，D 错．
故选：D．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）设
与其导函数
的定义域均为
，若
，
的图象关于直线
对称，
在区间
上单调递减，且
，则下列结论正确的是
（ ）
A．
为奇函数
B．
为偶函数
C．
D．
的极小值为
【答案】D
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为
的图象关于
对称，所以
，
即
，则
为偶函数，故A 错误；
由
得，
，两边取导数得，
，
即
，所以
，则
是奇函数，故B 错误；
由上可知，
，又由
得
，
所以
，则
，
所以有
，即函数
是一个周期函数且周期为8；
又由
，令
得，
，则
，故C 错误；
因为
是奇函数，所以
的图象关于点
对称，
又由
在
上单调递减，所以
在
上单调递减，
又
，所以
在
上单调递减，
又A 中知
，故
的图象关于
对称，
所以
在
上单调递增，
由周期性可知，
在
上单调递增，
所以当
时，
取得极小值，即
，
由单调性和周期性可得
的极小值只能为
，故D 正确，
故选：D
6．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
，若函数
恰有4 个
零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
，结合已知，将问题转化为
与
有个不同交点，分
三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【详解】注意到
，所以要使
恰有4 个零点，
只需方程
恰有3 个实根即可，
令
，即
与
的图象有个不同交点.
而
，
恒过
，
当
时，此时
，如图1，
与
有个不同交点，不满足题意；
当
时，如图2，此时
与
恒有个不同交点，满足题意；
当
时，如图3，当
与
相切时，联立方程得
，
令
得
，解得
（负值舍去），所以
.
综上，
的取值范围为
.
故选：D.
7．（2025·全国·模拟预测）设
为定义在整数集上的函数，
，
，
，对任
意的整数
均有
，则
=（ ）
A．0
B．1013
C．2025
D．4050
【答案】B
【分析】通过代入特定值分析函数的周期性，确定取值规律，进而求解
的值.
【详解】令
，则
，所以
．
令
，则
，又
，所以
．
令
，则
，所以函数
的图像关于直线
对称．
令
，则
，所以
，
的图像关于点
对称．
故
，则
,
是周期
的函数．
又
，当
为偶数时，
．当
为偶数时，
也为偶数，此时
；当
为奇数时，令
，则
.
所以
1013．
故选：B．
8．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
得
，进而得
即可判断A，由
猜想
，利用数学归纳法验证，即可判断BD，由
，利用
即可判断
C.
【详解】由题意有
，得
，所以
，故A 错
误；
因为
，
，由
有
，
所以
，
，
猜想
，当
时，显然成立，
假设
时，猜想成立，即
，当
时，
，即成立，所以
，
所以
，故D 正确，B 错误，
当
时，
，所以有
，又
，所以
，
，
，故C 错误.
故选：D.
9．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
满足
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
的定义域为
C．若
在
上单调递增
D．若
，则
【答案】B
【分析】应用赋值法计算求解得出
判断A，B，应用已知关系式得出函数再结合导函数得出单
调性判断C，应用赋值法结合等差数列通项公式计算判断D.
【详解】令
，可得
，所以
，A 选项正确；
令
，可得
，所以
不成立，所以
的定义域不是
，B 选项不
正确；
因为
，所以
，
，
因为
，所以
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，C 选项正确；
若
，令
，可得
，
所以
，所以
为等差数列，
所以
，则
，D 选项正确；
故选：B.
10．（2025·甘肃白银·三模）已知对于
，
，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．0
【答案】D
【分析】根据函数对称性结合计算得出函数周期性计算函数值和即可.
【详解】因为
，所以
，所以
.
由
，得
，两式相加得
，所以
，
所以
，所以
是以6 为周期的周期函数.
当
时，
，又
，所以
，所以
，所以
；
当
时，
，所以
，因为
，
所以
，
所以
.
故选：D.
11．（2025·江苏盐城·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用赋值法得到
，
，
，根据
，得
，从
而可得
.再由当
时，
，可求出
，从而可求解.
【详解】在
中，令
，可得
,
即
，
所以
.
又
，所以
,
所以
.
因为
，所以
，
所以
.
因为
，当
时，
，
所以
，
所以
，
所以
.
故选:B.
12．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
的定义域为
，将
的图象绕原点旋转
后所得图象
与原图象关于
轴对称，且
，
，
，则
（ ）
A．2024
B．
C．2025
D．
【答案】D
【分析】由题意可得函数
为偶函数，利用赋值法可得
，可求得
，进而可得
，可得
符号相反，
，可求
.
【详解】因为将
的图象绕原点旋转
后所得图象与原图象关于
轴对称，
所以函数
为偶函数，即
，
由
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
又
，可得
，所以
，
所以
，所以
，所以
是周期为4 的周期函数，
所以
，所以
，
因为
，
，所以
，
，
因为函数的周期为4，所以
符号相反，用
，
所以
，所以
.
故选：D.
13．（2025·河北保定·三模）已知定义在
上的奇函数
，当
时，
，若
，
，都有
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】通过求导判断函数
在
上的单调性和最值，求得值域，再利用奇函数的图象对称性，
求出函数在
上的值域，继而可求出参数范围.
【详解】由
，求导得
，
则当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，当
时，
，即当
时，
，
由奇函数的性质可知
时，
，故
时有
，
如图所示，
，都有
，所以
，
故由
恒成立可得
.
故选：C.
14．（2025·山东济南·三模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且满足
．若
在
单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件可得
的图象在
上连续不断，再结合赋值法、复合函数求导、不等式性质逐项
判断.
【详解】由函数
及其导函数
的定义域均为
，得
的图象在
上连续不断，
对于A，取
，由
，得
，
当
时，取
，
，而
在
上单调递增，
则
在
上不恒为0，因此
，即
，A 错误；
对于B，
，取
，
，由选项A 知，
，
不恒为0，B 错误；
对于C，由
在
上单调递增，得当
时，
；
当
时，由
，得
，C 错误；
对于D，
，则
，
因此
，D 正确.
故选：D
二、多选题
15．（2025·吉林长春·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．
若
，
为偶函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对
进行变形可判断A，分析
的对称性和周期性可判断B，由已知变形得到
和
的两个方程并联立可判断C，先计算得到
的值，由
的周期性及
和
的值计算可判断D.
【详解】对于A，由
，可得
，
两式相减可得
，故A 正确；
对于B，由
为偶函数，可得
，
即
，所以
的图象关于直线
对称，
由
，两边求导得
，即
，
所以
是以4 为周期的周期函数，
则有
，无法推出
，故B 错误；
对于C，由
，两边求导得
，
即
，令
，可得
，
又
，令
，可得
，
联立
，解得
，故C 正确；
对于D，由
，当
时，
，又
，可得
，
当
时，可得
，
由
，即
，
所以
，令
，可得
，
所以
，令
，可得
，
，
，
由B 知
的周期为4，则
，所以
，
，故D 正确.
故选：ACD.
16．（2025·四川成都·一模）已知
是定义在
的偶函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
是
的极小值点
D．存在实数
，使得直线
与
的图象恰有1 个公共点
【答案】AC
【分析】将自变量代入求函数值判断A，利用偶函数的性质求函数区间解析式判断B，应用导数研究函数
的极值点判断C，根据C 的分析判断
的性质，结合偶函数的对称性判断D.
【详解】由题设
，A 对，
若
，则
，故
，
由
为偶函数，则
，B 错，
由上
时，
，则
，
令
，即
在
上单调递增，
又
，故在
上
，在
上
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，故
是
的极小值点，C 对，
由C 分析，
或
时
，且
，
所以
、
上
，又
为偶函数，则
、
上
，
所以直线
与
的图象恒有2 个交点，D 错.
故选：AC
17．（2025·广东·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数.
若
，则（ ）
A．
B．
可能为2
C．
D．
可能为0
【答案】AD
【分析】利用函数的奇偶性和对称性得到
，进而判断A，利用反证法判断B，利用赋值法判断C，
D 即可.
【详解】对于A，设
，因为
为奇函数，
所以
，
且
，即
.令
，
则
，则
的图象关于点
对称.
设
，故
，
即
，可得
为偶函数，令
，
则
，则
的图象关于直线
对称，
若
，则
即是奇函数，又是偶函数，
故只能有
，即
对任意
成立，
则
对任意
成立，与
矛盾，故
，故A 正确；
对于B，由于
，若
，
则
，与
2 矛盾，故B 错误；
对于D，取
，则
的图象关于点
对称，
，
即存在
使得
为0，故D 正确；
对于C，取
，则
的图象关于直线
对称，
故
，令
，有
，
由D 得
，故存在
使得
不为
，故C 错误.
故选：AD.
18．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数
定义域为
，当
时，
，且对任意实数
，
均有
，则（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
D．
是单调函数
【答案】BCD
【分析】A 选项，令
得到
或
，若
，推出矛盾，从而得到
；B 选项，
令
，代入
整理得
，B 正确；C 选项，在B 基础上得到
，因
为
，所以
；D 选项，令
，有
，推出当
时，
，
在R 上恒成立，定义法得到
在R 上单调递增，D 正确.
【详解】A 选项，令
，得
，
整理得
，解得
或
，
再取
，
，得
，
若
，则
，解得
，
则
与条件中“当
时，
”矛盾，故
，
所以
，A 错误；
B 选项，令
，得
，
代入
整理得
（*），
所以
的图象关于点
对称，B 正确.
C 选项，由（*）式可知，
，因为
，所以
，C 正确.
D 选项，下面证明
在R 上单调递增，
条件
可变形为
.
令
，则有
，
因为当
时，
，所以当
时，
，
的图象关于点
对称，故当
时，
，
故
在R 上恒成立，
，
，
，有
，
故
，
，
又
恒正，所以
，从而
在R 上单调递增，D 正确.
故选：BCD.
19．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
为
上的奇函数，当
时，
，且
的图象关于点
中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数
有三个零点
C．
是周期为4 的周期函数
D．线段
，
与
，
的图象有6 个交点
【答案】ABC
【分析】利用函数的奇偶性与对称性求出
的值，可判断A 的真假；数形结合可得到方程
的解
的个数，判断B 的真假；利用函数周期的定义，可判断C 的真假；数形结合并由函数的周期性可判断D 的
真假.
【详解】对A：因为函数
为
上的奇函数，当
时，
，所以
；
又
的图象关于点
中心对称，所以
，令
得：
，故A 正确；
对C：由题意：
，
，所以
.
所以
，所以
是以4 为周期的周期函数，
故C 正确；
对B：当
时，
，则
.
当
时，
，得函数
在
上单调递减；
当
时，
，得函数
在
上单调递增.
所以当
时，函数
的最小值为
；
又
，
，
故函数
在
上的值域为
.
又函数
的图象关于
和
对称，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，方程
在
上有3 个解.
且当
时，
；
时，
.
所以当
时，方程
无解.
所以方程
一共有3 个解，即函数
有三个零点，故B 正确；
对D：由
，即
.
由
，
当
时，
.
由
或
；由
.
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数的极大值为
，极小值为
，
且
，作出函数
在
的草图如下：
由图可知，方程
在
上有且只有1 解.
又函数
是以4 为周期的周期函数，所以方程
在
和
上各有1 解.
综上所述，线段
，
与
，
的图象有3 个交点.所以D 错误.
故选：ABC
20．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为非常数函数，
，
为奇函数，则下列结论中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由奇函数的性质判断出
的图象关于点
对称后可判断A，对
后得出
的对称性判断B，由对称性得出周期性判断C，结合周期性求值判断D．
【详解】对A，因为
为奇函数，所以
，即
，即
，所以
的图象关于点
对称，所以
，A 正确；
对B，由
，两边求导得
，即
，又
的图象关于
点
对称，得
，所以
，B 正确；
对C，因为
，即
，所以
，令
可得
,
，所以
的图象关于直线
对称，
所以
，又
，所以
，所以
的图象关于点
成中心
对称，
由
得
，所以
，
所以
是周期函数，4 是它的一个周期，C 错误；
对D，由
得
，
，所以
，
又
，所以
，D 正确．
故选：ABD．
21．（25-26 高三上·四川绵阳·月考）已知函数
定义域为
，其导函数为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
一个对称中心为
B．
的一个周期为2
C．
的图象关于
对称
D．
【答案】ACD
【分析】对A，根据函数的对称性定义可判断；对B，由
，两边求导可得
的图象关
于
对称，结合条件可得
，由周期函数的定义得解；对C，由
的图象关于
对称，
周期为4，可判断；对D，将
代入
，可得
，将
代入
结合
可得
，结合函数的周期性运算得解.
【详解】对于A，由
满足
，则
关于
中心对称，故A 正确；
对于B，由
，两边求导可得
，
即
，所以
的图象关于
对称，
又
等价于
，
，所以
，
，即
的一个周期为4，故B 错误；
对于C，因为
的图象关于
对称，周期为4，所以
的图象关于
对称，故C 正确；
对于D，将
代入
，可得
，
将
代入
，得
，又
，
所以
，
，
所以
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：ACD.
22．（2025·湖南·模拟预测）已知非常值函数
的定义域为
，对任意
都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对于A，令
代入即可得解；对于B，令
化简可得
，代入数值判断即可；
对于C，由B 可得
，由A 可得
，代入数值判断即可；对于D，求出
特殊点的值，得到周期性规律，即可得到
，即可判断.
【详解】对于A：令
得，
，又
为非常值函数，所以
，则
，故
A 正确；
对于B：令
得，
，
令
，则
，即
，所以
，故B 错误；
对于C：由B 知，
，
又令
得，
，由A 选项知
，所以
，即
，所以
，故C 正确；
对于D 选项：由C 知，
，
又
，
，
，
，
故
，
因此
，故D 正确.
故选：ACD.
23．（25-26 高三上·重庆·月考）设函数
的定义域为R，且满足
，
为奇
函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
为偶函数
B．
关于
对称
C．
D．
的导函数
的周期为
【答案】BCD
【分析】由
为奇函数可得
对
恒成立，故
对
恒成立，即可判断选项A，B；结合
，可得
，推导可得
，即可判断选项C，选项D.
【详解】∵
为奇函数，
对
恒成立，
∴
对
恒成立，∴函数
为奇函数，
且函数
的图象关于
对称，故选项A 错误，选项B 正确；
∵
，∴
，
故
，而
的图象关于
对称，即有
，
故
，则
，
∴
，
∴函数
是周期为8 的周期函数，
对于
。令
，可得
，
∴
，故选项C 正确；
又
，∴
，∴
的周期为8，故选项D 正确.
故选：BCD.
24．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数
对任意实数a，b 都有
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．若x 为正整数，则
【答案】ABD
【分析】利用赋值法判断AB；利用周期、举反例判断CD；
【详解】令
，得
，
因为
，所以
，故A 对；
令
得
，
令
得
，故B 对；
由
得
，
所以函数
是周期为8 的函数，
又
，
所以
，
所以
，
所以
，
又
，函数
是周期为8 的函数，
如
，则
，故C 错；
若x 为正整数，则
，
所以
，故D 对；
故选：ABD
三、填空题
25．（2026·江苏镇江·模拟预测）设函数
和
的定义域为D，若存在非零实数
，使得
，则称函数
和
在D 上具有性质P.现有下列三组函数：
①
，
；②
，
；③
，
．
其中具有性质P 的是 .（填序号）
【答案】①
【分析】对①，由
即可判断；对②，由指数函数的性质数形结合即可分析求解；对③，
求
上切线斜率为
的切线方程在直线
上方得到直线
与函数
图象没有交点即可
求解.
【详解】对于①：函数
和
定义域均为R，且存在
使得
，
所以函数
和
在R 上具有性质P；
对于②：函数
和
定义域均为R，
如图，函数
与
图象关于x 轴对称，
与
图象只有一个交点
，
所以只存在一个实数
使得
，所以函数
和
在R 上不具有性质P；
对于③：
与
定义域均为R，
令
，所以
上切线斜率为
的切点为
，
所以该点处切线方程为
，该切线与
平行，
又
，
所以
，所以
，所以
，
所以该切线在y 轴上的截距为
，
所以该切线在直线
上方，所以直线
与函数
图象没有交点，
又直线
与
关于x 轴对称，
所以不存在实数x，使得
，则函数
和
在R 上不具有性质P.
故答案为：①
26．（25-26 高一上·云南楚雄·月考）已知函数
满足
，若函数
与
的图象有6 个交点，交点横坐标为
，则
．
【答案】12
【分析】由
得到
的图像的对称轴，由
的图像得到此函数的对称轴，由函数
与
的图像有6 个交点，得到3 对交点分别关于直线
对称，每对交点的横坐标之和
为4，从而得到所求．
【详解】由
知
的图像关于直线
对称，
又
的图像也关于直线
对称，
所以函数
与
的图像有6 个交点，
分3 对交点分别关于直线
对称，每对交点的横坐标之和为4，所以
．
故答案为：12.
27．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数
关于直线
对
称，则函数
的所有零点之和为 ，
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据函数
的对称性得
，利用赋值法可得
的值，进而得函数解析
式，由
解得函数的零点再相加即可；利用换元法化简函数解析式，利用二次函数的性质，复合函
数单调性判断方法可求函数最值.
【详解】由题意，函数
的定义域为
，
由函数
关于直线
对称，得
，
令
，则
，即
，
令
，则
，即
，
联立
，解得
，
则
，
令
，解得
，
所以函数
的所有零点之和为
；
，
令
，因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
时，有最小值，最小值为
，则
，
所以
，因为函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
由
，得
，解得
，
所以复合函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
因此，结合函数
的对称性可知，当
或
时，函数值最小，
即
的最小值为
.
故答案为：
；
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于根据对称性，采用赋值法求得函数解析式；以及换元法化简函数
解析式，利用二次函数的性质，复合函数单调性判断方法求函数最值.
28．（2025·陕西宝鸡·三模）已知函数
和
的定义域均为
，且
，若
是偶函数，
，则
.
【答案】68
【分析】由题可得
的一个周期为4，然后由赋值法可得
，据此可得答案.
【详解】
，
.
则
.
因
为偶函数，则
，
即
，结合
.
则
，
则
，
即
的一个周期为4.因
，由
，
，
可得
.
，
对于
，令
，可得
，
又
，令
，可得
.
则
，又
的一个周期为4，
则
.
故答案为：
【点睛】结论点睛：若对于任意实数，
，则
图象关于
对称；若若对于任
意实数，
，则
图象关于
对称；
若
图象同时关于
，
对称，则
的一个周期为
.
