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2025二轮复习专项训练4
函数的图象与性质
[考情分析] 以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性、周期
性、分段函数求值或分段函数中参数的求解以及函数图象的识别，多以选择题、填空题的
形式考查，难度属中档及以上．
【练前疑难讲解】
一、函数的概念与表示
1．复合函数的定义域
(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的
定义域．
(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域．
2．分段函数
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．
二、函数的性质
1．函数的奇偶性
(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有
f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；
f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．
(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．
2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．
3．函数图象的对称中心和对称轴
(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝2b－f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．
(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
三、函数的图象
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、
伸缩变换、对称变换．
2．由函数的解析式判断其图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性
等，以及利用函数图象上的特殊点排除不符合要求的图象．
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）设函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．2．（2024·湖南益阳·一模）已知 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
3．（2023·福建·模拟预测）函数 的图象大数为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·广东广州·二模）已知偶函数 与其导函数 的定义域均为 ，且
也是偶函数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·吉林·模拟预测）已知函数 （ ）满足 ，若函数
与 图象的交点为 ， ，…， ，则
（ ）A．0 B．2022 C．4044 D．1011
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，若
，函数 为偶函数， ，则 （ ）
A． B． C． D．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A D C B B B
1．A
【分析】先求 的定义域，再利用复合函数求 的定义域.
【详解】由题意得， ，解得 函数 满足 ，解得 ，
即函数 的定义域为 .
故选:A
2．D
【分析】先求 ，再求 ，即可求解.
【详解】根据已知 ，
所以 .
故选： .
3．C
【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数 为奇函数.然后得到 时，
，根据导函数求得 的单调性，并且可得极大值点 ，即可得出答案.
【详解】由题意可知，函数 的定义域为 .
又 ，
所以，函数 为奇函数.
当 时， ，
则 .
设 ，则 在 上恒成立，
所以， 在 上单调递增.
又 ， ，
所以，根据零点存在定理可得， ，有 ，
且当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递增；
当 时，有 ，显然 ，
所以 在 上单调递减.
因为 ，所以C项满足题意.
故选：C.
4．B
【分析】由偶函数的定义结合导数可得出 ，由已知可得出，可求出 的表达式，利用导数分析函数 的单调
性，可知函数 在 上为增函数，再由 可得出
，可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，等式两边求导可得 ，①
因为函数 为偶函数，则 ，②
联立①②可得 ，
令 ，则 ，且 不恒为零，
所以，函数 在 上为增函数，即函数 在 上为增函数，
故当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
由 可得 ，
所以， ，整理可得 ，解得 .
故选：B.
5．B
【分析】根据函数对称性的定义得到函数 关于点 对称，函数 也关
于点 对称，从而得到函数 与 的图象的交点关于点 对称，即可求
解.
【详解】由 可得 ，
则函数 图象上的点 关于点 的对称点 也在 的
图象上.又由 可知，函数 的图象也关于点 对称.
因此，函数 与 的图象的交点关于点 对称.
不妨设 ， 与 关于点 对称，
与 关于点 对称，…， 与 关于点 对称，
则 ，
所以 ,
故选：B.
6．B
【分析】推导出函数 为周期函数，确定该函数的周期，求出 、 、 、
的值，结合周期性可求得 的值.
【详解】由 可得 ，①
对任意的 ， ，所以， ，②
由①②可得 ，所以函数 是周期为 的周期函数．
因为 为偶函数，则 ，
因为 ，由 可得 ，且
，由 可得 ，
因为 ，所以， ，故函数 为偶函数，
因为 ，则 ，所以， ，
由 可得 ，
因为 ，所以，
.
故选：B.
【基础保分训练】
一、单选题
1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数 是 上的增函数，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的
取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
4．（2021·山东滨州·二模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023·北京石景山·一模）下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高三下·黑龙江哈尔滨·开学考试）对任意的 ，不等式 都成
立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江西南昌·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，
为奇函数，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（24-25高三上·云南·阶段练习）已知函数 的定义域为R，且 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．2025
9．（2023·河北邯郸·一模）已知函数 为偶函数，且函数 在 上单调递
增，则关于x的不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在R上的函数 是奇函数，对任意x∈R都有
，当 时，则 等于（ ）A．2 B．-2 C．0 D．
11．（2023·山东烟台·二模）函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023·海南省直辖县级单位·三模）小李在如图所示的跑道（其中左、右两边分别是两
个半圆）上匀速跑步，他从点 处出发，沿箭头方向经过点 、 、 返回到点 ，共用
时 秒，他的同桌小陈在固定点 位置观察小李跑步的过程，设小李跑步的时间为 （单
位：秒），他与同桌小陈间的距离为 （单位：米），若 ，则 的图象大致为
（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
13．（22-23高一上·四川·阶段练习）已知函数 的定义域为R，且对任意 ，都有 ，且当 时， 恒成立，则（ ）
A．函数 是R上的减函数 B．函数 是奇函数
C．若 ，则 的解集为 D．函数 ( )+ 为偶函数
14．（2024·重庆·模拟预测）函数 ， ，那么（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 是奇函数 D． 是奇函数
15．（22-23高一下·河南·阶段练习）已知函数 为奇函数，则下列说
法正确的为（ ）
A． B．
C． D． 的单调递增区间为
16．（2023·浙江·模拟预测）已知定义域为I的偶函数 在 上单调递增，且
，使 .则下列函数中符合上述条件的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
17．（2023·河南·三模）已知函数 ，若 ，则
的取值范围是 .
18．（2021·陕西咸阳·一模）若偶函数 满足 ，则
．19．（2023·河南安阳·三模）已知函数 是奇函数，则
.
20．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数 的最小数为 ，若
，则函数 的最大值为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D D C C A A
题号 11 12 13 14 15 16
答案 C D ABC BC BC AC
1．C
【分析】由函数形式得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意得 ，解得 ，则定义域为 ，
故选：C.
2．B
【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得.
【详解】由 是 上的增函数，得 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故选：B
3．A
【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得 ，再由 ，进而求得
的取值范围.
【详解】由函数 的对称轴是 ，因为函数在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
又因为 ，因此 ，所以 的取值范围是 .
故选：A．
4．C
【分析】根据已知，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数
值的大小.
【详解】因为 ， ， ，所以构造函数 ，
因为 ，由 有： ，
由 有： ，所以 在 上单调递减，
因为 ， ， ,
因为 ，所以 ，故A，B，D错误.
故选：C.
5．D
【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数 为奇函数，但在定义域 上函数不单调，故A不符合；
对于B， 的定义域为 ， ，则 为偶函数，故B
不符合；
对于C， 的定义域为 ， ，则 为奇函数，
又函数 在 上均为增函数，故 在 上为增函数，故C不符合；
对于D， 的定义域为 ， ，则
为奇函数，又函数 在 上为减函数， 在 上为增函数，故在 上为减函数，故D符合.
故选：D.
6．D
【分析】分离参数得 对任意的 恒成立，则求出 即可.
【详解】因为对任意的 ，都有 恒成立，
∴ 对任意的 恒成立．
设 ，
， ，
当 ，即 时， ，
∴实数a的取值范围是 .
故选：D.
7．C
【分析】由题意推出函数 的周期以及满足等式 ，赋值求得 ，
利用函数的周期性即可求得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 的周期为
6，
又 为奇函数，所以 ，所以 ，
令 ，得 ，所以 ,
所以 ，
故选：C.
8．C【分析】由函数奇偶性，确定 为周期函数，再结合 ，求得 ，即可求解.
【详解】因为 为奇函数，所以 关于点 中心对称，
又 为偶函数，所以 关于直线 对称，
所以 为周期函数且周期 ，
∴ ，∵ ，∴ ，∴
.
故选:C．
9．A
【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.
【详解】因为 为偶函数，所以 的图象关于y轴对称，则 的图象关于直
线 对称．
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
因为 ，所以 ，解得 ．
故选：A.
10．A
【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数 的周期为4，利用周期性和奇函数特征
即可求得 的值.
【详解】定义在 上的函数 是奇函数，且对任意 都有 ，
故函数 的图象关于直线 对称，∴ ，故 ，
∴ ，∴ 是周期为4的周期函数．则 ．
故选：A．
11．C
【分析】
判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由 ，
得 ，
所以 为偶函数，故排除BD.
当 时， ，排除A.
故选：C.
12．D
【分析】分析在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离的变化，可得出合适的选项.
【详解】由题图知，小李从点 到点 的过程中， 的值先增后减，
从点 到点 的过程中， 的值先减后增，
从点 到点 的过程中， 的值先增后减，从点 到点 的过程中， 的值先减后增，
所以，在整个运动过程中，小李和小陈之间的距离（即 的值）的增减性为：增、减、增、
减、增，D选项合乎题意，
故选：D.
13．ABC
【分析】利用单调性定义结合 可判断A；
利用特殊值求出 ，从而证明 可判断B，根据条件求出
，进而利用单调性解不等式可判断C，利用奇偶性的定义可判断D.
【详解】设 ，且 ， ，则 ，
而，
又当 时， 恒成立，即 ， ，
函数 是R上的减函数，A正确；
由 ，
令 可得 ，解得 ，
令 可得 ，即 ，而 ，
，而函数 的定义域为R，
故函数 是奇函数，B正确；
令 可得 ，解得 ，
因为函数 是奇函数，所以 ，
由 ，可得 ，
因为函数 是R上的减函数，所以 ，C正确；
令 ，易知定义域为R，
因为 ，显然 不恒成立，所以
不是偶函数，D错误.
故选：ABC.
14．BC
【分析】根据函数 的奇偶性，逐项判断四个选项中函数的奇偶性即可.
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
因为
，即 ，所以 为奇函数，
所以 为非奇非偶函数，A错误；
，所以 为奇函数，B正确；
，所以 是奇函数，C正确；
令 ， ， 为偶函数，D错误.
故选：BC．
15．BC
【分析】利用奇函数的性质f (-x)=-f (x)可求a的值，代数求值可验证C项，根据表达式
作出函数图象可验证D项.
【详解】因为函数 为奇函数， ，即 ，解得 ，故B
正确，A错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
作出 的图象，如图，所以 的单调递增区间为 ， ，D选项形式错误，
不能用并集的符号.
故选：BC.
16．AC
【分析】逐个分析各函数的定义域、单调性、奇偶性及 ，使 .【详解】对A， ，定义域为 ，在 上单调递增，
，所以 为偶函数，又 ，故A正确
对B， ，定义域为 ，为奇函数，故B错误；
对C， ，定义域为 ， ，所以
为偶函数，又 ，故C正确；
对D，因为 在 上分区间单调，故D错误.
故选：AC.
17．
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自
变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数 ，定义域为 ，且 ，
则
，
即 ，即 为奇函数，
当 时 ， ， 均单调递增，所以 在
上单调递增，
则 在 上单调递增，
所以 是奇函数且在 上单调递增，由 ，可得 ，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 .
故答案为：
18．-1
【解析】先判断函数的周期，再利用周期和偶函数的性质求值.
【详解】 ， 是周期函数，周期 ，且函数是偶函数，
，
故答案为：
3
19． /1.5
2
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称以及奇函数的性质即可求解.
【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
所以 ， ，
所以 ，
故 ，
故答案为：
20．
【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到 的图象，
结合图像易得函数 的最大值．
【详解】如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数 的图象，
而 的图象即是图中勾勒出的实红线部分，
要求的函数 的最大值即图中最高点 的纵坐标.
由 联立解得， ，故所求函数 的最大值为 ．
故答案为： ．
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知函数 的值域为R，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津河西·模拟预测）已知函数 是 上的偶函数，对任意 ，
，且 都有 成立．若 ， ，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）A． B． C． D．
3．（2023·海南海口·二模）已知函数 是 上的单调函数，且
，则 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数 ，则满足不等式
的 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山东青岛·一模） ， ， ，则
的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－1
6．（2021·天津河西·三模）已知f(x)为定义在 上的偶函数，当 时，有
，且 时； ，给出下列命题：①
；②函数f(x)在定义域 上是周期为2的周期函数；③直线
与函数 的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为 ，其中正确命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2023·广西梧州·一模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增，若函数
为偶函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．8．（2022·江西南昌·一模）对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点
与点 是函数 的一对“隐对称点”．若函数
的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024·辽宁·一模）已知函数 为偶函数，且当 时，
若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·河北沧州·一模）已知定义在 上的函数 满足：
，且 ．若 ，则 （ ）
A．506 B．1012 C．2024 D．4048
11．（2023·浙江·三模）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
12．（2023·河南·模拟预测）已知图1对应的函数为 ，则图2对应的函数是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
13．（2024·江苏宿迁·一模）下列命题正确的有（ ）
A．函数 定义域为 ，则 的定义域为
B．函数 是奇函数
C．已知函数 存在两个零点 ，则
D．函数 在 上为增函数
14．（2023·广东梅州·一模）对于定义在区间 上的函数 ，若满足： ， 且
，都有 ，则称函数 为区间 上的“非减函数”，若 为区间
上的“非减函数”，且 ， ，又当 时，
恒成立，下列命题中正确的有（ ）
A． B． ，C． D． ，
15．（2024·广东湛江·二模）已知函数 的定义域为 ， 不恒为零，且
，则（ ）
A．
B． 为偶函数
C． 在 处取得极小值
D．若 ，则
16．（2024·贵州贵阳·模拟预测）已知非零函数 的定义域为 ， 为奇函数，
且 ，则（ ）
A．
B．4是函数 的一个周期
C．
D． 在区间 上至少有1012个零点
17．（2025·江苏南通·一模）定义在R上的偶函数 ，满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．18．（2024·全国·三模）已知函数 定义域为 且不恒为零，若函数 的图
象关于直线 对称， 的图象关于点 对称，则（ ）
A．
B．
C． 是 图象的一条对称轴
D． 是 图象的一个对称中心
三、填空题
19．（2022·湖北·模拟预测）已知函数 在 上的最小值为1，
则 的值为 .
20．（2022·湖北·一模）已知函数 （x>0），若 的最大值为 ，则正
实数a= .
21．（2023·广东深圳·二模）已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数，且
，则 .
22．（2023·山东青岛·三模）设 为定义在整数集上的函数， ， ，
，对任意的整数 均有 ．则
．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A D D B D C B A C
题号 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 A A AB ACD ABD ABD AC BCD
1．D【分析】由于当 时， ，所以当 时，求出 的最小值，使其最小值小于
等于1即可.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
因为函数 的值域为 ，
所以 ，得 ，
所以实数 的取值范围是 ，
故选：D.
2．A
【分析】利用奇偶性和对称性判断函数 在 上的单调性，再比较
大小，结合 的单调性即可得出答案．
【详解】解：因为函数 是R上的偶函数，
所以函数 的对称轴为 ，
又因为对任意 ， ，且 都有 成立．
所以函数 在 上单调递增，
而 ， ，
，所以 ，
所以 ，
因为函数 的对称轴为 ，
所以 ，
而 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
3．D
【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.
【详解】因为 是 上的单调函数，所以存在唯一的 ，使得 ，
则 ．
因为 为 上的增函数，且 ，所以 ，
所以 ．因为 在 上单调递增，所以 ，得
．
故选：D.
4．D
【分析】先利用函数奇偶性的定义，结合复合函数的单调性与导数，分析得 的奇偶性
与单调性，从而转化所求不等式得到关于 的不等式组，解之即可得解.【详解】由 ，得 的定义域为 ，
又 ，故 为偶函数，
而当 时，易知 单调递增，
而对于 ， 在 上恒成立，
所以 在 上也单调递增，
故 在 上单调递增，
则由 ，得 ，解得 或 .
故选：D.
5．B
【分析】利用赋值法求出 的值，将 变形为
，即可推出 ，可得函数周期，由此即可求得答案.
【详解】由题意知 ， ， ，
令 ，则
显然 时， 不成立，故 ，
故 ，则 ，
即6为函数 的周期，
则 ，
故选：B
6．D【分析】由函数关系式及偶函数的性质可知 在 、 上分别是周期为2的函数，
并可写出其对应的函数解析式，结合函数图象，即可判断各项的正误.
【详解】由题设， ，即 是周期为2的函数，
令 ，则 ，而 时； ，
∴ .
∴综上： 且在 上周期为2.
∵f(x)为定义在 上的偶函数，
∴在 上周期为2且 .
① ，正确；
②函数f(x)在定义域 上是周期为2的周期函数，错误；
③直线 与函数 的图象如下图示，只有1个交点，正确；
④函数f(x)如下图示，其值域为 ，正确；
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用函数关系及偶函数性质，判断函数的周期性及相应区间上的解
析式，应用数形结合的方法判断各项的正误即可.
7．C
【分析】由已知，函数 关于 对称，作出函数的图象，数形结合可求解.【详解】由函数 为偶函数，知函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，知函数 在 上单调递减，
由 ，知 ，作出函数的图象，如下：
由图可知，当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以不等式 的解集为： 或 ，
故选：C
8．B
【分析】依题意将问题转化为 与函数 的图象有两个交点，
即 有两个根，根据图象得到答案.
【详解】依题意，函数 关于原点对称的图象 与函
数
的图象有两个交点，即方程 有两个根，
即： ，令 ， ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
又 在 出的切线方程为 ，如图，由图可知，要使方程 有两个根，则 或 .
故选：B.
9．A
【分析】由题意判断 的图象关于直线 对称，结合当 时的函数解析式，判断
其单调性，即可判断 在直线 两侧的增减，从而结合 ，可得
，化简，即得答案.
【详解】因为函数 为偶函数，故其图象关于y轴对称，则 的图象关于直线
对称，
当 时， ，因为 在 上单调递增且 ，
而 在 上单调递减，故 在 上单调递减，
则 在 上单调递增，
故由 可得 ，即 ，
则 ，故 ，
故选：A
10．C
【分析】根据条件得到函数 是周期为 的函数，再根据条件得出
，即可求出结果.【详解】 ，①
，
即 ，所以 ，
所以函数 的图象关于 对称，
令 ，则 ，所以 ，
令 ， ，又 ，所以 ，
又 ， ，②
即函数 的图象关于直线 对称，
且由①和②，得 ，
所以 ，则函数 的一个周期为4，
则 ，
所以 .
故选：C
11．A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设 ，则有 ，
是奇函数，排除D；
，排除B；当 时， ，排除C；
故选：A.
12．A
【分析】根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且 时两函数解析式相同，即可
得解.
【详解】根据函数图象知，当 时，所求函数图象与已知函数相同，
当 时，所求函数图象与 时图象关于 轴对称，
即所求函数为偶函数且 时与 相同，故BD不符合要求，
当 时， ， ，故A正确，C错误.
故选：A.
13．AB
【分析】根据抽象函数定义域求解法则判断A，根据奇函数定义判断B，根据零点定义建立
方程，数形结合，判断C，根据对勾函数单调性判断D.
【详解】对于A，由函数 定义域为 ，则 ，
因此在 中， ，解得 ，即 的定义域为 ，故A正确；
对于B，函数 定义域为R，
且 ，所以函数 为奇函数，故B正
确；
对于C，由函数 存在两个零点 ，即 为 的两根，
则可得 ，令 ， ，
结合函数 图象可设 ， ，则 ，所以 ，所以 ，而k不一定为1，故C不正确；
对于D，函数 为对勾函数，在区间(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，故D
不正确.
故选：AB.
,
14．ACD
【分析】利用已知条件和函数的性质对选项逐一判断即可得正确答案.
【详解】A.因为 ，所以令 得 ，所以 ，故
A正确；
B.由当 ， 恒成立，令 ，则 ，由 为区间 上
的“非减函数”，则 ，所以 ，则 ， ，
故B错误；
C. ， ，而 ，
所以 ， ，
由 ， ， ，则 ，则，故C正确；
当 时， ， ，
令 ，则 ， ，
则 ，即 ，故D正确.
故选：ACD
15．ABD
【分析】根据条件，通过适当的赋值，即可判断出选项ABD的正误，选项C，通过取特殊
的函数 ，即可判断出选项的正误，从而得出结果.
【详解】对于选项A，令 ，得 ，解得 或 ，
当 时，令 ，则 ，则 ，这与 不恒为零矛盾，
所以 ，故选项A正确，
对于选项B，令 ，则 ，即 ，
即 为偶函数，所以选项B正确，
对于选项C，取 ，满足题意，此时 不是 的极小值点，所以选项C错
误，
对于选项D，令 ，得 ，
若 ，则 ，则 ，
则 ，所以选项D正确，
故选：ABD.16．ABD
【分析】根据题意利用赋值法求得 判断A，利用 的对称性与奇偶性判断BC，
利用 的周期性判断D.
【详解】对于A，因为函数 的定义域为 ， 为奇函数，
所以 ，则 ，
令 ，则 ， ，故A正确；
对于B， ，所以 ，则 ，
所以 ，故 ，故B正确；
对于C，假设 ，则 ，
又 ，函数 的定义域为 ，
所以 即是奇函数又是偶函数，则 恒成立，与题干矛盾，故C错误；
对于D，因为 ， ，所以 ，
所以 在 上至少有两个零点，
又 ，即 为周期为4的偶函数，而 ，
所以 在区间 上至少有 个零点，故D正确.
故选：ABD.
17．AC
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得 、
判断B、C；根据函数的性质，举反例 判断D.【详解】由 ，令 ，则 ，
又 为偶函数，则 ，A对；
由上，得 ①，
在①式，将 代换 ，得 ②，B错；
在②式，将 代换 ，得 ，C对；
由 且 ，即 周期为2且关于 对称，
显然 是满足题设的一个函数，此时 ，D错.
故选：AC
18．BCD
【分析】由条件证明直线 为函数 的对称轴，点(2,0)为函数 的对称中心，结
合函数的周期定义证明 为周期函数，由此判断A，再证明 ，结合周期性判断
B，证明 为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期
性判断D.
【详解】因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
所以f (1+x)=f (1-x)，
所以 的图象关于直线 对称.
因为 的图象关于点(0,1)对称，
所以 ，即 ，
所以 的图象关于点(2,0)对称.所以 .
令 ，得 .
由f (1+x)=f (1-x)， 可得 ，
故 即 ，
所以 ，
所以函数 的周期 ，
所以 ，又 不恒为零，
所以 错误，A错误，
，B正确；
因为 的图象关于直线 对称， 的图象关于点(2,0)对称，
所以 ，
所以 为函数 的对称轴，
结合周期性可得， ， 为函数 的图象的对称轴，
所以 是函数 图象的一条对称轴，C正确；
因为f (1+x)=f (1-x)， ，
所以 ，
所以原点为函数 的一个对称中心，
结合函数周期性可得点 ， ，为函数 图象的对称中心，所以点 是函数 图象的一个对称中心，D正确.
故选：BCD.
19．1
【分析】分 ， 讨论，利用函数的单调性求最值即得.
【详解】由题意得 ，
当 时， 在 上单调递减，
∴ 的最小值为 ， ，
所以 不成立；
当 时， ， 在 单调递减，在 上单调递
增，
∴ 的最小值为 ，符合题意.
故 .
故答案为：1.
20．1
【分析】依据题意列出关于a的方程即可求得正实数a的值.
【详解】令 ，则 ，则
令
当 时， 在 上单调递增，
则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 .
当 时， （当且仅当 时等号成立）则 ，即 的最大值为
则 ，解之得 （舍）
综上，所求正实数
故答案为：1
21．
【分析】推导出函数 为周期函数，确定该函数的周期，计算出 的值，结合
以及周期性可求得 的值.
【详解】因为 为奇函数，则 ，
所以， ，
在等式 中，令 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，则 ，①
所以， ，②
由①②可得 ，即 ，
所以，函数 为周期函数，且该函数的周期为 ，
所以， .
故答案为： .
22．
【分析】采用赋值的方式可求得 ，令 和 可证得 的对称轴和奇
偶性，由此可推导得到 的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令 ，则 ， ；
令 ， ，则 ，又 ， ；
令 ，则 ， 关于直线 对称；
令 ，则 ，
不恒成立， 恒成立， 为奇函数，
， ，
是周期为 的周期函数， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能
够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及
所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.
