文档内容
专题 03 三角函数的图象与性质
（零点或根的问题）(典型题型归类训练)
目录
一、必备秘籍..............................................1
二、典型题型..............................................1
题型一：已知根（零点）的个数求参数.....................1
题型二：零点（根）的代数和问题.........................4
三、专项训练..............................................7
一、必备秘籍
实根问题，换元法令 将函数 化简为 ，
在利用正弦函数 的图象来解决交点（根，零点）的问题.
二、典型题型
题型一：已知根（零点）的个数求参数
1．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知函数 ，将函数
向右平移 个单位得到的图像关于 轴对称且当 时， 取得最大值.
(1)求函数 的解析式：
学科网（北京）股份有限公司(2)将函数 图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若
，且 ，求 的值.
(3)方程 在 上有4个不相等的实数根，求实数 的取值范
围.
2．（23-24高一下·湖南邵阳·阶段练习）已知函数 ，其中
， ， .
(1)求函数 的最小正周期和对称轴；
(2)求函数 在 上的单调递减区间；
(3)已知函数 在 上存在零点，求实数 的取值范围.
3．（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数的对称中心与对称轴；
(2)当 时，求函数 的单调递增区间；
(3)将函数 的图象向左平移 个单位后，所得图象对应的函数为 .若关于 的方程
在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一下·河北张家口·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数 的最大值及取最大值时x的取值集合；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)已知函数 在 上存在零点，求实数a的取值范围．
5．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)若 ，求 的最值及取最值时 的值；
(3)若函数 在 内有且只有一个零点，求实数 的取值范围．
6．（2024·上海金山·二模）已知函数 ，记 ， ， ，
.
(1)若函数 的最小正周期为 ，当 时，求 和 的值；
(2)若 ， ，函数 有零点，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司题型二：零点（根）的代数和问题
1．（23-24高一下·湖北·阶段练习）函数 （ ， ， ）的
部分图像如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调递增区间；
(3)将函数 的图像上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数
的图像，若 时， 的图像与直线 恰有三个公共点，记三个公
共点的横坐标分别为 ， ， 且 ，求 的值.
2．（23-24高一下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两对
称轴间的距离为 ．
(1)当 时，求 的单调递减区间；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 （纵坐标
学科网（北京）股份有限公司变），得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域．
(3)对于第（2）问中的函数 ，记方程 在 上的根从小到依次为
， ，……， ，试确定 的值，并求 的值．
3．（23-24高一下·江西抚州·阶段练习）函数 的部
分图象如图所示，
(1)求函数 的解析式和单调递增区间；
(2)将函数 的图象上的各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数
的图象，若 时， 的图象与直线 恰有三个公共点，记三个公共
点的横坐标分别为 且 ，求 的值
4．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数 的解析式及其单调递增区间；
学科网（北京）股份有限公司(2)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位，再将所得图象上每一个点的横坐
标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 的图象.若方程 在
上有三个不相等的实数根 ，求 的值.
5．（23-24高一下·重庆·阶段练习）已知函数 ，把函数
的图像先向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位，得到函数 的图像.
(1)求 的单调递增区间及对称轴方程；
(2)当 时，若方程 恰好有两个不同的根 ，求 的取值范围及
的值.
6．（23-24高一下·江西·阶段练习）函数 （ ， ， ）的
部分图象如图.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 上的每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，再将所得图象向右平移
学科网（北京）股份有限公司个单位长度，得到函数 的图象.已知函数 若函数
的零点从左到右依次为 ， ，…， ，求 的值，并求 的
值.
三、专项训练
1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知函数 ．
(1)若 ， 的最小值为 ，求 的对称中心；
(2)已知 ，函数 图象向右平移 个单位得到函数 的图象， 是 的一个
零点，若函数 在 （ 且 ）上恰好有12个零点，求 的最小值．
2．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的周期和对称中心；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的2倍后所得到的图象对应的函数是 ，求 在 上的
零点个数．
学科网（北京）股份有限公司3．（23-24高一下·辽宁沈阳·阶段练习）函数 ，若 的图象向左平
移 个单位得到 .
(1)求不等式 的解集；
(2)若函数 的最大值为9，求 的值；
(3)若 ，方程 在 内有一个解，求实数
的取值范围.
4．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）已知函数 的图
象相邻对称轴之间的距离是 ，若将 的图象向右移 个单位，所得函数 为奇函
数．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 的零点为 ，求 ；
(3)若对任意 ， 有解，求a的取值范围．
5．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）某同学用“五点法”画函数
（ ， ， ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了
部分数据，如下表：
0
0 2 0 0
学科网（北京）股份有限公司(1)根据以上表格中的数据求函数 的解析式；
(2)将函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位长度，得到函数 的图象．当 时，关于 的方程 恰有两个
实数根，求实数 的取值范围．
6．（23-24高一下·四川绵阳·阶段练习）已知函数
．
(1)求函数 的最小正周期；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若关于 的方程
在 上恰有一解，求实数 的取值范围．
7．（23-24高一下·安徽·阶段练习）给出以下三个条件：①直线 ， 是函数
图象的任意两条对称轴，且 的最小值为 ，② ，③对任意的 ，
．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数
， ，______．
(1)求 的表达式；
学科网（北京）股份有限公司(2)将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，若关于 的方程 在区间 上有
且只有一个实数解，求实数 的取值范围．
8．（23-24高一上·山西·期末）如图，已知函数 的图象与
轴相交于点 ，图象的一个最高点为 ．
(1)求 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，求函数
的所有零点之和．
9．（23-24高一上·云南德宏·期末）函数 （ ， ， ）的
学科网（北京）股份有限公司部分图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标
不变），得到函数 的图象，若关于 的方程 在 上有两个不等
实根 ， ，求实数 的取值范围，并求 的值．
10．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数
为奇函数，且 图象的相邻两对
称轴间的距离为 .
(1)求 的最小值.
(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度，再把横坐标缩小为原来的 倍（纵坐标不
变），得到函数 的图象，记方程 在 上的根从小到依次为
试确定 的值，并求 的值.
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